第四版 彈性力學 第一章 緒論201209 徐芝綸

連續(xù)介質(zhì)力學

地震科學系：盛書中

E-mail:ssz2008@ssz@連續(xù)介質(zhì)力學？

連續(xù)介質(zhì)力學研究物體的宏觀力學行為。連續(xù)介質(zhì)和質(zhì)點、剛體一樣，都是一種理論模型。連續(xù)介質(zhì)模型認為物質(zhì)連續(xù)地分布在它所占有的容積之內(nèi)；這是運用數(shù)學分析工具統(tǒng)一研究固體、液體、氣體的力學行為的基礎(chǔ)。連續(xù)介質(zhì)的質(zhì)點表示一個物質(zhì)微團，它的尺度和所研究問題的宏觀尺度相比是充分地小，小到在此微團內(nèi)，每種物理量都可看成是均勻分布的常量，因而在數(shù)學上可以把此微團當作一個點來處理。另一方面，又要求此微團尺度和分子運動的尺度相比足夠地大，大到微團中包括大量的分子，從而能對分子運動作統(tǒng)計平均，以得到表征宏觀現(xiàn)象的物理量。為了運用數(shù)學分析工具，在連續(xù)介質(zhì)力學中把材料當作連續(xù)的(或分段連續(xù)的)，除了在某些間斷面上以外，各物理量存在所需要的各階偏導數(shù)?！鎽褏菢渖翰档染?《材料成形理論基礎(chǔ)》.化學工業(yè)出版社,2008.7.

連續(xù)介質(zhì)力學描述現(xiàn)實世界的宏觀力學現(xiàn)象，其最基本的假設(shè)是物質(zhì)連續(xù)性假設(shè)。這種假設(shè)認為具有所研究的物質(zhì)完全充滿一定的物理空間，而與該空間相關(guān)的各種物理量，如密度、溫度、應(yīng)力應(yīng)變、動量和能量等都是該空間的連續(xù)函數(shù)，可以應(yīng)用數(shù)學分析的方法進行描述。例如，設(shè)有一定質(zhì)量的物質(zhì)充滿一定的空間，P為該空間內(nèi)的任意一點。取一系列包含P點的子空間Sn。，其體積Vn，質(zhì)量為Mn，如果極限存在，則將其定義為P點處物質(zhì)的質(zhì)量密度。如果該空間內(nèi)每一點都可以定義這樣的密度，則稱在該空間內(nèi)質(zhì)量是連續(xù)分布的。用同樣的方法可以定義動量密度和能量密度等。所以，所謂連續(xù)介質(zhì)就是指物質(zhì)的質(zhì)量密度、能量密度和動量密度等，從數(shù)學連續(xù)性的意義上是存在的。描述這種連續(xù)介質(zhì)材料的力學關(guān)系，即作為受力或受熱響應(yīng)的運動及變形，稱為連續(xù)介質(zhì)力學。——《多物理場耦合模型及數(shù)值模擬導論》，孫培德，楊東全，陳奕柏著

從微觀角度看，物質(zhì)并不是連續(xù)的，而是由分子、原子以及各種亞原子等粒子組成的離散系統(tǒng)，所以物質(zhì)的質(zhì)量等參數(shù)在物理空間中其實是不連續(xù)的，這已為現(xiàn)代物理實驗所證實。但是，只要極限中的Vn包含足夠多的質(zhì)點在內(nèi)，而不至于使上述極限值不存在或發(fā)生突變，這種模型就是可行的。現(xiàn)實世界中的大量問題都是滿足這個要求的。例如水分子的直徑大約10-10米，只要研究中所涉及的尺寸比這個值大幾個數(shù)量級，例如10-8米，就可把水作為連續(xù)介質(zhì)。所以連續(xù)介質(zhì)理論所描述的各種物理現(xiàn)象是大量微觀粒子所組成的集合體的一種統(tǒng)計平均效應(yīng)，是將事實上離散的物質(zhì)系統(tǒng)用統(tǒng)計平均的方法加以光滑化的結(jié)果。這種連續(xù)體假設(shè)為基礎(chǔ)所得到的具體分析結(jié)果，最后還需要實驗的檢驗。但需要指出的是，一百多年來的大量實驗已充分證實，這一理論在相當廣泛的范圍內(nèi)是充分正確的?！抖辔锢韴鲴詈夏Ｐ图皵?shù)值模擬導論》，孫培德，楊東全，陳奕柏著

本課程主要介紹彈性力學理論，為后續(xù)課程（如：《地震學》，《地形變觀測》等）打基礎(chǔ)。

教材與教學參考書

教材：徐芝綸:2006.《彈性力學》.北京:高等教育出版社參考書：《彈性力學簡明教程全程導學及習題全解(第3版)》.劉海英,2007.中國時代經(jīng)濟出版社錢偉長,葉開源，1956.彈性力學.北京:科學出版社.王龍甫，1978.彈性理論.北京:科學出版社.尹祥礎(chǔ),1985.固體力學.北京:地震出版社徐秉業(yè)主編,1981.彈性與塑性力學-例題與習題.北京:機械工業(yè)出版社第一節(jié)彈性力學的內(nèi)容第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念第三節(jié)彈性力學中的基本假定第一章緒論§1-1彈性力學的內(nèi)容

彈性力學─研究彈性體由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。第一章緒論定義研究彈性體的力學——材料力學、結(jié)構(gòu)力學、彈性力學。它們的研究對象分別如下：材料力學─研究桿件（如梁、柱和軸）的拉壓、彎曲、剪切、扭轉(zhuǎn)和組合變形等問題。

彈性力學─研究各種形狀的彈性體，如桿件、平面體、空間體、板殼、薄壁結(jié)構(gòu)等問題。 第一節(jié)彈性力學的內(nèi)容

結(jié)構(gòu)力學─在材料力學基礎(chǔ)上研究桿系結(jié)構(gòu)

（如桁架、剛架等）。研究對象

在研究方法上，彈力和材力也有區(qū)別：

彈力研究方法：在區(qū)域V內(nèi)嚴格考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，建立三套方程;在邊界s上考慮受力或約束條件，并在邊界條件下求解上述方程，得出較精確的解答。第一節(jié)彈性力學的內(nèi)容研究方法

材料力學也考慮這幾方面的條件，但不是十分嚴格的：常常引用近似的計算假設(shè)（如平面截面假設(shè)）來簡化問題，并在許多方面進行了近似的處理。第一節(jié)彈性力學的內(nèi)容研究方法因此材料力學建立的是近似理論，得出的是近似的解答。從其精度來看，材力解法只能適用于桿件形狀的結(jié)構(gòu)。

彈性力學是其他固體力學分支學科的基礎(chǔ)。

彈性力學是工程結(jié)構(gòu)分析的重要手段。尤其對于安全性和經(jīng)濟性要求很高的近代大型工程結(jié)構(gòu)，須用彈力方法進行分析。第一節(jié)彈性力學的內(nèi)容

彈性力學在力學學科和工程學科中,具有重要的地位：地位第一節(jié)彈性力學的內(nèi)容學習彈力的目的：學習目的（4）為進一步學習地震學、地球動力學、重力與固體潮和他固體力學分支學科打下基礎(chǔ)。（3）能用彈力近似解法（變分法、差分法和有限單元法）解決實際問題；（2）能閱讀和應(yīng)用彈力文獻；（1）理解和掌握彈力的基本理論；思考題彈性力學和材料力學相比，其研究對象有什么區(qū)別？2.彈性力學和材料力學相比，其研究方法有什么區(qū)別？

外力─其他物體對研究對象（彈性體）的作用力。

第一章緒論§1－2彈性力學中的

幾個基本概念外力（定義）作用于物體體積內(nèi)的力。（表示）以單位體積內(nèi)所受的力的量度，（量綱）第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念（符號）坐標正向為正。體力─哪些力屬于體力？重力、慣性力、物體間的引力…

（表示）以單位面積所受的力來量度，面力─（定義）作用于物體表面上的力。第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念（符號）坐標正向為正。（量綱）例：表示出下圖中正的面力和體力第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念

從歷史上看，正是由于研究一點的應(yīng)力狀態(tài)才引出了張量的概念，后來進而發(fā)展成為一門新的數(shù)學分支——張量理論，并且在力學，尤其是在固體力學中得到日益廣泛的應(yīng)用。**力學所處理的物理量，與用以描述他們的坐標系無關(guān)。而這類物理量，若借助適當?shù)淖鴺讼颠M行描述，則表達起來往往是很方便的。在數(shù)學上，這樣的量就用張量來表示。補充：張量的基本概念

張量的一個重要性質(zhì)是它不依賴于具體的坐標系，因此是客觀的。當然為了在數(shù)量上對張量進行表征和計算，常常需要選定作為參考的坐標系。在不同的坐標系下得到不同的分量值，不同坐標系下的分量之間具有確定的變換關(guān)系。連續(xù)介質(zhì)力學以及各物理學科研究的都是不依賴坐標系的物理量，因此自然要用張量這一數(shù)學工具。連續(xù)介質(zhì)力學的運動規(guī)律都是用張量方程來表達的，它對各個坐標系都是成立的。張量理論的表述可有兩種不同的方式。第一種方式是完全不借助于坐標系，把張量整體作為研究的對象，對它進行運算。第二種方式是把張量看成是張量分量的集合，張量的運算就歸結(jié)為張量分量的運算。兩種方式各有其優(yōu)點，第一種表述簡單利落，第二種便于實際計算。能在任意坐標系間變換的張量理論稱為普遍張量理論；而只在笛卡兒坐標系間變換的張量理論稱為笛卡兒張量理論(所謂笛卡兒坐標系指的就是右手旋轉(zhuǎn)的直角坐標系)。笛卡兒張量理論遠比普遍張量理論簡單?！鎽褏菢渖翰档染?《材料成形理論基礎(chǔ)》.化學工業(yè)出版社,2008.7.內(nèi)力─假想切開物體，截面兩邊互相作用的力（合力和合力矩)，稱為內(nèi)力。第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念應(yīng)力應(yīng)力─截面上某一點處，單位截面面積上的內(nèi)力值。第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念（量綱）（表示）─面上沿向正應(yīng)力，

─面上沿

向切應(yīng)力。（符號）應(yīng)力成對出現(xiàn)，坐標面上的應(yīng)力以正面正向，負面負向為正。應(yīng)力張量X面上的應(yīng)力y面上的應(yīng)力z面上的應(yīng)力沿著x軸方向的作用力應(yīng)力矢量過一點作截面S（用外法線方向n表示此面方向），該面上的應(yīng)力矢量就記為：如分別表示以x、y、z軸為外法線的三個截面上的應(yīng)力矢量。則有：當n的方向變化時，的大小和方向都會有變化，一點的有無窮多個值。

⊿S假想面的正負面上的應(yīng)力是什么關(guān)系？=例：正的應(yīng)力第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念應(yīng)力與面力，在正面上，兩者正方向一致，在負面上，兩者正方向相反。第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念彈力與材力相比，正應(yīng)力符號，相同切應(yīng)力符號，不同材力：以拉為正材力：順時針向為正第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念

由微分體的平衡條件得：

第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念在彈力中，與不僅數(shù)值相同，符號也相同。在材力中，與

數(shù)值相同，符號相反。因此，彈力與材力中的符號規(guī)定不完全相同。

切應(yīng)力互等定理：正應(yīng)變

，以伸長為正。形變

─形狀的改變。以通過一點的沿坐標正向微分線段的正應(yīng)變和切應(yīng)變來表示。切應(yīng)變

,以直角減小為正,用弧度表示。第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念形變應(yīng)變張量

正的正應(yīng)力對應(yīng)于正的線應(yīng)變,

正的切應(yīng)力對應(yīng)于正的切應(yīng)變。第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念位移

─

一點位置的移動，用,表示,量綱為L。以坐標正向為正。變形前變形后第二節(jié)彈性力學中的幾個基本概念位移

思考題試畫出正負y面上正的應(yīng)力和正的面力的方向。在的六面體上，試問x面和y面上切應(yīng)力的合力是否相等？

由微分體的平衡條件，建立平衡微分方程；

由應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系,建立物理方程；

彈力的研究方法，在體積V內(nèi)：

由微分線段上形變與位移的幾何關(guān)系，建立幾何方程；第一章緒論研究方法§1－3彈性力學中基本假定

在給定約束的邊界上，建立位移邊界條件。

在給定面力的邊界上，建立應(yīng)力邊界條件;第三節(jié)彈性力學中的基本假定研究方法

在邊界S面上:然后在邊界條件下求解上述方程，得出應(yīng)力、形變和位移。

任何學科的研究，都要略去影響很小的次要因素，抓住主要因素建立計算模型歸納為學科的基本假定。第三節(jié)彈性力學中的基本假定基本假定

為什么要提出基本假定（1）連續(xù)性─假定物體是連續(xù)的。各物理量可用連續(xù)函數(shù)表示。第三節(jié)彈性力學中的基本假定材料性質(zhì)假定

彈性力學中的五個基本假定。

關(guān)于材料性質(zhì)的假定及其在建立彈力理論中的作用：（2）完全彈性

─假定物體是,即應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系可用胡克定律表示（物理線性）。第三節(jié)彈性力學中的基本假定材料性質(zhì)假定

a.完全彈性—外力取消，變形恢復(fù)，無殘余變形。b.線性彈性—應(yīng)力與應(yīng)變成正比。圖1.2幾種不同類型彈性介質(zhì)的應(yīng)力－應(yīng)變曲線(a)線性彈性材料；(b)非線性彈性材料(c)有滯變的彈性材料（3）均勻性

─假定物體由同種材料組成。

E、μ等與位置無關(guān)。（4）各向同性

─假定物體各向同性。

E、μ等與方向無關(guān)。符合（1）-（4）假定的稱為理想彈性體。第三節(jié)彈性力學中的基本假定材料性質(zhì)假定

（3）,（4）→E、μ等為常數(shù)（5）小變形假定

─假定位移和形變?yōu)楹苄?。第三?jié)彈性力學中的基本假定