寒假專題-等差數(shù)列求和(二)

第第#頁版權(quán)所有不得復(fù)制課程信息年級(jí)四年級(jí)學(xué)科丨數(shù)學(xué)版本人教版內(nèi)容標(biāo)題寒假專題——等差數(shù)列求和（二）編稿老師【本講教育信息】一.教學(xué)內(nèi)容：寒假專題——等差數(shù)列求和（二）閱讀指導(dǎo)，學(xué)會(huì)方法：例1.觀察下面各數(shù)列的規(guī)律，根據(jù)它們的規(guī)律在橫線上填入適當(dāng)?shù)臄?shù)。再找出數(shù)列中的等差數(shù)列，并求出這個(gè)等差數(shù)列的和。1)1，3，6，10，15，_____，28。2）1，4，9，16，25，_____，49。3）1，8，27，64，125，_，3434）2，19，36，53，70，_，104。分析與解答：觀察數(shù)列(1)：a-a=2；a-a-3；a-a=4；a-a-5；a-a-62132435465發(fā)現(xiàn)從第二個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)差不相等，所以不是等差數(shù)列。它的規(guī)律從第二項(xiàng)開始，在前一項(xiàng)的基礎(chǔ)上：1+2-3,3+3-6,6+4-10,10+5-15,15+6-21,……根據(jù)它的規(guī)律，橫線上填15+6-21，即(1)：1,3,6,10,15,21,28。觀察數(shù)列(2)：a-1x1-1；a-2x2-4；a-3x3-9；a-5x5-25,TOC\o"1-5"\h\z1235a-7x7-49。每一項(xiàng)都是它的序數(shù)與序數(shù)相乘的積，所以a-6x6-36,即(2)：1,764,9,16,25,36,49。不是等差數(shù)列。觀察數(shù)列(3):a—1x1x1—1；a—2x2x2—8；a—3x3x3—27,123a—5x5x5—125；a—7x7x7—343；所以，a—6x6x6—216。即(3)：1,8,57627,64,125,……,216,343。也不是等差數(shù)列。觀察數(shù)列(4),發(fā)現(xiàn)：這數(shù)列是等差數(shù)列，公差d-17，所以a-70+17-87，即6(4)：2,19,36,53,70,87,104。這個(gè)等差數(shù)列的和怎么求？a-2,a-104,n-71n公式：S—(a+a)xn02n1n2+19+36+53+70+87+104-(2+104)x7一2-106一2x7-53x7-371例2.一個(gè)等差數(shù)列a-9,a-156,n-22，求這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)之和S是多少？1nn分析與解答：這是一個(gè)等差數(shù)列求和的題，可以直接用公式解答。即S-(a+a)xn十2n1nS二(9+156)X22十2n=165x11=1815例3.計(jì)算：1+2+3++16+17分析與解答：這是一道求等差數(shù)列之和的題目，首項(xiàng)a二1，末項(xiàng)a二17，項(xiàng)數(shù)1nn=17，根據(jù)等差數(shù)列求和公式。1+2+3++16+17=(1+17)x17一2=18x17一2=153這題還可以這樣分析，首項(xiàng)與末項(xiàng)相加1+17=18，首項(xiàng)與末項(xiàng)的平均數(shù)是18三2=9，同樣道理，2+16的平均數(shù)也是9；3+15的平均數(shù)還是9……，9正是這個(gè)數(shù)列最中間的一項(xiàng)，我們把它叫做“中項(xiàng)”。即：1+2+3+4+5+6+7+8+(9)+10+11+12+13+14+15+16+17從而可以看出9是這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)的平均數(shù)，因此計(jì)算這個(gè)奇數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列之和，可以這樣：中項(xiàng)公式：等差數(shù)列之和=中項(xiàng)X項(xiàng)數(shù)，就是：1+2+3++16+17二9x17二153注意：這個(gè)等差數(shù)列求和公式只能用于奇數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列求和，偶數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列求和不能用。為什么呢？就因?yàn)榕紨?shù)項(xiàng)等差數(shù)列沒有中項(xiàng)，因此不能隨意套用中項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算。例4.計(jì)算：500—1_2—3——15—16分析與解答：把一道連減題怎樣變化，轉(zhuǎn)化成一道連加的等差數(shù)列求和的題呢？根據(jù)減法性質(zhì)，把這題轉(zhuǎn)化為：500_(1+2+3++15+16)。1+2+3++15+16這是一個(gè)等差數(shù)列，直接求和就可以了。解:500_(1+2+3+……+15+16)=500—(1+16)x16一2=500—17x8=500—136=364【模擬試題】［答題時(shí)間：35分鐘］嘗試練習(xí)，合作交流：計(jì)算：7+14+21+28+35+42+49一個(gè)等差數(shù)列a=17，a=206，n=22，求各項(xiàng)之和？1n20人參加乒乓球比賽，每?jī)蓚€(gè)人之間都要賽一場(chǎng)，他們一共要賽多少場(chǎng)？求100以內(nèi)除以4沒有余數(shù)的數(shù)一共多少個(gè)？它們的和是多少？提示：(1)100以內(nèi)包括100；(2)100以內(nèi)除以4沒有余數(shù)，從小到大排列為4，8，12，16,20，24……，92,96,100，很顯然是個(gè)等差數(shù)列；(3)項(xiàng)數(shù)是幾？用100-4=25,說明100以內(nèi)除以4沒有余數(shù)的數(shù)一共有25個(gè)。靈活運(yùn)用，創(chuàng)造發(fā)展：求所有兩位數(shù)的和是多少？92+94+89+93+95+87+86+88【試題答案】二.嘗試練習(xí)，合作交流：計(jì)算：7+14+21+28+35+42+497+14+21+28+35+42+49=(7+49)x7一2=56x7一2=56一2x7=28x7=196—個(gè)等差數(shù)列a=17，a=206，n=22，求各項(xiàng)之和？1nS二(17+206)x22十2=223x11=245320人參加乒乓球比賽，每?jī)蓚€(gè)人之間都要賽一場(chǎng)，他們一共要賽多少場(chǎng)？19+18+17+16+3+2+1用中項(xiàng)公式=中項(xiàng)X項(xiàng)數(shù)=10x19=190(場(chǎng))求100以內(nèi)除以4沒有余數(shù)的數(shù)一共多少個(gè)？它們的和是多少？提示：(1)100以內(nèi)包括100；100以內(nèi)除以4沒有余數(shù)，從小到大排列為4，8，12，16，20，24??，92，96，100，很顯然是個(gè)等差數(shù)列；項(xiàng)數(shù)是幾？用100-4=25,說明100以內(nèi)除以4沒有余數(shù)的數(shù)一共有25個(gè)。n=100三4=254+8+12+16++92+96+100=(4+100)x25一2=104一2x25=52x25=1300三.靈活運(yùn)用，創(chuàng)造發(fā)展：1.求所有兩位數(shù)的和是多少？方法一：最小的二位數(shù)是10，最大的二位數(shù)是99，每相鄰兩個(gè)數(shù)的差是1，也就是說從10到99，這90個(gè)數(shù)排列成等差數(shù)列。S=(10+99)x90十2=109x45=4905方法二：還可以從1?99,自然數(shù)列的和里減去1—9個(gè)自然數(shù)的和，從而得出所求的兩位數(shù)的和。S]=(1+99)x99十2=100十2x99=50x99=4950

S2二(1+9)X9十2=45或S=5x9=45S=4950-45=490592+94+89+93+95+87+86+88方法一：可以分為兩組連續(xù)數(shù)的和92+94+89+93+95+87+86+88=(92+93+94+95)+(8畀88+87+86)=(92+95)x4一2+(89^86)x4一2=187x2+175x2=374+350724方法二：還是先分兩組，一組數(shù)從小到大