有限元的弱形式

計(jì)算專題實(shí)驗(yàn)報(bào)告平面有限元網(wǎng)格生成報(bào)告人：寒涵學(xué)院：數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院班級(jí)：信計(jì)12-1學(xué)號(hào)：20090801110問題一重述:平面有限元網(wǎng)格生成，節(jié)點(diǎn)、單元、邊界點(diǎn)邊信息獲取假定區(qū)域如圖1所示，F(xiàn)igure1:區(qū)域Q示意圖.Q=[Left;Left]x[Bottom;Top]u[Left;Right]x[Top;Top]u[Right;Right]x[Bottom;Top]inn inn inn inn inn選取確定的區(qū)域參數(shù)值如Q=[0;3]x[0;2]u[1;2]x[1;2]u[2;3]x[0;2]采用一致三角形網(wǎng)格剖分。參考所給的程序完成本區(qū)域的PT陣程序及邊界點(diǎn)邊界邊信息。根據(jù)區(qū)域的構(gòu)成。=。，血-。0，直接利用所給程序信息、但編程尋找區(qū)域Q0上的節(jié)點(diǎn)單元及內(nèi)邊界邊點(diǎn)，并得到其標(biāo)號(hào)信息?？紤]一般區(qū)域參數(shù)Left;LeftRight;Right;Bottom;Top;Top選取與步長(zhǎng)inn inn inn[h1;h]選取的關(guān)系，如找不出關(guān)系，請(qǐng)至少用三種具體數(shù)據(jù)顯示不同情形(內(nèi)部區(qū)域?qū)捀咝?、寬矮型、窄高?來說明其關(guān)系。1問題一的解決方案：求解區(qū)域如下：L1=left_inn-left;L2=right_inn-left_inn;L3=right-right_inn;H1=top_inn-bottom;H2=top-top_inn;

h_partition(1)是L1,L2,L3的最大公約數(shù)的真分?jǐn)?shù)倍數(shù)，h_partition(2)是H1,H2的最大公約數(shù)的真分?jǐn)?shù)倍數(shù)，[M,T]=generate_MM_TT_triangle(0,1,2,3,0,1,2,[11],1)M=000111222333012012012012T=1223787889445599101011112536810811912[boundary_nodes,boundary_edges]=generate_boundary_nodes_edges(0,1,2,3,0,1,2,[11],1)boundary_nodes=-1 -1141 -16-1-15-17-1-1-1 -112-132101198boundary_edges=-1 -11 -1-1-1-1-1-1-1 -1-11243156781010714632597101112845對(duì)于最大公約數(shù)，(1):整數(shù)類型:32有三種情況:例如，(L11,L28,L3)=6(2,4,8)10，11 12最大公約數(shù)為297:不循環(huán)小數(shù)類型：例如，(L1,L2,L3)=(0.2,4,8)，將小數(shù)乘以10的倍數(shù)，轉(zhuǎn)化為整數(shù)類型，即10*(L1,L2,L3)=(2,40,80)，然后求出最大公約數(shù)后還原，得到最大公約數(shù)為0.2:循環(huán)小數(shù)類型：例如，(L1,L2,L3)=(2/3,4,8)，將式子通分，得到(L1,L2,L3)=(2,12,24)/3,對(duì)分子進(jìn)行最大公約數(shù)的求解，結(jié)果為2/32問題二重述：二維橢圓方程的有限元程序及生成考慮二維橢圓方程-V(a(x,y)Vw(x,y))+ku(x,y)=f(x,y);(x,y)cQu(x,y)=g(x,y);(x,y)edQ其中k為常數(shù)，a(x,y)=1.真解u(x,y)=sin(x)sin(y)，右端函數(shù)f(x,y)=(兀2+k)sin(x)sin(y).推導(dǎo)出該問題的弱形式、有限元空間及有限元方程。給出誤差、f，L2誤差，、1誤差的計(jì)算公式。并且當(dāng)k=0,編程計(jì)算該問題的線性元和二次元的解，并且給出其解的匕州誤差，L2誤差，Lh1誤差及誤差階。當(dāng)k=1，10，100，1000，10000編程計(jì)算線性元的誤差及誤差階，并分析其誤差結(jié)果與K=0的異同點(diǎn)，給出結(jié)論。問題二的解決方案(1).二維橢圓方程的弱形式:f(VuWv)dx+fk(uw)dx=f((1).二維橢圓方程的弱形式:Q Q Q有限元空間：veH°i,ueH2.有限元方程：a(u,v)+k(u,v)=F(v)(2).L=max(max(u-"中.))；1MjMnj<i<j+1=必fFu-田ucp)MTOC\o"1-5"\h\z?1尤, ..11j=1j i=jL=必f(竺-四曰)2dxdy+￡f(竺-云冬)2dxdy)2H1 dx dx dy dyj=1 i=j j=1 i=jK=0的運(yùn)行結(jié)果：basistype=1h_partitioninfinity_errorL2_errorH1_error[1/41/4]1.8082e-0017.9087e-0028.3855e-001[1/81/8]4.9605e-0022.1133e-0024.3180e-001[1/161/16]1.2692e-0025.3775e-0032.1754e-001[1/321/32]3.1913e-0031.3504e-0031.0898e-001basis_type=2h_partitioninfinity_errorL2_errorH1_error[1/41/4]1.0835e-0023.9191e-0031.2946e-001[1/81/8]1.4823e-0034.9344e-0043.3392e-002[1/161/16]1.8939e-0046.1774e-0058.4194e-003[1/321/32]2.3803e-0057.7253e-0062.1095e-003誤差階：(取平均值)basistypeinfinity_errorL2_errorH1_error11.94141.95739.8130e-00122.94352.99561.9798(3)K=1的運(yùn)行結(jié)果:basistype=1h_partitioninfinity_errorL2_errorH1_error[1/41/4]1.7624e-0017.6605e-0028.3866e-001[1/81/8]4.7949e-0022.0351e-0024.3182e-001[1/161/16]1.2240e-0025.1700e-0032.1754e-001k=10的運(yùn)行結(jié)果:basistype=1h_partitioninfinity_errorL2_errorH1_error

[1/41/4]1.4752e-0016.1712e-0028.4453e-001[1/81/8]3.7921e-0021.5771e-0024.3272e-001[1/161/16]9.5326e-0033.9633e-0032.1766e-001K=100的運(yùn)行結(jié)果:basistype=1h_partitioninfinity_errorL2_errorH1_error[1/41/4]1.3089e-0013.8975e-0028.8469e-001[1/81/8]3.3817e-0028.8873e-0034.3858e-001[1/161/16]8.5275e-0032.1550e-0032.1842e-001K=1000的運(yùn)行結(jié)果:basistype=1h_partitioninfinity_errorL2_errorH1_error[1/41/4]1.3066e-0013.5247e-0029.1875e-001[1/81/8]3.3817e-0027.5541e-0034.4444e-001[1/161/16]8.5275e-0031.7680e-0032.1929e-001k=10000的運(yùn)行結(jié)果:basistype=1h_partitioninfinity_errorL2_errorH1_error[1/41/4]1.3066e-0013.5136e-0029.2677e-001[1/81/8]3.3817e-0027.4869e-0034.4672e-001[1/161/16]8.5275e-0031.7319e-0032.1995e-001不同的K誤差階的比較:basistype=1Kinfinity_errorL2_errorH1_error11.92911.94209.8136e-001101.84351.83809.8472e-0011001.84351.83809.8472e-00110001.84351.83809.8472e-001100001.84351.83809.8472e-001結(jié)論:根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可以看出K=1,10,100,1000,10000的誤差和誤差階與K=0的誤差和誤差階大致吻合。在計(jì)算過程中，前者的誤差和誤差階在K增大時(shí)趨于穩(wěn)定。3問題三重述：熱傳導(dǎo)方程的有限元程序的編寫與實(shí)現(xiàn)考慮下面問題u3,j,t)-V(c(x,j)Vw(x,y,t))=f(x,y,t);(x,y,t)eQx[0,T]tu(x,y,0)=u(x,y);(x,y)eQ0u(x,y,t)=g(x,y,t);(x,y)edQ,te[0,T]其中Q=[left,right]x[bottom,top],c(x,y)=2,真解為u(x,y,t)=exp(x,y,t),其他條件由真解推出。(1)推導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程的弱形式，有限元空間及有限元形式，半離散格式及全離散_格式.

取Q=[0,1]X[0,1],T=1,步長(zhǎng)h1=h2=At=1/4,1/8,1/16,1/32,9=1/2,1時(shí)線性元的三種誤差，步長(zhǎng)h1=?=1/4,1/8,1/16,1/32,At=4h「,9=1/2,1時(shí)線性元的三種誤差.取Q=[0,1]x[0,1],T=1,步長(zhǎng)4=h2=1/4,1/8,1/16,1/32,At2rh「,9=1/2以及At=8h「,9=1時(shí)二次元的三種誤差.選取不同的9=0.1,0.3,0.7,0.9,分析9對(duì)有限元誤差的影響.問題三的解決方案：(1)弱形式:Juvdxdy+(1)弱形式:Juvdxdy+JcVuVvdxdy=JfvdxdyQ有限元空間1eH0'uG"有限元形式：a(匕,v)+c(u,v)=F(v)全離散格式:Un.Aa( -半離散格式：a(Un+iun,v)+c(un,v)=全離散格式:Un.Aa( -T-Un^也,孔j)+c(UnZ*孔?=(9fn+1+(1-9)fn,孔J(2)h1=h2=At=1/4,1/8,1/16,1/32,9=1/2的線性元誤差h_partition,dtinfinity_errorL2_errorH1_error[1/41/4]1/41.3626e-0014.9797e-0028.8898e-001[1/81/8]1/83.6311e-0021.2402e-0024.4348e-001[1/161/16]1/169.3747e-0033.0975e-0032.2161e-001[1/321/32]1/322.3818e-0037.7419e-0041.1079e-001h1=h2=At=1/4,1/8,1/16,1/32,9=1的線性元誤差h_partition,dtinfinity_errorL2_errorH1_error[1/41/4]1/41.3626e-0016.0908e-0028.9193e-001[1/81/8]1/83.6311e-0021.9796e-0024.4545e-001[1/161/16]1/161.3054e-0027.3043e-0032.2271e-001[1/321/32]1/325.4670e-0033.0333e-0031.1136e-001匕=h2=1/4,1/8,1/16,1/32,At=4h「,9=1/2的線性元誤差h_partition,dtinfinity_errorL2_errorH1_error[1/41/4]1/41.3626e-0014.9797e-0028.8898e-001[1/81/8]1/163.6311e-0021.2296e-0024.4348e-001

[1/161/16]1/649.3747e-0033.0629e-0032.2161e-001[1/321/32]1/2562.3818e-0037.6501e-0041.1079e-001h1=h2=1/4,1/8,1/16,1/32,At=4h12,9=1的線性元誤差h_partition,dtinfinity_errorL2_errorH1_error[1/41/4]1/41.3626e-0016.0908e-0028.9193e-001[1/81/8]1/163.6311e-0021.5901e-0024.4397e-001[1/161/16]1/649.3747e-0034.0249e-0032.2168e-001[1/321/32]1/2562.3818e-0031.0095e-0031.1080e-001h1=h2=1/4,1/8,1/16,1/32,At2牝h：,9=1/2的二次元誤差h_partition,dtinfinity_errorL2_errorH1_error[1/41/4]1/82.2641e-0037.6698e-0042.8673e-002[1/81/8]1/16左5.3458e-0012.3746e-0013.3592e-001[1/161/16]1/643.8271e-0051.2098e-0051.7880e-003[1/321/32]1/128方2.1263e-0039.2721e-0041.3861e-003h1=h2=1/4,1/8,1/16,1/32,At=8h「,9=1的二次元誤差h_partition,dtinfinity_errorL2_errorH1_error[1/41/4]1/81.7983e-0