全等三角形作輔助線經(jīng)典例題初中教育

PE⊥AB于E，PF⊥ACPE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為．3.如圖，在等腰梯形ABCD中，∠CDE⊥BD于D，交BC于點(diǎn)E．A練習(xí)：1．如圖，在△ABC中，∠B=90，AD為∠BAC的平分線，DEF和∠CBE相等嗎？請說明理由；(2)請找出圖中與EB相等的線段(不另添加輔助線和字母)，并說明理線與角平分線時延長垂線段，構(gòu)造等腰三角形〕5)截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特一、倍長中線〔線段〕造全等DAC.全等三角形作輔助線經(jīng)典例題AABDCA小.小EFBBDEC1、以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90,連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)．探究：AM與DE的位置．中考應(yīng)用：三.借助角平分線造全等1：如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,，CE⊥AD．中考應(yīng)用：三.借助角平分線造全等1：如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,，CE⊥AD于E，交AB于F，連接DF．求證：∠ADC=∠BDF．2．如圖，△ABC中，AB=AC，定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適AD上一點(diǎn)，且BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD．求證：AE=ED．②以角的平分線為對稱軸構(gòu)造對稱ADEBCADCBA12PBCD.AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；A二、截長補(bǔ)短BDC3：如圖，已知在ABC內(nèi)，BAC600CABQ分別是BAC，ABC的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BPBQPC過點(diǎn)A作GE∥BC，角平分線BD、CF相交于點(diǎn)H，它們的延長線分別交GE于點(diǎn)E、G．試在圖10過點(diǎn)A作GE∥BC，角平分線BD、CF相交于點(diǎn)H，它們的延長線分別交GE于點(diǎn)E、G．試在圖10中找出〔2〕利用角的平分線構(gòu)造全等三角形：①過角平分線上一點(diǎn)作兩邊的垂線段練習(xí)：如圖22，AB∥CD，E為角平分線成為垂直平分線例：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求證：∠ACE=∠B．9B．8C．7D．6BEBDDCECA11．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AD交BC于點(diǎn)D，AEOBDEBCFOMFDFCCD1：如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交CAD1、如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：〔1〕如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。BBEEPANRt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=4，將△ADC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)900：∠C=2∠B．BDC5．已知，E為△ABCRt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=4，將△ADC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)900：∠C=2∠B．BDC5．已知，E為△ABC的∠A的平分線AD上一點(diǎn)，AB＞AC．求證：AB-AC＞°時,求AB與PD的長;(F、C、D在同一條直線上?！?〕求證：AB⊥ED。〔2〕若PB=BC，請找出圖中與此條件有關(guān)的一對全BBABBAECFNMAFADBEC2：D為等腰RtABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。四、平移變換1.AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點(diǎn)，△ABC周長記為PA，△EBC周五、旋轉(zhuǎn)BDECBDC1200，以D為頂點(diǎn)做一個600角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則AMN的周長為；AMNCD〔1〕當(dāng)MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動時，求證DE=D〔2〕若AB=2，求四邊形DECF的面積。AAB上，AD⊥CP，BE⊥AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分別為D、E，已知DC=2，求BE的長。8．如圖，在矩形ABCDC=180．BDC...ECD7．如圖所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直線DC過點(diǎn)E作證：AD平分∠BAE.中考應(yīng)用以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD和等腰RtACE，CBC.1、已知四邊形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC∠ABC120，∠MBN60，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC〔或它們的延長線〕于E，F(xiàn)．〔1〕當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時〔如圖1〕，易證AECFEF．〔2〕當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的AEBFNMDAEEMDFNABFCNDEM2、在等邊ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為ABC外一點(diǎn)，且MDN60,BDC120,BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系與AMN的周長Q與等邊ABC的周長L的關(guān)系．〔I〕如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系QL〔II〕如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時，猜想〔I〕問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；〔III〕如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=x，則Q=〔用x、L六、構(gòu)造全等例1：已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，ACEFDBGE⊥AB于E，DF⊥AC于F.〔1〕說明E⊥AB于E，DF⊥AC于F.〔1〕說明BE=CF的理由；〔2〕如果AB=a，AC=b，求AE、BEB＝AD+BCC3：如圖，已知在ABC內(nèi)，BAC600CABQ分別是BAC，ABC的角平分線。求證：D之間的數(shù)量關(guān)系；〔2〕如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，AECFEF．〔2〕當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若GHFBBAFEB于點(diǎn)F，即可構(gòu)造全等三.AC=BC，D為BC的中點(diǎn)，CE⊥AD于E，交AB于F，連接DF．求證：∠ADC=∠BDF．2．如圖，△ABC中，AB=AC，過點(diǎn)A作GE∥BC，角平分線BD、CF相交于點(diǎn)H，它們AEDC3．已知△ABC，AB=AC，E、F分別為AB和AC延長線上的點(diǎn)，且BE=CF，EF交BC于G．求證：EG=GF．4．已知：△ABC中，BD=CD，∠1＝∠2．求證：AD平分∠BAC．AEF1D2BC等三角形的性質(zhì)得出垂線段相等，再利用角的平分線性質(zhì)得出兩角相等．〔2〕利用角的平分線構(gòu)造全等三角形：①過角平分線上一點(diǎn)作兩邊的垂線段練習(xí)：如圖22，AB∥CD，E為AD上一點(diǎn)，且BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD．求證：AE=ED．②以角的平分線為對稱軸構(gòu)造對稱圖形DDEHAFGC例：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．求證：AB=AC+CD．AEBDC分析：由于角平分線所在的直線是這個角的對稱軸，因此在AB上截取AE=AC，連接DE，我們就能構(gòu)造出一對全等三角形，從而將線段AB分成AE和BE兩段，只需證明BE=CD③延長角平分線的垂線段，使角平分線成為垂直平分線例：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求證：∠ACE=∠B+∠ECD．CD分析：注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延長CE交AB等例1：已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90等例1：已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，..ACEFDBG.AC=BC，D為BC的中點(diǎn)II〕如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=x，則Q=〔用x、L表示〕．六、構(gòu)造全中，∠ACB=90，CDAB于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC上，CE=BC,過E點(diǎn)作AC的垂線，交CD的延長線于點(diǎn)C=180．BDC...ECD7．如圖所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直線DC過點(diǎn)E作EBP.如圖，在△ABC如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，過點(diǎn)D作DE∥AB，DE交AC于點(diǎn)E．易證△AED是等腰三角形．因此，我們可以過角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，例如圖，在△ABC中，12DAB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于點(diǎn)E．AAD為∠BAC的平分線，DF⊥AC于F，DE=DC．A2．已知：如圖，AD是△ABC的中線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF．求證：〔1〕AD是∠BAC的平分線；〔2〕AB=AC．3．在△ABC中，∠BAC=60，∠C=40，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q．求證：AB+BP=BQ+AQ．EBABFDCQCA4．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC+CD．求證：∠C=2∠B．BDC5．已知，E為△ABC的∠A的平分線AD上一點(diǎn)，AB＞AC．求證：AB-AC＞EB-EC．A6．如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC．求證：∠A+∠C=180．BDC．〔1〕如圖①當(dāng)ABC為直角三角形時，AM與DE．〔1〕如圖①當(dāng)ABC為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；〔2〕將圖BADCAE90,連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)．探究：AM與DE的位置...關(guān)系與數(shù)量關(guān)系成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．AEB〔2〕利用角的平分線構(gòu)造全等三角形：①過角平分線上一點(diǎn)作兩邊的垂線段練習(xí)：如圖22，AB∥CD，E為2BF.ECD7．如圖所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直線DC過點(diǎn)E作交AD于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)C．求證：AD+BC=AB．12A43BA8．已知，如圖，△ABC中，∠ABC=901AB=BC，AE是∠A的平分線，CD⊥AE于D．求證：CD=AE．A9．△ABC中，AB=AC，∠A=100，BD是∠B的平分線．求證：AD+BD=BC．A10．如圖36，∠B和∠C的平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)DE，若BD+CE=9，則線段DE的長為〔〕A．9B．8C．7D．6BEBDDCECA11．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AD交BC于點(diǎn)D，且D是BC的中點(diǎn)．求證：AB=AC．FBDCM12．已知：如圖，△ABC中，AD是∠BACA的平分線，E是BC的中點(diǎn)，EF∥AD，交AB于M，交CA的延長線于F．求證：BM=CF．BEDCRt△ABC中，Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=4，將△ADC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)900E⊥AB于E，DF⊥AC于F.〔1〕說明BE=CF的理由；〔2〕如果AB=a，AC=b，求AE、BE、N，D為ABC外一點(diǎn)，且MDN60,BDC120,BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上的長.G中考應(yīng)用:D如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等.于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為．〔2〕請你猜測∠BPF的度數(shù)，并證明你的結(jié)論.4.已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90，CDAB于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC6.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上移動，但A到EF的距離AH始終保持與AB長相等，問在E、F已知DC=2，求BE的長。8．如圖，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于點(diǎn)E，連接BE，過E作EF⊥BE交AD于E.DFAECBAC，∠A=100，BD是∠BAC，∠A=100，BD是∠B的平分線．求證：AD+BD=BC．A10．如圖36，∠B和∠C的平分線后，得到△AFB，連接ＥＦ，下列結(jié)