第二章 傅里葉變換

數(shù)字圖像處理技術(shù)DigitalImageProcessing

Technique吳昊天E-mail:htwu1981@163.com第二章

圖像變換技術(shù)要點(diǎn)：1.

主要介紹圖像處理重要的工具—傅里葉變換.2.傅立葉變換在圖象處理中的意義是什么?3.什么是高頻、中頻和低頻成分，它們分別對(duì)應(yīng)空間域圖像的哪些部分?4.什么是卷積定理，它在圖象處理中的作用是什么?5.

傅立葉變換的性質(zhì)。1822年，傅立葉（Fourier）發(fā)表了“熱傳導(dǎo)解析理論”，提出了傅立葉變換。它本質(zhì)上提出了一種與空間思維不同的頻域思維方法。傅立葉變換是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)界和工程界最輝煌的成果之一。它一直是信號(hào)處理領(lǐng)域中最完美、應(yīng)用最廣泛、效果最好的一種分析手段。它也是線性系統(tǒng)分析的有利工具。傅立葉變換能使我們從空間域（或時(shí)域）與頻率域兩個(gè)不同的角度來看待信號(hào)或圖象的問題。有時(shí)在時(shí)域無法解決的問題，在頻域卻是顯而易見的。4.1背景傅里葉分析中最重要的結(jié)論就是幾乎“所有”的函數(shù)(信號(hào))都可以表示為(分解成)簡(jiǎn)單的(加權(quán))正弦波和余弦波之和。從而提供了一種具有物理意義的函數(shù)表達(dá)方式。設(shè):f(x)是以T為周期的函數(shù),滿足一定的條件,例如絕對(duì)可積,則有4.1背景特別注意傅氏級(jí)數(shù)中基底的物理意義非常明確,每一個(gè)基函數(shù)都是一個(gè)單頻諧波,而相應(yīng)的系數(shù)(頻譜)表明了原函數(shù)對(duì)這種頻率成份貢獻(xiàn)的大小(原函數(shù)在這個(gè)諧波上的投影),或者說原函數(shù)中某種頻率成分的多少.從圖像(信號(hào))處理的角度,利用諧波的物理性質(zhì)可以通過對(duì)系數(shù)的處理達(dá)到對(duì)圖像的處理,如增強(qiáng)、壓縮等等.f(x)傅氏系數(shù)ak的計(jì)算,需要用到函數(shù)在整個(gè)空間(或時(shí)間)上的分布情況.一維傅里葉變換及反變換考慮定義在無窮區(qū)間連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換公式(通常函數(shù)要滿足一定的條件才能保證傅里葉變換的存在性和收斂性):4.2傅里葉變換和頻率域介紹連續(xù)情形的傅里葉變換比較方便用于公式推導(dǎo)和定理證明,但在實(shí)際應(yīng)用中,面臨更多也更實(shí)際的是離散的情況.定義離散情形的傅里葉變換(DFT)公式:f(x)為離散函數(shù),其中x=0,1,…,M-1.離散傅里葉變換和它對(duì)應(yīng)的反變換總是存在的,不必特地關(guān)心分析各項(xiàng)的意義.頻率域的概念:利用歐拉公式:ej

=cos+jsin,有其中u=0,1,2,…,M-1.變量u確定了變換的頻率成分→

u的取值范圍稱為頻率域(給定一個(gè)u

上述公式可以計(jì)算出離散信號(hào)中包含了“多少”這個(gè)頻率的諧波).對(duì)每一個(gè)u,F(u)稱為變換的頻率分量(也叫振幅).4.2傅里葉變換和頻率域介紹

F(u)可以看作f(x)在諧波上的投影，即f(x)在頻率為u的諧波上占有的成份。譜的概念:注意到傅里葉變換后的函數(shù)是在復(fù)數(shù)域內(nèi),也可以表示為

F(u)=R(u)+iI(u)或極坐標(biāo)的形式:F(u)=|F(u)|ej

(u).我們把量|F(u)|=[R2(u)+I2(u)]1/2稱為傅里葉變換的幅度(Magnitude)或者譜(Spectrum).這是在圖像處理中要經(jīng)常用到的量.譜可以表示原函數(shù)(或圖像)對(duì)某一頻譜分量的貢獻(xiàn).稱為變換的相角或者相位譜,用來表示原函數(shù)中某一頻譜分量的起始位置*.另外,一個(gè)重要的量是功率譜(有時(shí)也叫能量譜、譜密度) P(u)=|F(u)|2=R2(u)+I2(u)4.2傅里葉變換和頻率域介紹例4.1兩個(gè)簡(jiǎn)單一維函數(shù)的傅里葉譜特征:(1)當(dāng)曲線下的面積在x域加倍時(shí),頻率譜的高度也加倍;(2)當(dāng)函數(shù)的長(zhǎng)度加倍時(shí),相同長(zhǎng)度區(qū)域內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)量也加倍.極限情況?4.2傅里葉變換和頻率域介紹解釋:圖a函數(shù)的傅里葉變換為:易見,當(dāng)u=0時(shí),ru=1,故而若u

0,則ru

1,對(duì)u=1,2,…,M-1,利用歐拉公式可知:r=cos(2/M)-jsin(2/M).所以,當(dāng)uK是M的倍數(shù)時(shí),就有ruK=1(當(dāng)然這時(shí)也有ru2K=1

),從而F(u)

=0.如果圖a中函數(shù)f(x)非零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是K時(shí),F(u)=0的點(diǎn)數(shù)是n個(gè),那么,當(dāng)f(x)的非零點(diǎn)數(shù)是2K時(shí),F(u)=0的點(diǎn)數(shù)應(yīng)該是2n個(gè).4.2傅里葉變換和頻率域介紹關(guān)于變量的說明:書中的記號(hào)f(x)(x=0,1,…,M-1)表示從連續(xù)函數(shù)中取M個(gè)樣點(diǎn),這些點(diǎn)不一定選取為區(qū)間[0,M-1]中的整數(shù)點(diǎn).通常用x0(任意位置的)表示第一個(gè)取樣點(diǎn),

x是取樣間隔.所以,f(x)理解為其中:u=0,1,…,M-1.值得注意的是,當(dāng)M固定時(shí),

x和

u之間有如下的反比關(guān)系:其中:x=0,1,…,M-1.同理,變量u有相似的解釋,但序列通?？偸菑?頻率開始.因此,u的取值序列為u=0,

u,2

u,…,(M-1)

u.F(u)理解為:4.2傅里葉變換和頻率域介紹二維DFT及反變換

離散情形完全類似.設(shè)f(x,y)是一幅尺寸為M×N的圖象函數(shù),相應(yīng)的離散傅里葉變換(DFT)可以表示為:傅里葉譜:|F(u,v)|=[R2(u,v)+I2(u,v)]1/2二維傅里葉變換本質(zhì)上是一維情形向兩個(gè)方向的簡(jiǎn)單擴(kuò)展.4.2傅里葉變換和頻率域介紹相角:

(u,v)=arctan[(I(u,v)/R(u,v)]功率譜:P(u,v)=|F(u,v)|2=R2(u,v)+I2(u,v)注意:為了把變換后的中心移到圖像的中心(M/2,N/2),通常在變換之前都要在函數(shù)上乘以(-1)x+y.

這是由于傅里葉變換的平移性質(zhì)決定的,以一維為例: f(x)ej2

u0x/M

F(u-u0) f(x-x0)

F(u)e-j2

x0u/M當(dāng)x0=M/2或u0=M/2時(shí) f(x)(-1)x

F(u

-M/2) f(x-M/2)

F(u)(-1)u4.2傅里葉變換和頻率域介紹對(duì)頻譜圖像的認(rèn)識(shí)?4.2傅里葉變換和頻率域介紹易見是圖像的平均灰度.因?yàn)樵谠c(diǎn)處兩個(gè)方向的頻率都為零,所以,這個(gè)量經(jīng)常被稱為頻譜的直流分量(DC).DC就是電子工程領(lǐng)域中的直流,也就是零頻率的電流.和一維情形,同樣也有4.2傅里葉變換和頻率域介紹例4.2一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的頻譜(已經(jīng)做過中心化處理).圖像是512

512的黑色背景上疊加一個(gè)20

40象素的白色矩形.頻譜的顯示經(jīng)過了對(duì)數(shù)變換處理以加強(qiáng)灰度級(jí)細(xì)節(jié),并適當(dāng)調(diào)整了灰度強(qiáng)度.可以看出,u方向譜的零點(diǎn)分隔恰好是v方向零點(diǎn)分隔的兩倍,在不同方向上符合了原圖中1:2的矩形尺寸比例.這和一維情形完全類似.極限情況、能量分布情況?4.2傅里葉變換和頻率域介紹頻率域?yàn)V波頻率域的基本性質(zhì)傅里葉變換每個(gè)頻譜分量都要涉及到圖像空間中的每個(gè)像素,所以一般來說,頻譜信息中很難看出空間的信息。但由于頻率反映的是空間強(qiáng)度的變化率,如低頻對(duì)應(yīng)著圖像變化慢的部分,高頻對(duì)應(yīng)著圖像變化快的部分。所以,在某種意義上兩者之間仍然有不可分割的聯(lián)系,盡管這些聯(lián)系是“總體”的.(4.2.16)(4.2.17)4.2傅里葉變換和頻率域介紹例4.3一幅圖像和顯示某些重要特征的傅利葉譜集成電路的掃描電子顯微鏡圖像,放大2500倍.注意:

45

角的兩個(gè)強(qiáng)邊緣和熱感應(yīng)不足引起的兩個(gè)白色氧化突起.高頻和低頻部分,能量分布的一般情況.4.2傅里葉變換和頻率域介紹頻率域?yàn)V波基礎(chǔ)f(x,y)

F(u,v)步驟:(1)用(-1)x+y乘以輸入圖像,做頻譜中心化處理;(2)計(jì)算(1)結(jié)果的DFT,即F(u,v);(3)用濾波器函數(shù)H(u,v)乘以F(u,v)(在頻譜域處理圖像)－濾波器函數(shù)下面討論;(4)計(jì)算(3)中結(jié)果的反DFT;(5)得到(4)結(jié)果中的實(shí)部;(6)用(-1)x+y乘以(5)中的結(jié)果濾波和濾波器:濾波顧名思義就是阻止或減少信號(hào)或圖像中的某些頻率成分.濾波器(函數(shù))就是能起到這樣作用的函數(shù).一般表達(dá)式:

G(u,v)=H(u,v)F(u,v)濾波后的結(jié)果圖像可以從G(u,v)的反傅里葉變換得到. g(x,y)=

-1G(u,v)4.2傅里葉變換和頻率域介紹頻域?yàn)V波的基本步驟(包括前處理和后處理):一些基本的濾波器及其性質(zhì)陷波濾波器(NotchFilter):使得處理后的圖像平均值為零,從而圖像的整體灰度降低.4.2傅里葉變換和頻率域介紹對(duì)圖4.4a使用陷波濾波器,將傅里葉變換的原點(diǎn)設(shè)置為0.4.2傅里葉變換和頻率域介紹低通濾波器和高通濾波器4.2傅里葉變換和頻率域介紹高頻增強(qiáng)濾波4.2傅里葉變換和頻率域介紹空間域?yàn)V波器和頻率域?yàn)V波器之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

結(jié)論:空間域的濾波器,和頻率域的濾波器組成了一組傅里葉變換對(duì).也就是說,給出在頻率域的濾波器,通過傅里葉反變換就可以得到在空間域相應(yīng)的濾波器,反之亦然.這個(gè)最基本的聯(lián)系是由著名的卷積定理建立起來的.兩個(gè)M

N的離散函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的卷積定義為空間域?yàn)V波的本質(zhì)上就是用選好的掩模(mask),經(jīng)過一定的處理,與給定的圖像作卷積.例如:平滑濾波的掩模4.2傅里葉變換和頻率域介紹卷積定理

F(u,v)

f(x,y)的傅里葉變換

H(u,v)

h(x,y)的傅里葉變換則有

f(x,y)*h(x,y)

F(u,v)·H(u,v) f(x,y)h(x,y)

F(u,v)*H(u,v)4.2傅里葉變換和頻率域介紹卷積定理的證明提示：

（51）

（52）證明：由定義：

定義:在坐標(biāo)(x0,y0)處強(qiáng)度為A的沖激(脈沖)函數(shù)

A

(x–x0,y–y0)滿足一些結(jié)論：1。2。3。這個(gè)結(jié)論的指導(dǎo)意義:在頻率域選擇濾波器更為直觀,物理意義比較明確.在空間域用較小的模板進(jìn)行濾波計(jì)算則比較經(jīng)濟(jì).如果兩個(gè)濾波器的大小一樣,則在頻率域進(jìn)行濾波計(jì)算比較方便.更令人感興趣的是,在頻率域找到一個(gè)有意義的濾波器,然后作傅里葉反變換,并以此為依據(jù),盡可能在空間域建造盡可能小的濾波模板.高斯濾波器以一維為例,設(shè)高斯濾波器(頻率域)為H(u)=Ae-u2/2

2,其中:

為高斯曲線的標(biāo)準(zhǔn)差.而相關(guān)的空間濾波器則為注意高斯函數(shù)有兩個(gè)重要特性:①它本身和它的傅里葉變換都是實(shí)高斯函數(shù);②這一對(duì)傅利葉變換相互間有某種反比特性,即當(dāng)H(u)有較寬的輪廓(大的

值)時(shí),h(x)有較窄的輪廓,反之亦然.當(dāng)接近無限時(shí),H(u)趨于常數(shù)量,h(x)則趨于沖激函數(shù).4.2傅里葉變換和頻率域介紹高斯函數(shù)是低通濾波器(?),但也可以通過組合構(gòu)造出更復(fù)雜的濾波器,如高通和帶通等.高頻增強(qiáng)空間域頻域?yàn)V波器空間域4.2傅里葉變換和頻率域介紹其中:在頻率域技術(shù)的發(fā)展過程中,經(jīng)常被問到的問題就是計(jì)算復(fù)雜性.為什么在空間域用小模板就可以做到的事情,卻要在頻率域里去考慮?這個(gè)問題可以從兩方面來回答:一方面是因?yàn)轭l率域直觀,可以很容易憑經(jīng)驗(yàn)指定濾波器;另一方面的答案取決于空間模板的大小,并可以用對(duì)比計(jì)算復(fù)雜性的方式來回答.一個(gè)用于計(jì)算復(fù)雜性對(duì)比的基準(zhǔn)是計(jì)算卷積.空間域的卷積由公式(4.2.30)給出.而由卷積定理可知,對(duì)兩個(gè)函數(shù)傅里葉變換的乘積做反變換,也可以得到同樣的結(jié)果.假定:在同一臺(tái)微機(jī)上用軟件實(shí)現(xiàn)這兩種算法(頻率域使用4.6.6節(jié)討論的FFT),會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)較小的M和N值,頻率域的計(jì)算會(huì)非?？?頻率域可以看成是一個(gè)實(shí)驗(yàn)室,從中可以利用頻率成分和圖像外觀之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.后面的許多例子將反復(fù)證明:一些在空間域中很難表述、甚至不可能的增強(qiáng)任務(wù),在頻率域會(huì)變得非常簡(jiǎn)單.例如周期性背景噪聲.4.2傅里葉變換和頻率域介紹4.3傅里葉變換的實(shí)現(xiàn)這一節(jié)是本章的重要內(nèi)容之一.目的是解決實(shí)際計(jì)算傅里葉變換時(shí)出現(xiàn)的問題,包括快速傅里葉變換.

假設(shè):f(x,y)是M

N的二維圖像,F(u,v)是其傅里葉變換,有平移性質(zhì)

f(x,y)ej2

(u0x/M+v0y/N)

F(u–u0,v–v0)

f(x–x0,y–y0)F(u,v)e-j2

(x0u/M+x0v/N)二維傅里葉變換的性質(zhì)注意:當(dāng)u0=M/2和v0=N/2時(shí),有

ej2

(u0x/M+v0y/N)=ej

(x+y)=(-1)x+y

f(x,y)(-1)x+y

F(u–M/2,v–N/2)提供了頻譜中心化的方法.分配性和比例變換性

旋轉(zhuǎn)性質(zhì):如果引入極坐標(biāo): x=rcos, y=rsin, u=

cos, v=

sin

f(r,+0)F(,+0)此式表明當(dāng)原圖像f(x,y)以某一角度旋轉(zhuǎn)時(shí),其譜平面也將轉(zhuǎn)過同樣的角度.注:對(duì)離散情形,若有M=N,證明易見.4.3傅里葉變換的實(shí)現(xiàn)f(x,y)ej2

(u0x/M+v0y/N)

F(u–u0,v–v0)2023/10/1835(a)原始圖像(b)DFT變換(c)原始圖像旋轉(zhuǎn)45o(d)旋轉(zhuǎn)之后DFT變換結(jié)果*周期性和對(duì)稱性直接驗(yàn)證可知,離散傅里葉變換具有周期性 F(u,v)=F(u+M,v)=F(u,v+N)=F(u+M,v+N)注意e-j2

x=1,故

e-j2

((u+M)x/M+vy/N)=e-j2

(ux/M+vy/N)同理,反變換也具有周期性

f(x,y)=f(x+M,y)=f(x,y+N)=f(x+M,y+N)除此之外,還有共軛對(duì)稱性 F(u,v)=F*(-u,-v)共軛的定義為:若一個(gè)復(fù)數(shù)Z=x+i·y,則其共軛為Z*=x-i·y,且|Z|=|Z*|.4.3傅里葉變換的實(shí)現(xiàn)由傅里葉變換的共軛對(duì)稱性質(zhì)可以得到結(jié)論:頻譜是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的.

|F(u,v)|=|F(-u,-v)|上述這些性質(zhì)說明在這里給出的離散傅里葉變換是周期函數(shù),并關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(經(jīng)過平移即為中心對(duì)稱).4.3傅里葉變換的實(shí)現(xiàn)可分性還可交換順序.因而在實(shí)際計(jì)算中,可逐列或逐行先計(jì)算一維的傅里葉變換,然后對(duì)另外一個(gè)方向?qū)嵭杏?jì)算反變換的計(jì)算類似。4.3傅里葉變換的實(shí)現(xiàn)用前向變換計(jì)算傅里葉反變換上式兩邊取復(fù)共軛并除以M,有上式的形式和前向變換一樣,左邊再取復(fù)共軛并乘以M就是對(duì)F(u)反變換的函數(shù).4.3傅里葉變換的實(shí)現(xiàn)主要思路是基于傅里葉變換的共軛性質(zhì),利用正變換公式計(jì)算反變換.傅里葉變換我們知道,傅里葉變換可以簡(jiǎn)化一些運(yùn)算,例如:卷積、微分等.但由于離散傅里葉變換(反變換)自動(dòng)將原函數(shù)做了周期化的處理,因此在利用傅里葉變換處理函數(shù)(或圖象)時(shí),一定要注意這種周期化對(duì)運(yùn)算的影響.以卷積為例(特別注意在頻譜域?yàn)V波就相當(dāng)于在空間域的卷積).以一維為例:如果f(x)和函數(shù)h(x)各有400個(gè)點(diǎn)(如圖4.36a和4.36b),那么,(4.3.20)4.3傅里葉變換的實(shí)現(xiàn)關(guān)于周期性的更多討論:直接按公式(4.6.20)計(jì)算(注意在定義域外的點(diǎn)不參與運(yùn)算),它們的卷積函數(shù)g(x)應(yīng)該是有800個(gè)點(diǎn),從0到799,結(jié)果函數(shù)如圖4.36e所示(這個(gè)是正確的解).如