【ch03】灰度變換與空間濾波

數(shù)字圖像處理（第四版）灰度變換與空間濾波第三章國外電子與通信教材系列01背景灰度變換和空間濾波基礎本章中討論的空間域處理基于表達式g(x,y)=T[f(x,y)]

式中，f(x,y)是輸入圖像，g(x,y)是輸出圖像，T是在點(x,y)的一個鄰域上定義的針對f的算子。圖3.1是式(3.1)在單幅圖像上的基本實現(xiàn)。02一些基本的灰度變換函數(shù)圖像反轉(zhuǎn)使用圖3.3所示的反轉(zhuǎn)變換函數(shù)，得到的灰度級在區(qū)間[0,L-1]內(nèi)的反轉(zhuǎn)圖像的形式為s=L-1-r

采用這種方式反轉(zhuǎn)圖像的灰度級，會得到類似于照片底片的結(jié)果。對數(shù)變換圖3.3中的對數(shù)變換的通式為s=clog(1+r)式中，c是一個常數(shù)，并假設r≥0。圖3.3中對數(shù)曲線的形狀表明，這個變換將輸入中范圍較窄的低灰度值映射為輸出中范圍較寬的灰度級。例如，注意區(qū)間[0,L/4]中的輸入灰度級是如何映射到區(qū)間[0,3L/4]中的輸出灰度級的。相反，輸入中的高灰度值則被映射為輸出中范圍較窄的灰度級。我們使用這類變換來擴展圖像中的暗像素值，同時壓縮高灰度級值。反對數(shù)(指數(shù))變換的功能正好相反。冪律(伽馬)變換冪律變換的形式為式中，c和y是正常數(shù)。考慮到偏移(即輸入為0時的一個可度量輸出),有時也將式(3.5)寫為s=c(r+ε)。然而，偏移通常是顯示校準問題，因此在式(3.5)中可以忽略不計。圖3.6是γ為不同值時r和s的關系曲線。分段線性變換函數(shù)1.對比度拉伸圖3.10(a)是用于對比度拉伸的一個典型變換。圖3.10(b)顯示了一幅低對比度的8比特圖像。圖3.10(c)顯示了令(r1,s1)=(rmin,0)和(r2,s2)=(rmax,L-1)時得到的對比度拉伸結(jié)果。圖3.10(d)是使用闕值處理函數(shù)后的結(jié)果，其中(r1,s1)=(m,0)和(r2,s2)=(m,L-1),m是圖像中的平均灰度級。分段線性變換函數(shù)2.灰度級分層這種變換[見圖3.11(a)]產(chǎn)生一幅二值圖像。另一種方法基于圖3.11(b)中的變換，使期望的灰度范圍變亮(或變暗),但保持圖像中的其他灰度級不變。分段線性變換函數(shù)3.比特平面分層像素值是由比特組成的整數(shù)。例如，在一幅256級灰度圖像中，圖像值是由8比特(1字節(jié))組成的。如圖3.13所示，8比特圖像可視為由8個1比特平面組成，其中平面1包含圖像中所有像素的最低有效比特而平面8包含所有像素的最高有效比特。03直方圖處理直方圖均衡化圖3.17(a)顯示了滿足條件(a)和(b)的一個函數(shù)。這里，我們看到多個輸入值映射到單個輸出值并且仍然滿足這兩個條件是可能的。如圖3.17(b)所示，要求T(r)嚴格單調(diào)可以保證逆映射是單值的(即映射在兩個方向上是一對一的)。這是一個理論上的要求，它允許我們在本章后面推導一些重要的直方圖處理技術。直方圖匹配(規(guī)定化)如上節(jié)所述，直方圖均衡化產(chǎn)生一個變換函數(shù)，它試圖生成一幅具有均勻直方圖的輸出圖像。希望自動增強圖像時，這是一個值得考慮的較好方法，因為這種技術的結(jié)果是可以預測的，并且這一方法容易實現(xiàn)。然而，在有些應用中使用直方圖均衡化是不合適的。特別地，有時能夠規(guī)定待處理圖像的直方圖形狀是有用的。用于生成具有規(guī)定直方圖的圖像的方法，稱為直方圖匹配或直方圖規(guī)定化。局部直方圖處理迄今為止討論的直方圖處理方法都是全局性的，因為像素是由基于整個圖像的灰度分布的變換函數(shù)修改的。這種全局性方法適合于整體增強，但當目的是增強圖像中幾個小區(qū)域的細節(jié)時，通常就會失敗。這是因為在這些小區(qū)域中，像素的數(shù)量對計算全局變換的影響可以忽略。解決方法是設計基于像素鄰域的灰度分布的變換函數(shù)。使用直方圖統(tǒng)計量增強圖像直接從圖像直方圖得到的統(tǒng)計量信息可用于增強圖像。令r是一個離散隨機變量，它表示區(qū)間[0,L-

1]內(nèi)的灰度值；令p(ri)是對應于灰度值ri的歸一化直方圖分量。如前所述，我們可將p(ri)視為圖像中出現(xiàn)灰度ri的概率的一個估計，由p(ri)可以得到圖像的直方圖。對于灰度級在區(qū)間[0,L-1]內(nèi)的圖像，灰度值r相對于其均值m的第n階矩定義為式中，m為均值是平均灰度的測度，而方差(或標準差σ)是圖像對比度的測度。04空間濾波基礎線性空間濾波的原理線性空間濾波器在圖像f和濾波器核w之間執(zhí)行乘積之和運算。核是一個陣列，其大小定義了運算的鄰域，其系數(shù)決定了該濾波器的性質(zhì)。用于稱呼空間濾波器核的其他術語有模板和窗口。我們使用術語濾波器核或核。圖3.28說明了使用3×3核進行線性空間濾波的原理。在圖像中的任何一點(x,y)處，濾波器的響應g(x,y)是核系數(shù)和核所覆蓋圖像像素的乘積之和：空間相關與卷積圖3.28以圖形方式說明了空間相關，式(3.31)給出了其數(shù)學描述。相關的運算過程如下：在圖像上移動核的中心，并且在每個位置計算乘積之和。空間卷積的原理相同，只是把相關運算的核旋轉(zhuǎn)了180°。因此，當核的值關于其中心對稱時，相關和卷積得到的結(jié)果相同。旋轉(zhuǎn)核的原因見下面的討論。要了解相關和卷積的不同之處，最好通過例子來說明?？煞蛛x濾波器核如2.6節(jié)所述，若二維函數(shù)G(x,y)可寫為一維函數(shù)G?(x)和G?(x)的乘積，即G(x,y)=G?(x)G?(y),則它是可分離的。空間濾波器核是一個矩陣，而可分離核是一個能夠表示為兩個向量的外積的矩陣。例如，2×3核是可分離的，因為它可以表示為如下兩個向量的外積：空間域濾波和頻率域濾波的一些重要比較空間域處理和頻率域處理之間的聯(lián)系紐帶是傅里葉變換。我們用傅里葉變換從空間域進入頻率域，用傅里葉反變換返回空間域。這將在第4章中詳細討論。這里的重點是與空間域和頻率域有關的兩個基本性質(zhì)：1.卷積是空間域濾波的基礎，它等效于頻率域中的乘法，反之亦然。2.空間域中振幅為A的沖激，是頻率域中值為A的一個常數(shù)，反之亦然。如何構建空間濾波器核第一種構建濾波器的方法是根據(jù)其數(shù)學性質(zhì)。例如，計算鄰域像素平均值的濾波器會模糊圖像。計算平均值類似于積分。第二種構建濾波器的方法是對形狀具有所需性質(zhì)的二維空間函數(shù)進行取樣。例如，下一節(jié)中將說明使用來自高斯函數(shù)的樣本可以構建加權平均(低通)濾波器。這些二維空間函數(shù)有時是作為頻率域中規(guī)定的二維濾波器的傅里葉反變換生成的。第三種構建濾波器的方法是設計具有規(guī)定頻率響應的空間濾波器。這種方法基于前一節(jié)討論的概念，屬于數(shù)字濾波器設計范疇。05平滑(低通)空間濾波器盒式濾波器核最簡單的可分離低通濾波器核是盒式核，其系數(shù)的值相同(通常為1)。名稱“盒式核”來自一個常量核，以三維方式查看它時，它類似于一個盒子。圖3.31(a)中顯示了一個大小為3×3盒式濾波器。低通高斯濾波器核盒式濾波器由于簡單，因此適合于快速試驗，并且它們通常會產(chǎn)生視覺上能夠接受的平滑結(jié)果。希望減少邊緣平滑的效應時，它們也是很有用的(見例3.13)。然而，盒式濾波器的一些局限性使得它們很難用于許多應用中。例如，散焦透鏡通常被建模為低通濾波器，但盒式濾波器對透鏡模糊特性的近似能力較差(見習題3.33)。另一個限制是，盒式濾波器往往會沿垂直方向模糊圖像。在涉及精細細節(jié)或具有強幾何分量的圖像的應用中，盒式濾波器的方向性往往會產(chǎn)生我們不希望的結(jié)果(例3.13說明了這個問題)。這只是不適合使用盒式濾波器的兩個應用。統(tǒng)計排序(非線性)濾波器統(tǒng)計排序濾波器是非線性空間濾波器，其響應基于濾波器所包含區(qū)域內(nèi)的像素的排序(排序)。平滑是將中心像素的值替代為由排序結(jié)果確定的值來實現(xiàn)的。這類濾波器中最知名的濾波器是中值濾波器，中值濾波器用中心像素的鄰域內(nèi)的灰度值的中值替代中心像素的值(計算中值時包括中心像素的值)。中值濾波器對某些類型的隨機噪聲提供了優(yōu)秀的降噪能力，與類似大小的線性平滑濾波器相比，中值濾波器對圖像的模糊程度要小得多。存在沖激噪聲(有時我們把以白點和黑點形式疊加到圖像上的沖激噪聲稱為椒鹽噪聲)時，中值濾波器尤其有效。06銳化(高通)空間濾波器基礎數(shù)字函數(shù)的導數(shù)是用差分來定義的。定義這些差分的方法有多種，但一階導數(shù)的任何定義都要滿足如下要求：1.恒定灰度區(qū)域的一階導數(shù)必須為零。2.灰度臺階或斜坡開始處的一階導數(shù)必須非零。3.灰度斜坡上的一階導數(shù)必須非零。基礎類似地，二階導數(shù)的任何定義都要滿足如下要求：1.恒定灰度區(qū)域的二階導數(shù)必須為零。2.灰度臺階或斜坡的開始處和結(jié)束處的二階導數(shù)必須非零。3.灰度斜坡上的二階導數(shù)必須為零。由于我們正在處理的數(shù)字量的值是有限的，因此最大可能的灰度變化也是有限的，變化發(fā)生的最短距離是相鄰像素間的距離。使用二階導數(shù)銳化圖像

拉普拉斯本節(jié)討論二階導數(shù)的實現(xiàn)及其在圖像銳化中的應用。這種方法包括首先定義二階導數(shù)的離散公式，然后在這個公式的基礎上構造一個濾波器核。類似于3.5節(jié)介紹的高斯低通核，這里我們的興趣是各向同性核，這種核的響應與圖像中灰度不連續(xù)的方向無關?？梢宰C明(Rosenfeld

and

Kak[1982]),最簡單的各向同性導數(shù)算子(核)是拉普拉斯，對于兩個變量的函數(shù)(圖像)f(x,y),它定義為鈍化掩蔽和高提升濾波從原圖像中減去一幅鈍化(平滑后的)圖像，是20世紀30年代以來印刷和出版業(yè)一直用來銳化圖像的過程。這個過程稱為鈍化掩蔽，它由如下步驟組成：1.模糊原圖像。2.從原圖像減去模糊后的圖像(產(chǎn)生的差稱為模板)。3.將模板與原圖像相加。使用一階導數(shù)銳化圖像——梯度圖3.50(d)和(e)中的核稱為Sobel算子。在中心系數(shù)中使用權值2的原因是，強調(diào)中心的重要程度來實現(xiàn)某種平滑(詳見第10章中的討論)。圖3.50中所有核的系數(shù)之和都為零，因此它們對恒定灰度區(qū)域給出零響應，就像期望的導數(shù)算子那樣。07低通、高通、帶阻和帶通濾波器概述圖3.56(d)顯示了帶阻濾波后的圖像，其中中頻帶的衰減非常明顯。最后，圖3.56(e)顯示了帶通濾波后的結(jié)果。這幅圖像也有負值，因此圖3.