【ch03】灰度變換與空間濾波

數(shù)字圖像處理（第四版）灰度變換與空間濾波第三章國(guó)外電子與通信教材系列01背景灰度變換和空間濾波基礎(chǔ)本章中討論的空間域處理基于表達(dá)式g(x,y)=T[f(x,y)]

式中，f(x,y)是輸入圖像，g(x,y)是輸出圖像，T是在點(diǎn)(x,y)的一個(gè)鄰域上定義的針對(duì)f的算子。圖3.1是式(3.1)在單幅圖像上的基本實(shí)現(xiàn)。02一些基本的灰度變換函數(shù)圖像反轉(zhuǎn)使用圖3.3所示的反轉(zhuǎn)變換函數(shù)，得到的灰度級(jí)在區(qū)間[0,L-1]內(nèi)的反轉(zhuǎn)圖像的形式為s=L-1-r

采用這種方式反轉(zhuǎn)圖像的灰度級(jí)，會(huì)得到類似于照片底片的結(jié)果。對(duì)數(shù)變換圖3.3中的對(duì)數(shù)變換的通式為s=clog(1+r)式中，c是一個(gè)常數(shù)，并假設(shè)r≥0。圖3.3中對(duì)數(shù)曲線的形狀表明，這個(gè)變換將輸入中范圍較窄的低灰度值映射為輸出中范圍較寬的灰度級(jí)。例如，注意區(qū)間[0,L/4]中的輸入灰度級(jí)是如何映射到區(qū)間[0,3L/4]中的輸出灰度級(jí)的。相反，輸入中的高灰度值則被映射為輸出中范圍較窄的灰度級(jí)。我們使用這類變換來(lái)擴(kuò)展圖像中的暗像素值，同時(shí)壓縮高灰度級(jí)值。反對(duì)數(shù)(指數(shù))變換的功能正好相反。冪律(伽馬)變換冪律變換的形式為式中，c和y是正常數(shù)?？紤]到偏移(即輸入為0時(shí)的一個(gè)可度量輸出),有時(shí)也將式(3.5)寫(xiě)為s=c(r+ε)。然而，偏移通常是顯示校準(zhǔn)問(wèn)題，因此在式(3.5)中可以忽略不計(jì)。圖3.6是γ為不同值時(shí)r和s的關(guān)系曲線。分段線性變換函數(shù)1.對(duì)比度拉伸圖3.10(a)是用于對(duì)比度拉伸的一個(gè)典型變換。圖3.10(b)顯示了一幅低對(duì)比度的8比特圖像。圖3.10(c)顯示了令(r1,s1)=(rmin,0)和(r2,s2)=(rmax,L-1)時(shí)得到的對(duì)比度拉伸結(jié)果。圖3.10(d)是使用闕值處理函數(shù)后的結(jié)果，其中(r1,s1)=(m,0)和(r2,s2)=(m,L-1),m是圖像中的平均灰度級(jí)。分段線性變換函數(shù)2.灰度級(jí)分層這種變換[見(jiàn)圖3.11(a)]產(chǎn)生一幅二值圖像。另一種方法基于圖3.11(b)中的變換，使期望的灰度范圍變亮(或變暗),但保持圖像中的其他灰度級(jí)不變。分段線性變換函數(shù)3.比特平面分層像素值是由比特組成的整數(shù)。例如，在一幅256級(jí)灰度圖像中，圖像值是由8比特(1字節(jié))組成的。如圖3.13所示，8比特圖像可視為由8個(gè)1比特平面組成，其中平面1包含圖像中所有像素的最低有效比特而平面8包含所有像素的最高有效比特。03直方圖處理直方圖均衡化圖3.17(a)顯示了滿足條件(a)和(b)的一個(gè)函數(shù)。這里，我們看到多個(gè)輸入值映射到單個(gè)輸出值并且仍然滿足這兩個(gè)條件是可能的。如圖3.17(b)所示，要求T(r)嚴(yán)格單調(diào)可以保證逆映射是單值的(即映射在兩個(gè)方向上是一對(duì)一的)。這是一個(gè)理論上的要求，它允許我們?cè)诒菊潞竺嫱茖?dǎo)一些重要的直方圖處理技術(shù)。直方圖匹配(規(guī)定化)如上節(jié)所述，直方圖均衡化產(chǎn)生一個(gè)變換函數(shù)，它試圖生成一幅具有均勻直方圖的輸出圖像。希望自動(dòng)增強(qiáng)圖像時(shí)，這是一個(gè)值得考慮的較好方法，因?yàn)檫@種技術(shù)的結(jié)果是可以預(yù)測(cè)的，并且這一方法容易實(shí)現(xiàn)。然而，在有些應(yīng)用中使用直方圖均衡化是不合適的。特別地，有時(shí)能夠規(guī)定待處理圖像的直方圖形狀是有用的。用于生成具有規(guī)定直方圖的圖像的方法，稱為直方圖匹配或直方圖規(guī)定化。局部直方圖處理迄今為止討論的直方圖處理方法都是全局性的，因?yàn)橄袼厥怯苫谡麄€(gè)圖像的灰度分布的變換函數(shù)修改的。這種全局性方法適合于整體增強(qiáng)，但當(dāng)目的是增強(qiáng)圖像中幾個(gè)小區(qū)域的細(xì)節(jié)時(shí)，通常就會(huì)失敗。這是因?yàn)樵谶@些小區(qū)域中，像素的數(shù)量對(duì)計(jì)算全局變換的影響可以忽略。解決方法是設(shè)計(jì)基于像素鄰域的灰度分布的變換函數(shù)。使用直方圖統(tǒng)計(jì)量增強(qiáng)圖像直接從圖像直方圖得到的統(tǒng)計(jì)量信息可用于增強(qiáng)圖像。令r是一個(gè)離散隨機(jī)變量，它表示區(qū)間[0,L-

1]內(nèi)的灰度值；令p(ri)是對(duì)應(yīng)于灰度值ri的歸一化直方圖分量。如前所述，我們可將p(ri)視為圖像中出現(xiàn)灰度ri的概率的一個(gè)估計(jì)，由p(ri)可以得到圖像的直方圖。對(duì)于灰度級(jí)在區(qū)間[0,L-1]內(nèi)的圖像，灰度值r相對(duì)于其均值m的第n階矩定義為式中，m為均值是平均灰度的測(cè)度，而方差(或標(biāo)準(zhǔn)差σ)是圖像對(duì)比度的測(cè)度。04空間濾波基礎(chǔ)線性空間濾波的原理線性空間濾波器在圖像f和濾波器核w之間執(zhí)行乘積之和運(yùn)算。核是一個(gè)陣列，其大小定義了運(yùn)算的鄰域，其系數(shù)決定了該濾波器的性質(zhì)。用于稱呼空間濾波器核的其他術(shù)語(yǔ)有模板和窗口。我們使用術(shù)語(yǔ)濾波器核或核。圖3.28說(shuō)明了使用3×3核進(jìn)行線性空間濾波的原理。在圖像中的任何一點(diǎn)(x,y)處，濾波器的響應(yīng)g(x,y)是核系數(shù)和核所覆蓋圖像像素的乘積之和：空間相關(guān)與卷積圖3.28以圖形方式說(shuō)明了空間相關(guān)，式(3.31)給出了其數(shù)學(xué)描述。相關(guān)的運(yùn)算過(guò)程如下：在圖像上移動(dòng)核的中心，并且在每個(gè)位置計(jì)算乘積之和?？臻g卷積的原理相同，只是把相關(guān)運(yùn)算的核旋轉(zhuǎn)了180°。因此，當(dāng)核的值關(guān)于其中心對(duì)稱時(shí)，相關(guān)和卷積得到的結(jié)果相同。旋轉(zhuǎn)核的原因見(jiàn)下面的討論。要了解相關(guān)和卷積的不同之處，最好通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明?？煞蛛x濾波器核如2.6節(jié)所述，若二維函數(shù)G(x,y)可寫(xiě)為一維函數(shù)G?(x)和G?(x)的乘積，即G(x,y)=G?(x)G?(y),則它是可分離的?？臻g濾波器核是一個(gè)矩陣，而可分離核是一個(gè)能夠表示為兩個(gè)向量的外積的矩陣。例如，2×3核是可分離的，因?yàn)樗梢员硎緸槿缦聝蓚€(gè)向量的外積：空間域?yàn)V波和頻率域?yàn)V波的一些重要比較空間域處理和頻率域處理之間的聯(lián)系紐帶是傅里葉變換。我們用傅里葉變換從空間域進(jìn)入頻率域，用傅里葉反變換返回空間域。這將在第4章中詳細(xì)討論。這里的重點(diǎn)是與空間域和頻率域有關(guān)的兩個(gè)基本性質(zhì)：1.卷積是空間域?yàn)V波的基礎(chǔ)，它等效于頻率域中的乘法，反之亦然。2.空間域中振幅為A的沖激，是頻率域中值為A的一個(gè)常數(shù)，反之亦然。如何構(gòu)建空間濾波器核第一種構(gòu)建濾波器的方法是根據(jù)其數(shù)學(xué)性質(zhì)。例如，計(jì)算鄰域像素平均值的濾波器會(huì)模糊圖像。計(jì)算平均值類似于積分。第二種構(gòu)建濾波器的方法是對(duì)形狀具有所需性質(zhì)的二維空間函數(shù)進(jìn)行取樣。例如，下一節(jié)中將說(shuō)明使用來(lái)自高斯函數(shù)的樣本可以構(gòu)建加權(quán)平均(低通)濾波器。這些二維空間函數(shù)有時(shí)是作為頻率域中規(guī)定的二維濾波器的傅里葉反變換生成的。第三種構(gòu)建濾波器的方法是設(shè)計(jì)具有規(guī)定頻率響應(yīng)的空間濾波器。這種方法基于前一節(jié)討論的概念，屬于數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)范疇。05平滑(低通)空間濾波器盒式濾波器核最簡(jiǎn)單的可分離低通濾波器核是盒式核，其系數(shù)的值相同(通常為1)。名稱“盒式核”來(lái)自一個(gè)常量核，以三維方式查看它時(shí)，它類似于一個(gè)盒子。圖3.31(a)中顯示了一個(gè)大小為3×3盒式濾波器。低通高斯濾波器核盒式濾波器由于簡(jiǎn)單，因此適合于快速試驗(yàn)，并且它們通常會(huì)產(chǎn)生視覺(jué)上能夠接受的平滑結(jié)果。希望減少邊緣平滑的效應(yīng)時(shí)，它們也是很有用的(見(jiàn)例3.13)。然而，盒式濾波器的一些局限性使得它們很難用于許多應(yīng)用中。例如，散焦透鏡通常被建模為低通濾波器，但盒式濾波器對(duì)透鏡模糊特性的近似能力較差(見(jiàn)習(xí)題3.33)。另一個(gè)限制是，盒式濾波器往往會(huì)沿垂直方向模糊圖像。在涉及精細(xì)細(xì)節(jié)或具有強(qiáng)幾何分量的圖像的應(yīng)用中，盒式濾波器的方向性往往會(huì)產(chǎn)生我們不希望的結(jié)果(例3.13說(shuō)明了這個(gè)問(wèn)題)。這只是不適合使用盒式濾波器的兩個(gè)應(yīng)用。統(tǒng)計(jì)排序(非線性)濾波器統(tǒng)計(jì)排序?yàn)V波器是非線性空間濾波器，其響應(yīng)基于濾波器所包含區(qū)域內(nèi)的像素的排序(排序)。平滑是將中心像素的值替代為由排序結(jié)果確定的值來(lái)實(shí)現(xiàn)的。這類濾波器中最知名的濾波器是中值濾波器，中值濾波器用中心像素的鄰域內(nèi)的灰度值的中值替代中心像素的值(計(jì)算中值時(shí)包括中心像素的值)。中值濾波器對(duì)某些類型的隨機(jī)噪聲提供了優(yōu)秀的降噪能力，與類似大小的線性平滑濾波器相比，中值濾波器對(duì)圖像的模糊程度要小得多。存在沖激噪聲(有時(shí)我們把以白點(diǎn)和黑點(diǎn)形式疊加到圖像上的沖激噪聲稱為椒鹽噪聲)時(shí)，中值濾波器尤其有效。06銳化(高通)空間濾波器基礎(chǔ)數(shù)字函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是用差分來(lái)定義的。定義這些差分的方法有多種，但一階導(dǎo)數(shù)的任何定義都要滿足如下要求：1.恒定灰度區(qū)域的一階導(dǎo)數(shù)必須為零。2.灰度臺(tái)階或斜坡開(kāi)始處的一階導(dǎo)數(shù)必須非零。3.灰度斜坡上的一階導(dǎo)數(shù)必須非零?；A(chǔ)類似地，二階導(dǎo)數(shù)的任何定義都要滿足如下要求：1.恒定灰度區(qū)域的二階導(dǎo)數(shù)必須為零。2.灰度臺(tái)階或斜坡的開(kāi)始處和結(jié)束處的二階導(dǎo)數(shù)必須非零。3.灰度斜坡上的二階導(dǎo)數(shù)必須為零。由于我們正在處理的數(shù)字量的值是有限的，因此最大可能的灰度變化也是有限的，變化發(fā)生的最短距離是相鄰像素間的距離。使用二階導(dǎo)數(shù)銳化圖像

拉普拉斯本節(jié)討論二階導(dǎo)數(shù)的實(shí)現(xiàn)及其在圖像銳化中的應(yīng)用。這種方法包括首先定義二階導(dǎo)數(shù)的離散公式，然后在這個(gè)公式的基礎(chǔ)上構(gòu)造一個(gè)濾波器核。類似于3.5節(jié)介紹的高斯低通核，這里我們的興趣是各向同性核，這種核的響應(yīng)與圖像中灰度不連續(xù)的方向無(wú)關(guān)?？梢宰C明(Rosenfeld

and

Kak[1982]),最簡(jiǎn)單的各向同性導(dǎo)數(shù)算子(核)是拉普拉斯，對(duì)于兩個(gè)變量的函數(shù)(圖像)f(x,y),它定義為鈍化掩蔽和高提升濾波從原圖像中減去一幅鈍化(平滑后的)圖像，是20世紀(jì)30年代以來(lái)印刷和出版業(yè)一直用來(lái)銳化圖像的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程稱為鈍化掩蔽，它由如下步驟組成：1.模糊原圖像。2.從原圖像減去模糊后的圖像(產(chǎn)生的差稱為模板)。3.將模板與原圖像相加。使用一階導(dǎo)數(shù)銳化圖像——梯度圖3.50(d)和(e)中的核稱為Sobel算子。在中心系數(shù)中使用權(quán)值2的原因是，強(qiáng)調(diào)中心的重要程度來(lái)實(shí)現(xiàn)某種平滑(詳見(jiàn)第10章中的討論)。圖3.50中所有核的系數(shù)之和都為零，因此它們對(duì)恒定灰度區(qū)域給出零響應(yīng)，就像期望的導(dǎo)數(shù)算子那樣。07低通、高通、帶阻和帶通濾波器概述圖3.56(d)顯示了帶阻濾波后的圖像，其中中頻帶的衰減非常明顯。最后，圖3.56(e)顯示了帶通濾波后的結(jié)果。這幅圖像也有負(fù)值，因此圖3.