《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)》教師閱讀感悟（僅供學(xué)習(xí)）

《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)》教師閱讀感悟（僅供學(xué)習(xí)）今年暑假，在工作室導(dǎo)師XX老師的帶領(lǐng)下，工作室成員共讀了馬立平博士的力作——《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)》。在該書中，馬立平博士結(jié)合大量的教學(xué)案例、調(diào)查數(shù)據(jù)，深入分析了中美小學(xué)教師在數(shù)學(xué)知識水平和對所教內(nèi)容的理解方面存在的差異，發(fā)現(xiàn)我國教師實(shí)際上他們學(xué)的數(shù)學(xué)很少，但是他們對所學(xué)都能掌握得更深刻，更有利于教師向?qū)W生講解重要數(shù)學(xué)概念的能力，并總結(jié)了我國在學(xué)校教育、職前教育、教學(xué)實(shí)踐這種螺旋形循環(huán)上升的三個階段發(fā)展了教師對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的深刻理解。正如RichardAskey教授評價的那樣：“馬立平的著作已給了我關(guān)于如何改進(jìn)數(shù)學(xué)教育的希望。她闡述了什么是小學(xué)教師的‘基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識的深刻理解’，也給出了關(guān)于如何幫助更多的教師獲得這些知識的建議?！弊鳛橐幻W(xué)數(shù)學(xué)教師，這本書給予了我許多啟示。書中每個案例由TELT訪談問題開始，通過一個課堂情境呈現(xiàn)教學(xué)，由小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中中的案例與破析著手，每個案例都有四個板塊組成：教一個課題，處理學(xué)生的錯誤，形成某個專題的表征，應(yīng)對學(xué)生的新想法。讀起來很容易聯(lián)想到我自己平時的教學(xué)和課堂，一方面追根溯源，另一方面提升思維深刻性，其中既有老師的教，也有學(xué)生的學(xué)；既有對他執(zhí)教的評，也有對自己教學(xué)實(shí)踐的反思。研讀此書仿佛親歷如何雕琢一堂堂好課，受益匪淺，下面結(jié)合幾個案例談?wù)勛约鹤x后的點(diǎn)滴感想：一、把握整體結(jié)構(gòu)，促知識深刻理解這本書的第一章到第四章通過訪談勾勒出教師數(shù)學(xué)學(xué)科知識的現(xiàn)狀，內(nèi)容分別由退位減法、多位數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法，以及封閉圖形面積和周長的關(guān)系四個標(biāo)準(zhǔn)專題組成。每一章中，詳細(xì)描述美國教師和中國教師面對這樣的課堂情境會如何回答，再通過數(shù)據(jù)資料的討論來歸納結(jié)論。發(fā)現(xiàn)中國教師相對于美國教師更傾向于發(fā)現(xiàn)算法的數(shù)學(xué)原理和運(yùn)用符號對解釋做出證明，更致力于發(fā)掘靈活多樣的概念性理解，融通聯(lián)結(jié)知識包，建立小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的縱向鏈接。因此，需整體把握內(nèi)容結(jié)構(gòu)，才能促進(jìn)基礎(chǔ)知識的深刻理解。整體而言，中國教師的知識具有明顯的連貫性，而美國教師的知識明顯是零散的。令我印象比較深刻的是第三章中美國和中國小學(xué)數(shù)學(xué)教師對分?jǐn)?shù)除法的理解。訪談中提到美國教師在分?jǐn)?shù)除法只提到了“倒過來”相乘一種算法，可是中國教師提到了至少3種其他的方法：使用小數(shù)做分?jǐn)?shù)除法、應(yīng)用分配率，以及不使用乘以除數(shù)的倒數(shù)做分?jǐn)?shù)除法。在對分?jǐn)?shù)除法意義的討論中，有一些被提到的概念是與專題相關(guān)的知識包中的知識點(diǎn)：整數(shù)乘法的意義、作為乘法逆運(yùn)算的除法概念、整數(shù)乘法的概念、分?jǐn)?shù)乘法的概念、分?jǐn)?shù)的概念、單位的概念等等。中國教師在分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算中顯示的分?jǐn)?shù)知識明顯比美國教師扎實(shí)得多，并了解分?jǐn)?shù)和其它數(shù)學(xué)知識之間的豐富聯(lián)系，能在不同數(shù)之間熟練換算，另外還了解分?jǐn)?shù)除法的模型與分?jǐn)?shù)乘法的意義、與整數(shù)除法的模型是如何聯(lián)系的。書中提到，中國教師具有良好的知識包，分?jǐn)?shù)乘法的意義在知識包中十分重要，聯(lián)系了多個相關(guān)概念，從這個角度看，學(xué)習(xí)是一個連續(xù)的過程，前面的知識支持新的知識，新知識又加強(qiáng)和深化原先的知識。史寧中教授曾指出：“無論是認(rèn)識數(shù)量還是認(rèn)識數(shù)都不是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是在認(rèn)識數(shù)量的同時認(rèn)識數(shù)量之間的關(guān)系，在認(rèn)識數(shù)的同時認(rèn)識數(shù)之間的關(guān)系?！蔽衣?lián)想到近期研磨的《分?jǐn)?shù)的意義》一課，“分?jǐn)?shù)的意義”是人教版五年級下冊的教學(xué)內(nèi)容，是在三年級“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”的基礎(chǔ)上教學(xué)的，是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的開始，也是后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)性質(zhì)和運(yùn)算的基礎(chǔ)，承載著重要的角色。那么分?jǐn)?shù)的意義的教學(xué)該如何把握內(nèi)容整體結(jié)構(gòu)，促進(jìn)概念深刻理解，我們是這樣做的：1.建立“抽象”和“具體”的聯(lián)系。通過把一個物體平均分過渡到一些物體平均分，抽象出“一個整體”，這是第一次抽象。學(xué)生比較幾種畫法的相同之處，在頭腦中建立分?jǐn)?shù)表象，初步感受分?jǐn)?shù)概念的意義，這是第二次抽象。抽象出單位“1”和分?jǐn)?shù)的意義概念后，還需要借助具體對象來幫助理解抽象的概念，經(jīng)歷具體——抽象——具體的過程。2.建立“概念間”的聯(lián)系。借助問題“說一說分?jǐn)?shù)的意義”，啟發(fā)學(xué)生思考單位“1”、分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)單位這三個概念之間的聯(lián)系，形成橫向關(guān)聯(lián)，即把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)是分?jǐn)?shù)單位，表示其中一份或幾份的數(shù)是分?jǐn)?shù)。3.建立“數(shù)”的聯(lián)系。通過在數(shù)軸上面表示，把“分?jǐn)?shù)”置于數(shù)的領(lǐng)域中，形成縱向關(guān)聯(lián)，溝通“整數(shù)”、“小數(shù)”、“分?jǐn)?shù)”的橫向內(nèi)在聯(lián)系。使得“分?jǐn)?shù)的意義”，同化到整個“數(shù)的意義”的知識結(jié)構(gòu)中，引領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)“數(shù)”的知識體系，從而形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)二、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，促學(xué)習(xí)深度發(fā)生馬博士在書中提到，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的深刻理解（PUFM），是指理解基礎(chǔ)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的深度、寬度和完整度，不僅僅是對小學(xué)數(shù)學(xué)有很好的概念性理解——而且還是對小學(xué)數(shù)學(xué)中存在的概念結(jié)構(gòu)和基本的數(shù)學(xué)態(tài)度的掌握，還有能為概念提供的基礎(chǔ)并把那些基本的態(tài)度傳授給學(xué)生的能力。具有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識深刻理解的教室的教學(xué)具有關(guān)聯(lián)度，鼓勵多種方法解決給定的問題，重溫和強(qiáng)化基本概念，有縱向的融會貫通。書中還指出，理解概念性理解更大程度上是對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的闡釋，而過程性教學(xué)是使學(xué)生充分展現(xiàn)和經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維活動，參與到發(fā)現(xiàn)的過程中來，兩者互為表里，相輔相成。這段描述讓我想到正在讀的另一本書《深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)》，書中提到了：“深度學(xué)習(xí)過程著眼于學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的整體理解，促進(jìn)學(xué)生的知識建構(gòu)和方法遷移，并有助于學(xué)生高階思維的發(fā)展。”這正與馬博士在書中指出的“課堂改革的關(guān)鍵：無論課堂互動形式如何，都必須關(guān)注實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)”不謀而合。在本書第二章“多位數(shù)的乘法：處理學(xué)生的錯誤”中提到：部分學(xué)生做題過程中忘記將乘積移位，美國教師使用過程性的教學(xué)方法時認(rèn)為沒有必要理解過程背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)和思想，并不關(guān)心概念性理解，從而忽視了教學(xué)是過程與概念互相作用的。而大部分中國教師傾向于用它們的解釋和示范來說明該算法的基本原理，是建立在見識的概念基礎(chǔ)上的。造成這種現(xiàn)象的主要原因是有限的學(xué)科知識限制了教師促進(jìn)學(xué)生概念學(xué)習(xí)的能力。筆者認(rèn)為教師要把握數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生可以從學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)過程三大視角來理解：1.以核心內(nèi)容為線索確定學(xué)習(xí)主題。小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)以數(shù)學(xué)學(xué)科的核心內(nèi)容為線索，從核心內(nèi)容除法，提煉出具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，在促進(jìn)學(xué)生理解與掌握知識的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和解決問題的能力。實(shí)施深度學(xué)習(xí)要在學(xué)科大知識結(jié)構(gòu)下展開設(shè)計(jì)，利用多種方式促進(jìn)學(xué)生所學(xué)知識與已有知識間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)積極主動的自主建構(gòu)，形成合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)是小學(xué)階段“數(shù)的認(rèn)識”內(nèi)容的重要主題。在進(jìn)行“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)設(shè)計(jì)時，就要在具體情境中使學(xué)生經(jīng)歷由“單一”到“整體”的過程，經(jīng)歷概念建構(gòu)。抓住“分?jǐn)?shù)單位”這一核心要素，借助操作工具—數(shù)軸，深化分?jǐn)?shù)的意義，逐步把分?jǐn)?shù)的知識融入數(shù)的學(xué)習(xí)系統(tǒng)，引領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)“數(shù)”的知識體系，使學(xué)生在不斷完善知識網(wǎng)絡(luò)的過程中，形成分?jǐn)?shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，理解概念本質(zhì)意義，同時發(fā)展高階思維、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。2.以核心素養(yǎng)為重點(diǎn)確定學(xué)習(xí)目標(biāo)。深度學(xué)習(xí)圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題展開，以促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的目標(biāo)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以引導(dǎo)學(xué)生積極參與和高度投入的學(xué)習(xí)過程。教學(xué)目標(biāo)的提煉，是對單元內(nèi)容整體分析的結(jié)果。如在教學(xué)“20以內(nèi)退位減法”單元時，計(jì)算部分有十幾減9，十幾減8、7、6，十幾減5、4、3、2三部分。十幾減9通過擺一擺、圈一圈等方式，重點(diǎn)理解“破十法；十幾減8、7、6淡化算法多樣化，突出破十法和想加算減；而十幾減5、4、3、2直觀理解“破十法”，優(yōu)化到用“想加算減法”直接說出得數(shù)。同一單元不同主題，所需達(dá)成的目標(biāo)并不相同。3.以問題情境為突破口設(shè)計(jì)教學(xué)活動。要在整體分析學(xué)習(xí)主題和確定目標(biāo)的基礎(chǔ)上，將單元學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行分解或重組，著重圍繞核心內(nèi)容的探究主題，設(shè)計(jì)引發(fā)學(xué)生參與和思考的教學(xué)活動，組織深度學(xué)習(xí)探究活動。如一年級學(xué)生在學(xué)習(xí)“等號”時對其意義理解不全面，往往認(rèn)為等號表示計(jì)算的結(jié)果，而忽視其真正含義是表示左右相等的關(guān)系。因此筆者設(shè)計(jì)了“等式的秘密”一課，借助操作工具“數(shù)字天平”，通過核心問題“怎樣使天平平衡”。活動一：掛兩塊重量板，學(xué)生很容易得出這類1=1，2=2的結(jié)論，學(xué)會用等式來記錄天平平衡；活動二：掛三塊重量板，學(xué)生不難得出這類1+2=3的關(guān)系，認(rèn)識了數(shù)與式也可以用等式表示；活動三：掛四塊重量板，學(xué)生在操作、記錄、交流、反思之后，得出2+3=1+4這類結(jié)論，了解到原來式與式相等也可以用等號表示。以三個主題問題為突破口促進(jìn)學(xué)生對等號意義的理解和掌握。三、注重實(shí)踐中學(xué)習(xí)，促教師專業(yè)成長馬立平博士并不滿足于證實(shí)中美教師在理解上的差異，她也在探究存在這些差異的原因。對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的深刻理解，不僅僅是對小學(xué)數(shù)學(xué)有很好的概念性理解，而且還是對小學(xué)數(shù)學(xué)中內(nèi)在的概念結(jié)構(gòu)和基本的數(shù)學(xué)態(tài)度的掌握，還有能為概念結(jié)構(gòu)提供的基礎(chǔ)，并把那些基本的態(tài)度傳授給學(xué)生的能力。那如何達(dá)到呢?訪談中一個重大成果就是：中國教師能繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并且對他們所教內(nèi)容的理解追求精益求精，他們對教學(xué)內(nèi)容精心鉆研并進(jìn)行集體探討；而美國教師在教學(xué)中沒有機(jī)會進(jìn)行集體研討，因此可能教了多年也沒有加深對所教內(nèi)容的理解。我國教師提出的鉆研教材、向同事學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、向?qū)W生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、通過做數(shù)學(xué)來學(xué)數(shù)學(xué)等等。學(xué)科知識的重要性不言而喻，那作為教師的持續(xù)學(xué)習(xí)和終身學(xué)習(xí)也就十分重要了，只有教師自身具備了不斷學(xué)習(xí)提升自我的能力，才能教會孩子們?nèi)绾螌W(xué)習(xí)。教師學(xué)科知識的提高與數(shù)學(xué)教育的提高是相互交織、相互依賴的過程，兩者必定同時發(fā)生。本書中描述了培養(yǎng)教師的數(shù)學(xué)學(xué)科知識的三個階段：學(xué)校教育、職前教育、教學(xué)實(shí)踐，在中國，這種循環(huán)是螺旋上升的。在教師教育中，教學(xué)生涯賦予學(xué)生數(shù)學(xué)能力的同時，業(yè)發(fā)展了教師的學(xué)科知識，要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量，一個重要的舉措應(yīng)該首先提高教師的數(shù)學(xué)知識的素質(zhì)，因此，在實(shí)踐中學(xué)習(xí)以促進(jìn)教師的專業(yè)成長就顯得尤為重要。1.深入專研教材。從本書前四章中個案研究中可以看到，不同教師對相同的課題有可能會有非常不同的領(lǐng)會。教師的知識在教材內(nèi)容的選擇和解釋中發(fā)揮了非常重要的作用。書中指出教師要全面研究教材，也就是要理解“教什么”，單獨(dú)或集體鉆研它，談?wù)摻滩牡木幣乓鈭D、各部分內(nèi)容間的聯(lián)系、每個單元的組織形式、呈現(xiàn)方式等。此外，教師還要研究“怎么教”，也就是“如何處理教材的問題”，研究如何呈現(xiàn)內(nèi)容、解釋主題、設(shè)計(jì)合適的練習(xí)等。通過討論主題相聯(lián)系的概念、教學(xué)的重難點(diǎn)和學(xué)生的錯誤及困難等，通過這些過程提供教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、學(xué)生思維和縱向的連貫性等的建議。2.發(fā)揮教研引領(lǐng)功能。馬博士在書中提到，中國教師不僅獨(dú)自研究教材，還和同事一起研究，在對數(shù)學(xué)的理解上，同事間也存在著互動。我想校本培訓(xùn)和學(xué)時培訓(xùn)就是很好的向同事學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。通過各種方式的教研活動，發(fā)揮小團(tuán)隊(duì)的核心力量，搭建了開放的展示平臺，營造了互學(xué)的氛圍，促進(jìn)教師間共研、共享、共進(jìn)。很多時候，教師的成長過程不是單打獨(dú)斗，而是結(jié)伴而行、報團(tuán)取暖。同伴互學(xué)互助有助于打破教師間的相互隔閡，形成一種合作型教師文化，推動教師專業(yè)學(xué)習(xí)的持續(xù)發(fā)展。3.提升教學(xué)實(shí)踐作用。書中還提到教師提升的其他方式：向?qū)W生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、通過做數(shù)學(xué)來學(xué)數(shù)學(xué)、通過解題學(xué)習(xí)、一輪一輪教學(xué)學(xué)習(xí)。我想這些方式都是通過教師的教學(xué)實(shí)踐提高自身教學(xué)水平和知識理解水平。教師的數(shù)學(xué)學(xué)科知識