北師大版選擇性631離散型隨機(jī)變量的均值課件（48張）

§3離散型隨機(jī)變量的均值與方差3.1離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實(shí)例了解均值概念的建構(gòu)過程,理解離散型隨機(jī)變量均值的概念,能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值,提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值,反映離散型隨機(jī)變量的平均水平,解決一些相關(guān)的實(shí)際問題,通過實(shí)際應(yīng)用,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).知識(shí)梳理·自主探究師生互動(dòng)·合作探究知識(shí)梳理·自主探究知識(shí)探究問題:某商場(chǎng)為滿足市場(chǎng)需求要將單價(jià)分別為18元/kg,24元/kg,36元/kg的3種糖果按3∶2∶1的比例混合銷售,其中混合糖果中每一顆糖果的質(zhì)量都相等,如何對(duì)混合糖果定價(jià)才合理?假如從這種混合糖果中隨機(jī)選取一顆,記ξ為這顆糖果的單價(jià)(元/kg),你能寫出ξ的分布列嗎?1.離散型隨機(jī)變量的均值設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱EX=

為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱

).均值EX刻畫的是X取值的“

”.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn期望中心位置2.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布,則EX=

.0·(1-p)+1·p=p思考:若X,Y都是離散型隨機(jī)變量,且Y=aX+b(其中a,b是常數(shù)),那么EY與EX有怎樣的關(guān)系?提示:X,Y的分布列為Xx1x2…xi…xnYax1+bax2+b…axi+b…axn+bPp1p2…pi…pn于是EY=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aEX+b.做一做:設(shè)ξ的分布列為D師生互動(dòng)·合作探究探究點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的均值解:(1)甲團(tuán)體沒有勝的概率為(1-0.7)×0.6=0.18,所以甲團(tuán)體至少勝一輪的概率為1-0.18=0.82.解:(2)乙團(tuán)體兩輪比賽獲得的獎(jiǎng)金總額為X元,X的可能取值為2000,6000,9000,13000,P(X=2000)=0.7×0.4=0.28,P(X=6000)=0.3×0.4=0.12,P(X=9000)=0.7×0.6=0.42,P(X=13000)=0.3×0.6=0.18.所以X的分布列為X20006000900013000P0.280.120.420.18所以EX=2000×0.28+6000×0.12+9000×0.42+13000×0.18=7400.方法總結(jié)求離散型隨機(jī)變量的均值的步驟(1)理解隨機(jī)變量X的意義,寫出X可能取得的全部值.(2)求X取每個(gè)值的概率.(3)寫出X的分布列.(4)由均值定義求出EX.[針對(duì)訓(xùn)練](2021·遼寧錦州期末)某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷,規(guī)定凡在該超市購物滿400元的顧客,均可獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).摸獎(jiǎng)規(guī)則如下:獎(jiǎng)盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個(gè)球(紅、黃、黑、白).顧客不放回地每次摸出1個(gè)球,若摸到黑球則摸獎(jiǎng)停止,否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元,摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)10元,摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).(1)求1名顧客摸球2次停止摸獎(jiǎng)的概率;[針對(duì)訓(xùn)練](2021·遼寧錦州期末)某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷,規(guī)定凡在該超市購物滿400元的顧客,均可獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).摸獎(jiǎng)規(guī)則如下:獎(jiǎng)盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個(gè)球(紅、黃、黑、白).顧客不放回地每次摸出1個(gè)球,若摸到黑球則摸獎(jiǎng)停止,否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元,摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)10元,摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).(2)記X為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.探究點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量均值的簡(jiǎn)單應(yīng)用方法總結(jié)求線性關(guān)系的隨機(jī)變量Y=aX+b的均值的方法(1)定義法.先列出Y的分布列,再求均值.(2)性質(zhì)法.直接套用公式EY=E(aX+b)=aEX+b求解即可.探究點(diǎn)三

均值的實(shí)際應(yīng)用[例3](2021·廣東順德高二期末)某蛋糕廠商在兩個(gè)社區(qū)分別開了連鎖店A和B,通過一段時(shí)間的經(jīng)營統(tǒng)計(jì),店A和店B每日銷售的蛋糕數(shù)分別為X,Y.已知X,Y的分布列如表:(1)求店A在3天共賣出15個(gè)蛋糕的概率;[例3](2021·廣東順德高二期末)某蛋糕廠商在兩個(gè)社區(qū)分別開了連鎖店A和B,通過一段時(shí)間的經(jīng)營統(tǒng)計(jì),店A和店B每日銷售的蛋糕數(shù)分別為X,Y.已知X,Y的分布列如表:(2)蛋糕保質(zhì)期短,當(dāng)日沒銷售出去只能作垃圾處理.為了防止食品浪費(fèi),該蛋糕廠商決定今后每日僅生產(chǎn)10個(gè)蛋糕給兩家連鎖店,那么在市場(chǎng)需求不變的情況下如何分配這10個(gè)蛋糕最優(yōu)?請(qǐng)說明理由.方法總結(jié)用均值處理決策問題的一般步驟(1)用不同的字母表示問題中相關(guān)的隨機(jī)變量.(2)分別求出它們的分布列和均值.(3)根據(jù)均值差異選取符合條件的方案.[針對(duì)訓(xùn)練](2021·重慶高二期中)某村引導(dǎo)村民種植一種名貴中藥材,但這種中藥材需加工成半成品才能銷售.現(xiàn)有甲、乙兩種針對(duì)這種中藥材的加工方式可供選擇,為比較這兩種加工方式的優(yōu)劣,村委會(huì)分別從利用甲、乙兩種加工方式所加工的半成品中,各自隨機(jī)抽取了100件作為樣本檢測(cè)其質(zhì)量指標(biāo)值(質(zhì)量指標(biāo)值越大,質(zhì)量越好),檢測(cè)結(jié)果如表所示,指標(biāo)區(qū)間

生產(chǎn)方式[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)[110,120)甲種生產(chǎn)方式820362412乙種生產(chǎn)方式62638228頻數(shù)已知每件中藥半成品的等級(jí)與純利潤(rùn)(單位:元)之間的關(guān)系如表所示,指標(biāo)區(qū)間[70,90)[90,100)[100,120)等級(jí)二級(jí)一級(jí)特級(jí)純利潤(rùn)3050100將頻率視為概率,解答下列問題.(1)記利用甲種、乙種加工方式所加工的一件中藥材半成品的利潤(rùn)分別為X,Y,求X,Y的分布列;[針對(duì)訓(xùn)練](2021·重慶高二期中)某村引導(dǎo)村民種植一種名貴中藥材,但這種中藥材需加工成半成品才能銷售.現(xiàn)有甲、乙兩種針對(duì)這種中藥材的加工方式可供選擇,為比較這兩種加工方式的優(yōu)劣,村委會(huì)分別從利用甲、乙兩種加工方式所加工的半成品中,各自隨機(jī)抽取了100件作為樣本檢測(cè)其質(zhì)量指標(biāo)值(質(zhì)量指標(biāo)值越大,質(zhì)量越好),檢測(cè)結(jié)果如表所示,指標(biāo)區(qū)間

生產(chǎn)方式[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)[110,120)甲種生產(chǎn)方式820362412乙種生產(chǎn)方式62638228頻數(shù)已知每件中藥半成品的等級(jí)與純利潤(rùn)(單位:元)之間的關(guān)系如表所示,指標(biāo)區(qū)間[70,90)[90,100)[100,120)等級(jí)二級(jí)一級(jí)特級(jí)純利潤(rùn)3050100將頻率視為概率,解答下列問題.(2)從數(shù)學(xué)期望的角度分析村民選擇哪種中藥材加工方式獲利更多.解:(2)EX=30×0.28+50×0.36+100×0.36=62.4(元),EY=30×0.32+50×0.38+100×0.30=58.6(元),因?yàn)镋X>EY,所以村民選擇甲種中藥材加工方式獲利更多.學(xué)海拾貝均值在分組檢測(cè)中的應(yīng)用典例:某社區(qū)對(duì)55位居民是否患有新冠肺炎進(jìn)行篩查,先到社區(qū)醫(yī)務(wù)室進(jìn)行咽拭子核酸檢測(cè),檢測(cè)結(jié)果呈陽性者,再到醫(yī)院做進(jìn)一步檢查,已知隨機(jī)一人其咽拭子核酸檢測(cè)結(jié)果呈陽性的概率為2%,且每個(gè)人的咽拭子核酸檢測(cè)結(jié)果是否呈陽性相互獨(dú)立.(1)假設(shè)患病的概率是0.3%,且患病者咽拭子核酸檢測(cè)結(jié)果呈陽性的概率為98%,設(shè)這55位居民中有一位的咽拭子核酸檢測(cè)結(jié)果呈陽性,求該居民可以確診為新冠肺炎患者的概率;(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn),咽拭子核酸檢測(cè)采用分組檢測(cè)法可有效減少工作量,具體操作如下:將55位居民分成若干組,先取每組居民的咽拭子核酸混在一起進(jìn)行檢測(cè),若結(jié)果顯示陰性,則可斷定本組居民沒有患病,不必再檢測(cè);若結(jié)果顯示陽性,則說明本組中至少有一位居民患病,需再逐個(gè)進(jìn)行檢測(cè),現(xiàn)有兩個(gè)分組方案:方案一:將55位居民分成11組,每組5人;方案二:將55位居民分成5組,每組11人.試分析哪一個(gè)方案的工作量更少?(參考數(shù)據(jù):0.985≈0.904,0.9811≈0.801)試題情境:病毒檢測(cè).必備知識(shí):離散型隨機(jī)變量的均值.關(guān)鍵能力:數(shù)據(jù)分析能力,運(yùn)算求解能力.學(xué)科素養(yǎng):數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).方法總結(jié)解答概率模型的三個(gè)步驟(1)建模.把實(shí)際問題概率模型化.(2)解模.確定分布列,計(jì)算隨機(jī)變量的均值.(3)回歸.利用所得數(shù)據(jù),對(duì)實(shí)際問題作出判斷.(1)求2份樣本混合的結(jié)果為陽性的概率;(2)若取得4份樣本,考慮以下兩種檢驗(yàn)方案:方案一:采用混合檢驗(yàn);方案二:平均分成兩組,每組2份樣本采用混合檢驗(yàn).若檢驗(yàn)次數(shù)的均值越小,則方案越“優(yōu)”.試問方案一、方案二哪個(gè)更“優(yōu)”?請(qǐng)說明理由.當(dāng)堂檢測(cè)B1.(2021·江蘇靖江高二期中)設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如表所示,且EX=2.5,則b-a等于(

)A2.(2021·山西呂梁高二期末)若隨機(jī)變量X的概率分布列如表,X024P0.30.20.5則E(5X+2009)等于(

)A.2021 B.2.4 C.5.04 D.12.5解析:由分布列得EX=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,所以E(5X+2009)=5EX+2009=5×2.4+2009=2021.故選A.B3.(2021·河南高二期末)某公司參加兩個(gè)項(xiàng)目的招標(biāo),A項(xiàng)目招標(biāo)成功的概率為0.6,B項(xiàng)目招標(biāo)成功的概率為0.4,每個(gè)項(xiàng)目招標(biāo)成功可獲利20萬元,招標(biāo)不成功將損失2萬元,則該公司在這兩個(gè)項(xiàng)目的招標(biāo)中獲利的期望為(

)A.17.5萬元 B.18萬元C.18.5萬元 D.19萬元解析:該公司在這兩個(gè)項(xiàng)目的招標(biāo)中獲利X萬元為隨機(jī)變量,其可能值為40,18,-4,則P(X=40)=0.6×0.4=0.24,P(X=18)=0.62+0.42=0.52,P(X=-4)=0.4×0.6=0.24,于是得EX=40×0.24+18×0.52-4×0.24=18,所以該公司在這兩個(gè)項(xiàng)目的招標(biāo)中獲利的期望為18萬元.故選B.4.(多選題)(2021·福建安溪高二期中)某日A,B兩個(gè)沿海城市受臺(tái)風(fēng)襲擊的概率均為p,已知A,B兩市至少有一個(gè)受臺(tái)風(fēng)襲擊的概率為0.64,若用X表示這一天受臺(tái)風(fēng)襲擊的城市個(gè)數(shù),則(

)A.p=0.4 B.P(X=0)=0.36C.P(X=1