上海市實驗學(xué)校2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

20202021學(xué)年上海市實驗學(xué)校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題1．方程C＝C的解為．2．已知（x﹣）6的二項展開式中，常數(shù)項的值等于．3．如果數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn的平均值為10，方差為3，則3x1+5、3x2+5、…、3xn+5的平均值為，方差為．4．若在二項式（x+1）10的展開式中任取一項，則該項的系數(shù)為奇數(shù)的概率是．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）5．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的表面積為．6．若（1+x﹣x2）3?（1﹣2x2）4＝a0+a1x+a2x2+…+a14x14，則a1+a2+a3+…+a14＝．7．某學(xué)校組織學(xué)生參加勞動實踐活動，其中4名男生和2名女生參加農(nóng)場體驗活動，體驗活動結(jié)束后，農(nóng)場主與6名同學(xué)站成一排合影留念，則2名女生互不相鄰，且農(nóng)場主站在中間的概率等于.（用數(shù)字作答）8．如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1＝F，若＝x+y+z，則x+y+z＝．9．已知三行三列的方陣中有9個數(shù)aij（i＝1，2，3；j＝1，2，3），從中任取三個數(shù)，則有且僅有兩個數(shù)位于同行或同列（注意：不能同時出現(xiàn)既有兩數(shù)同行、又有兩數(shù)同列的情況）的概率是.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）10．如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P是平面ACC1A1上一動點，且滿足，則滿足條件的所有點P所圍成的平面區(qū)域的面積是．二、選擇題11．從0到9這10個數(shù)字中，任取3個數(shù)字組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個數(shù)不被3整除的概率為（）A． B． C． D．12．在（x+y）20的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有（）項A．6 B．5 C．4 D．313．設(shè)正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長為1，高為2，平面α經(jīng)過頂點A，且與棱AB、AD、AA1所在直線所成的角都相等，則滿足條件的平面α共有（）個．A．1 B．2 C．3 D．414．某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（）種不同的選法A．225 B．185 C．145 D．110三、解答題15．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3．（1）求異面直線PB與CD所成角的大??；（2）求點D到平面PBC的距離．16．已知（x﹣）n的二項展開式中x3的系數(shù)是﹣84．（1）求n；（2）求（x﹣）n二項展開式中系數(shù)最小的項．17．有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三組；（2）分給甲、乙、丙人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本；（3）分成每組都是2本的三個組；（4）分給甲、乙、丙三人，每個人2本．18．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，AB＝1，PA?AC＝1，∠ABC＝θ（0°＜θ≤90°）．（1）若θ＝90°，E為PC的中點，求異面直線PA與BE所成角的大?。唬?）若θ＝90°，求二面角A﹣PC﹣B的大??；（3）試求四棱錐P﹣ABCD的體積V的取值范圍．四、附加題19．已知四棱錐S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，E是SC上的任意一點．（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；（2）設(shè)SA＝4，AB＝2，求點A到平面SBD的距離；（3）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，二面角B﹣SC﹣D的大小為120°．20．已知數(shù)列{an}的首項為1，設(shè)．（1）若{an}為常數(shù)列，求f（6）的值；（2）若{an}為公比為2的等比數(shù)列，求f（n）的解析式；（3）數(shù)列{an}能否成等差數(shù)列，使得f（n）﹣1＝2n?（n﹣1）對一切n∈N*都成立？若能，求出數(shù)列{an}的通項公式；若不能，試說明理由．參考答案一、填空題1．方程C＝C的解為2或4．【解答】解；方程C＝C，可得2x＝6﹣x，或2x+（6﹣x）＝10，解得x＝2或4．故答案為：2或4．2．已知（x﹣）6的二項展開式中，常數(shù)項的值等于60．解：∵（x﹣）6的二項展開式的通項公式為Tr+1＝?（﹣2）r?x6﹣3r，令6﹣3r＝0，求得r＝2，可得展開式的常數(shù)項等于×4＝60，故答案為：60．3．如果數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn的平均值為10，方差為3，則3x1+5、3x2+5、…、3xn+5的平均值為35，方差為27．解：因為x1，x2，…，xn的平均值為10，所以3x1+5、3x2+5、…、3xn+5的平均值+5＝35，其方差為[++...+]＝9×3＝27．故答案為：35，27．4．若在二項式（x+1）10的展開式中任取一項，則該項的系數(shù)為奇數(shù)的概率是．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）解：展開式中共有11項，其中只有4項的系數(shù)C100，C102，C108，C1010為奇數(shù)．該項的系數(shù)為奇數(shù)的概率是故答案為5．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的表面積為（3+）π．解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體由圓柱和圓錐組成的組合體；如圖所示：故圓錐的母線長x＝，圓錐的底面周長為2π，所以圓錐的側(cè)面積S＝，圓柱的表面積S＝2?π?1?1+π?12＝3π，故幾何體的表面積為．故答案為：．6．若（1+x﹣x2）3?（1﹣2x2）4＝a0+a1x+a2x2+…+a14x14，則a1+a2+a3+…+a14＝0．解：∵（1+x﹣x2）3?（1﹣2x2）4＝a0+a1x+a2x2+…+a14x14，令x＝0，可得a0＝1，再令x＝1，可得1+a1+a2+a3+…+a14＝1，∴+a1+a2+a3+…+a14＝0，故答案為：0．7．某學(xué)校組織學(xué)生參加勞動實踐活動，其中4名男生和2名女生參加農(nóng)場體驗活動，體驗活動結(jié)束后，農(nóng)場主與6名同學(xué)站成一排合影留念，則2名女生互不相鄰，且農(nóng)場主站在中間的概率等于.（用數(shù)字作答）解：根據(jù)題意，農(nóng)場主與6名同學(xué)站成一排，有A77＝5040種不同的站法，若農(nóng)場主站在中間，有A66＝720種不同的站法，農(nóng)場主人站在中間，兩名女生相鄰共有4A22A44＝192種站法，則2名女生互不相鄰，且農(nóng)場主站在中間的站法有A66﹣4A22A44＝528種站法，則其概率P＝＝，故答案為：．8．如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1＝F，若＝x+y+z，則x+y+z＝2．解：因為＝＝＝，又＝x+y+z，所以，則x+y+z＝2．故答案為：2．9．已知三行三列的方陣中有9個數(shù)aij（i＝1，2，3；j＝1，2，3），從中任取三個數(shù)，則有且僅有兩個數(shù)位于同行或同列（注意：不能同時出現(xiàn)既有兩數(shù)同行、又有兩數(shù)同列的情況）的概率是.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）解：從9個數(shù)中任取3個，共有＝84種選法；當(dāng)3個數(shù)中位于同行或同列時，共有6種選法；當(dāng)3個數(shù)中都位于不同行或不同列時，共有××1＝6種選法；當(dāng)3個數(shù)中既有兩數(shù)同行、又有兩數(shù)同列時共有??＝36種選法；∴從中任取三個數(shù)，則有且僅有兩個數(shù)位于同行或同列（注意：不能同時出現(xiàn)既有兩數(shù)同行、又有兩數(shù)同列的情況）的概率＝＝，故答案為：．10．如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P是平面ACC1A1上一動點，且滿足，則滿足條件的所有點P所圍成的平面區(qū)域的面積是．解：因為，所以D1P⊥CP，故P在以CD1為直徑的球面上，且P在平面ACC1A1上，則P在面ACC1A1截球所得的圓上，設(shè)該圓半徑r，且正方體棱長為2，則CD＝2，球半徑R＝＝，連接B1D1，則B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，所以B1D1⊥平面ACC1A1，所以D1到平面ACC1A1的距離d1＝＝，因為O為CD1中點，所以O(shè)到平面ACC1A1的距離d＝＝，所以圓半徑r＝＝，圓面積S＝πr2＝．故答案為：．二、選擇題11．從0到9這10個數(shù)字中，任取3個數(shù)字組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個數(shù)不被3整除的概率為（）A． B． C． D．解：從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個數(shù)不能被3整除．所有的三位數(shù)有A103﹣A92＝648個，將10個數(shù)字分成三組，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}，若要求所得的三位數(shù)被3整除，則可以分類討論：①三個數(shù)字均取第一組，或均取第二組，有2A33＝12個；②若三個數(shù)字均取自第三組，則要考慮取出的數(shù)字中有無數(shù)字0，共有A43﹣A32＝18個；③若三組各取一個數(shù)字，第三組中不取0，有C31?C31?C31?A33＝162個，④若三組各取一個數(shù)字，第三組中取0，有C31?C31?2?A22＝36個，這樣能被3整除的數(shù)共有228個，不能被3整除的數(shù)有420個，所以概率為＝．故選：C．12．在（x+y）20的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有（）項A．6 B．5 C．4 D．3解：在（x+y）20的展開式中，其通項Tr+1＝?x20﹣r??yr，要使展開式中的系數(shù)為有理數(shù)，則r＝0，4，8，12，16，20，共6項，故選：A．13．設(shè)正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長為1，高為2，平面α經(jīng)過頂點A，且與棱AB、AD、AA1所在直線所成的角都相等，則滿足條件的平面α共有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4解：第一類：①A1在平面的一邊，B，D在另一邊，有一個平面α符合條件；②B在平面的一邊，A1，D在另一邊，有一個平面α符合條件；③D在平面的一邊，A1，B在另一邊，有一個平面α符合條件；第二類：A1，B，D都在平面的同側(cè)，有一個平面α符合條件．綜上所述，滿足條件的平面α共有4個．故選：D．14．某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（）種不同的選法A．225 B．185 C．145 D．110解：根據(jù)題意，按“2人既會英語又會法語”的參與情況分成三類．①““2人既會英語又會法語”不參加，這時有C54C44種；②““2人既會英語又會法語””中有一人入選，這時又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能，因此有C21C53C44+C54C21C43種；③““2人既會英語又會法語””中兩個均入選，這時又分三種情況：兩個都譯英文、兩個都譯日文、兩人各譯一個語種，因此有C22C52C44+C54C22C42+C21C53C11C43種．綜上分析，共可開出C54C44+C21C53C44+C54C21C43+C22C52C44+C54C22C42+C21C53C11C43＝185種．故選：B．三、解答題15．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3．（1）求異面直線PB與CD所成角的大??；（2）求點D到平面PBC的距離．解：（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0）D（0，3，0），∴＝（1，0，﹣1），＝（﹣1，1，0），……設(shè)異面直線PB與CD所成角為θ，則cosθ＝＝，……所以異面直線PB與CD所成角大小為．……（2）設(shè)平面PBC的一個法向量為＝（x，y，z），＝（1，0，﹣1），＝（0，2，0），＝（﹣1，1，0），則，取x＝1，得＝（1，0，1），……∴點D到平面PBC的距離d＝＝．……16．已知（x﹣）n的二項展開式中x3的系數(shù)是﹣84．（1）求n；（2）求（x﹣）n二項展開式中系數(shù)最小的項．解：（1）∵（x﹣）n的二項展開式的通項公式為Tr+1＝?（﹣1）r?xn﹣2r，令n﹣2r＝3，求得n＝2r+3，故x3的系數(shù)是（﹣1）r?＝﹣84，故r為奇數(shù)，求得r＝3，∴n＝9．（2）由于（x﹣）n二項展開式中系數(shù)為（﹣1）r?＝（﹣1）r?，要使該項最小，r應(yīng)該是奇數(shù)，且r比較靠近，故r＝5，故（x﹣）n二項展開式中系數(shù)最小的項為﹣?x﹣1＝﹣．17．有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三組；（2）分給甲、乙、丙人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本；（3）分成每組都是2本的三個組；（4）分給甲、乙、丙三人，每個人2本．解：（1）無序不均勻分組問題．先選1本有C16種選法；再從余下的5本中選2本有C25種選法；最后余下3本全選有C33種方法，故共有C16C25C33＝60種．（2）有序不均勻分組問題．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）題基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有C16C25C33A33＝360種．（3）無序均勻分組問題．先分三步，則應(yīng)是C26C24C22種方法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù)．不妨記6本書為A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為（AB，CD，EF），則C26C24C22種分法中還有（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD），共A33種情況，而這A33種情況僅是AB、CD、EF的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有＝15種．（4）在（3）的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有15A33＝90種．18．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，AB＝1，PA?AC＝1，∠ABC＝θ（0°＜θ≤90°）．（1）若θ＝90°，E為PC的中點，求異面直線PA與BE所成角的大小；（2）若θ＝90°，求二面角A﹣PC﹣B的大??；（3）試求四棱錐P﹣ABCD的體積V的取值范圍．解：（1）因為PA⊥平面ABCD，并且θ＝90°，所以A為坐標(biāo)原點，分別以AB、AD、AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．因為AB＝1，PA?AC＝1，所以，所以，因為E是PC的中點，所以，所以，所以，所以異面直線PA與BE所成角的大小為．（2）設(shè)平面PBC的法向量為：，因為所以，即，取平面PBC的法向量為，因為PA⊥BD，AC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，又，取平面PAC的法向量，所以二面角A﹣PC﹣B的平面角．所以所求二面角A﹣PC﹣B的大小為．（2）由已知可得，平行四邊形ABCD的面積為：S＝sinθ，在△ABC中，由余弦定理可求得，∴，∴，∵0°＜θ≤90°，∴0≤cosθ＜1，∴所以四棱錐P﹣ABCD的體積V的取值范圍是．四、附加題19．已知四棱錐S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，E是SC上的任意一點．（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；（2）設(shè)SA＝4，AB＝2，求點A到平面SBD的距離；（3）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，二面角B﹣SC﹣D的大小為120°．【解答】（1）因為SA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以SA⊥BD．因為底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又SA∩AC＝A，所以BD⊥平面SAC．因為BD?平面EBD，所以平面EBD⊥平面SAC．（2）設(shè)AC∩BD＝F，連接SF，則易知SF⊥BD，因為AB＝2，所以．大為，所以，設(shè)點A到平面SBD的距離為h，因為SA⊥平面ABCD，所以，所以，所以，所以點A至平面SBD的距離為．（3）設(shè)SA＝a（a＞0），AB＝1，以A為原點，AB，AD，AS所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則C（1，1，0），S（0，0，a），B（1，0，0