基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練8：冪函數(shù)及函數(shù)的應(yīng)用(一) 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練8冪函數(shù)及函數(shù)的應(yīng)用(一)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．關(guān)于冪函數(shù)的圖象，下列選項(xiàng)描述正確的是()A．冪函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)(0,0)和(1,1)B．冪函數(shù)的圖象一定關(guān)于y軸或原點(diǎn)對(duì)稱C．冪函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過(guò)第四象限D(zhuǎn)．兩個(gè)不同的冪函數(shù)的圖象最多有兩個(gè)公共點(diǎn)2.如圖，①②③④為選項(xiàng)中的四個(gè)冪函數(shù)的圖象，其中①對(duì)應(yīng)的冪函數(shù)可能是()A．y＝x3 B．y＝eq\r(x)C．y＝x2 D．y＝x3．某商場(chǎng)在國(guó)慶期間舉辦促銷活動(dòng)，規(guī)定顧客購(gòu)物總金額不超過(guò)400元，不享受折扣；若顧客的購(gòu)物總金額超過(guò)400元，則超過(guò)400元的部分分兩檔享受折扣優(yōu)惠，折扣率如表所示：可享受折扣優(yōu)惠的金額折扣率不超過(guò)400元的部分5%超過(guò)400元的部分15%若某顧客獲得65元折扣優(yōu)惠，則此顧客實(shí)際所付金額為()A．935元B．1000元C．1035元D．1100元4．若冪函數(shù)f(x)＝(m2＋5m－5)(m∈Z)是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則m的值為()A．－6B．1C．6D．1或－65．某工廠近期要生產(chǎn)一批化工試劑，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查得知，生產(chǎn)這批試劑的成本分為以下三個(gè)部分：①生產(chǎn)1單位試劑需要原料費(fèi)50元；②支付所有職工的工資總額由7500元的基本工資和每生產(chǎn)1單位試劑補(bǔ)貼20元組成；③后續(xù)保養(yǎng)的費(fèi)用是每單位eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(600,x)－30))元(試劑的總產(chǎn)量為x單位，50≤x≤200)，則要使生產(chǎn)每單位試劑的成本最低，試劑總產(chǎn)量應(yīng)為()A．60單位B．70單位C．80單位D．90單位6．已知函數(shù)f(x)＝3x5＋x3＋5x＋2，若f(a)＋f(2a－1)>4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))C．(－∞，3)D．(3，＋∞)二、多項(xiàng)選擇題(本大題共2小題，每小題5分，共10分，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)7．已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9,3)，則()A．函數(shù)f(x)為增函數(shù) B．函數(shù)f(x)為偶函數(shù)C．當(dāng)x≥4時(shí)，f(x)≥2 D．當(dāng)x2>x1>0時(shí)，eq\f(fx1＋fx2,2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))8.某單位準(zhǔn)備印制一批證書，現(xiàn)有兩個(gè)印刷廠可供選擇，甲廠費(fèi)用分為制版費(fèi)和印刷費(fèi)兩部分，先收取固定的制版費(fèi)，再按印刷數(shù)量收取印刷費(fèi)，乙廠直接按印刷數(shù)量收取印刷費(fèi)，甲廠的總費(fèi)用y1(千元)、乙廠的總費(fèi)用y2(千元)與印制證書數(shù)量x(千個(gè))的函數(shù)關(guān)系圖分別如圖中甲、乙所示，則()A．甲廠的制版費(fèi)為1千元，印刷費(fèi)平均每個(gè)為0.5元B．甲廠的總費(fèi)用y1與證書數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1＝0.5x＋1C．當(dāng)印制證書數(shù)量不超過(guò)2千個(gè)時(shí)，乙廠的印刷費(fèi)平均每個(gè)為1.8元D．當(dāng)印制證書數(shù)量超過(guò)2千個(gè)時(shí)，乙廠的總費(fèi)用y2與證書數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(5,2)三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)9．若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，滿足f(4)＝8f(2)，則f(1)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝________.10．請(qǐng)寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的冪函數(shù)f(x)＝________.①f(x)是偶函數(shù)；②f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③f(x)的值域是[0，＋∞)．11.如圖，有一長(zhǎng)AM＝30米，寬AN＝20米的矩形地塊，物業(yè)計(jì)劃將其中的矩形ABCD建為倉(cāng)庫(kù)，要求頂點(diǎn)C在地塊對(duì)角線MN上，B，D分別在邊AM，AN上，其他地方建停車場(chǎng)和路，設(shè)AB＝x米．則矩形ABCD的面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式為____________________．12．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x<a，,x2，x≥a，))當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)的值域?yàn)開_______；若f(x)在定義域上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．四、解答題(本大題共3小題，共40分)13．(13分)已知冪函數(shù)f(x)＝(2m2＋m－2)x2m＋1在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．(1)求f(x)的解析式；(2)若f(eq\r(2－a))<f(eq\r(a－1))，求a的取值范圍．14．(13分)已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4,16)．(1)求f(x)的解析式；(2)設(shè)g(x)＝eq\f(fx＋1,x).①利用定義證明函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增；②若g(x)≥eq\f(1,2)t2－2t在[2，＋∞)上恒成立，求t的取值范圍．15．(14分)某品牌手機(jī)公司的年固定成本為50萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)部手機(jī)需增加投入20萬(wàn)元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)x(x∈N*)萬(wàn)部手機(jī)并全部銷售完，當(dāng)年銷售量x低于40萬(wàn)部時(shí)，每銷售1萬(wàn)部手機(jī)的收入R(x)＝400－5x萬(wàn)元；當(dāng)年銷售量x不低于40萬(wàn)部時(shí)，每銷售1萬(wàn)部手機(jī)的收入R(x)＝eq\f(9000,x)－eq\f(40000,x2)萬(wàn)元．(1)寫出年利潤(rùn)y萬(wàn)元關(guān)于年銷售量x萬(wàn)部的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年銷售量為多少萬(wàn)部時(shí)，利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)．

答案精析1．C[函數(shù)y＝eq\f(1,x)的圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)，所以A不正確；y＝是非奇非偶函數(shù)，所以B不正確；對(duì)于冪函數(shù)y＝xα，當(dāng)x>0時(shí)，y>0一定成立，所以任何冪函數(shù)的圖象都不經(jīng)過(guò)第四象限，所以C正確；y＝x3，y＝x，令x3＝x，解得x＝0或x＝1或x＝－1，所以冪函數(shù)y＝x3和y＝x有三個(gè)交點(diǎn)，所以D不正確．]2．B[由冪函數(shù)的圖象性質(zhì)可得，選項(xiàng)中的四個(gè)冪函數(shù)的圖象①②③④分別對(duì)應(yīng)的解析式依次為y＝eq\r(x)，y＝x，y＝x2，y＝x3.則其中①對(duì)應(yīng)的冪函數(shù)可能是y＝eq\r(x).]3．C[當(dāng)顧客的購(gòu)物總金額超過(guò)400元不超過(guò)800元時(shí)，享受折扣優(yōu)惠的金額最多為400×5%＝20元，故該顧客購(gòu)物總金額一定超過(guò)了800元，設(shè)顧客購(gòu)物總金額為x(x>800)元，則400×5%＋(x－800)×15%＝65，解得x＝1100，則此顧客實(shí)際所付金額為1100－65＝1035元．]4．B[由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m－5＝1，,m2－3m<0，))且m2－3m為偶數(shù)，所以m＝1.當(dāng)m＝1時(shí)，m2－3m＝－2滿足條件，因此m＝1.]5．D[設(shè)生產(chǎn)每單位試劑的成本為y元，因?yàn)樵噭┛偖a(chǎn)量為x(50≤x≤200)單位，則由題意可知，原料總費(fèi)用為50x元，職工的工資總額為(7500＋20x)元，后續(xù)保養(yǎng)總費(fèi)用為xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(600,x)－30))元，則y＝eq\f(50x＋7500＋20x＋x2－30x＋600,x)＝x＋eq\f(8100,x)＋40≥2eq\r(x·\f(8100,x))＋40＝220，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(8100,x)，即x＝90時(shí)等號(hào)成立，滿足50≤x≤200，所以要使生產(chǎn)每單位試劑的成本最低，試劑總產(chǎn)量應(yīng)為90單位．]6．A[設(shè)g(x)＝f(x)－2，x∈R，則g(－x)＝3(－x)5＋(－x)3＋5(－x)＝－(3x5＋x3＋5x)＝－g(x)，即g(x)為奇函數(shù)，可判斷g(x)在R上單調(diào)遞增，把f(a)＋f(2a－1)>4轉(zhuǎn)化為f(a)－2>－[f(2a－1)－2]，所以g(a)>－g(2a－1)＝g(1－2a)，所以a>1－2a，解得a>eq\f(1,3)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).]7．ACD[設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα，則f(9)＝9α＝3，解得α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝＝eq\r(x)，所以f(x)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)閒(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)x≥4時(shí)，f(x)≥f(4)＝＝2，故C正確；當(dāng)x2>x1>0時(shí)，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx1＋fx2,2)))2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))))2＝eq\f(x1＋x2＋2\r(x1x2),4)－eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2\r(x1x2)－x1－x2,4)＝－eq\f(\r(x1)－\r(x2)2,4)<0，又f(x)≥0，所以eq\f(fx1＋fx2,2)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))，故D正確．]8．ABD[由題圖知甲廠制版費(fèi)為1千元，印刷費(fèi)平均每個(gè)為0.5元，故A正確；設(shè)甲廠的費(fèi)用y1與證書數(shù)量x滿足的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，代入點(diǎn)(0,1)，(6,4)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,6k＋b＝4，))解得k＝0.5，b＝1，所以甲廠的總費(fèi)用y1與證書數(shù)量x滿足的函數(shù)關(guān)系式為y1＝0.5x＋1，故B正確；當(dāng)印制證書數(shù)量不超過(guò)2千個(gè)時(shí)，乙廠的印刷費(fèi)平均每個(gè)為3÷2＝1.5元，故C錯(cuò)誤；設(shè)當(dāng)x>2時(shí)，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝mx＋n，代入點(diǎn)(2,3)，(6,4)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝3，,6m＋n＝4，))解得m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(5,2)，所以當(dāng)x>2時(shí)，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(5,2)，故D正確．]9.eq\f(28,27)解析設(shè)f(x)＝xα，因?yàn)閒(4)＝8f(2)，所以4α＝8×2α，即22α＝23＋α，所以2α＝3＋α，解得α＝3，所以f(x)＝x3，則f(1)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝13＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(28,27).10．x2(答案不唯一)解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)的值域是[0，＋∞)，所以同時(shí)滿足三個(gè)條件的冪函數(shù)f(x)可以為f(x)＝x2.11.S＝－eq\f(2,3)x2＋20x(0<x<30)解析在Rt△NAM中，eq\f(DC,AM)＝eq\f(DN,AN)，所以eq\f(x,30)＝eq\f(20－AD,20)，所以AD＝20－eq\f(2,3)x，所以S＝x(20－eq\f(2,3)x)＝－eq\f(2,3)x2＋20x(0<x<30)，所以矩形ABCD的面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式為S＝－eq\f(2,3)x2＋20x(0<x<30)．12．R[0,1]解析當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x<0，,x2，x≥0，))當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x3∈(－∞，0)；當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2∈[0，＋∞)，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽.若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x<a，,x2，x≥a))在定義域上是增函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥0，,a3≤a2，))解得0≤a≤1，所以a的取值范圍是[0,1]．13．解(1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2＋m－2＝1，,2m＋1<0，))解得m＝－eq\f(3,2)，故f(x)＝x－2.(2)由(1)可知，f(x)＝x－2＝eq\f(1,x2)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，由f(eq\r(2－a))<f(eq\r(a－1))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a>0，,a－1>0，))解得1<a<2，因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則eq\r(2－a)>eq\r(a－1)，解得1<a<eq\f(3,2)，所以a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).14．(1)解設(shè)f(x)＝xα，則4α＝16，得α＝2，所以f(x)＝x2.(2)①證明由(1)得g(x)＝eq\f(x2＋1,x)＝x＋eq\f(1,x).任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，則g(x1)－g(x2)＝x1＋eq\f(1,x1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝x1－x2＋eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2)＝(x1－x2)＋eq\f(x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x1x2)))＝(x1－x2)eq\f(x1x2－1,x1x2).因?yàn)?≤x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>1，所以g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)．所以函數(shù)g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．②解由①知g(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以在[2，＋∞)上，g(x)min＝g(2)＝eq\f(5,2).因?yàn)間(x)≥eq\f(1,2)t2－2t在[2，＋∞)上恒成立，所以eq\f(5,2)≥eq\f(1,2)t2－2t即t2－4t－5≤0，解得－1≤t≤5.所以t的取值范圍是[－1,5]．15．解(1)依題意，生產(chǎn)x(x>0)萬(wàn)部手機(jī)，成本是(50＋20x)萬(wàn)元，故利潤(rùn)y＝xR(x)－(50＋20x)，而R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400－5x，0<x<40，,\f(9000,x)－\f(40000,x2)，x≥40，))x∈N*，故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x400－5x－50＋20x，0<x<40，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs