3.3 冪函數(shù)（解析版）-高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

3.3《冪函數(shù)》分層練習(xí)考查題型一冪函數(shù)的概念1．現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【詳解】由于冪函數(shù)的一般表達(dá)式為：；逐一對(duì)比可知題述中的冪函數(shù)有①；⑤共兩個(gè).(多選題)2.下列說法正確的是（

）A．若冪函數(shù)過點(diǎn)，則B．函數(shù)表示冪函數(shù)C．若表示遞增的冪函數(shù)，則D．冪函數(shù)的圖像都過點(diǎn)，【答案】AC【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，即，解得，，A正確；對(duì)于B，函數(shù)不是冪函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，是冪函數(shù)，則，解得或，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不符合題意，當(dāng)時(shí)，是R上的增函數(shù)，符合題意，因此，C正確；對(duì)于D，冪函數(shù)不過點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：AC3.若是冪函數(shù)，則＝.【答案】/0.25【詳解】由題意得，解得，故，所以故答案為：4．已知冪函數(shù)在為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為.【答案】4【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，解得或，又在為增函數(shù)，所以；故答案為：4.考查題型二冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用1.右圖的曲線是冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，已知n分別取，，2四個(gè)值，相應(yīng)的曲線對(duì)應(yīng)的n依次為（

）

A．，，1，2 B．2，1，，C．，，2， D．2，，，【答案】B【詳解】函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，對(duì)應(yīng)的圖象為；對(duì)應(yīng)的圖象為一條過原點(diǎn)的直線，對(duì)應(yīng)的圖象為；對(duì)應(yīng)的圖象為拋物線，對(duì)應(yīng)的圖象應(yīng)為；在第一象限內(nèi)的圖象是；所以與曲線對(duì)應(yīng)的n依次為2，1，，.故選：B2．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過第三象限，則a的值可以是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，圖象在第一和第二象限，不經(jīng)過第三象限，A不合題意；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，圖象過原點(diǎn)分布在第一和第二象限，圖象不經(jīng)過第三象限，B不合題意；當(dāng)時(shí)，，圖象過原點(diǎn)分布在第一象限，不經(jīng)過第三象限，C不合題意；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，圖象經(jīng)過原點(diǎn)和第一、三象限，D符合題意，故選：D3．當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象不可能經(jīng)過第象限.【答案】四【詳解】因?yàn)榈膱D象經(jīng)過第一、三象限，的圖象經(jīng)過第一象限，的圖象經(jīng)過第一、二象限，所以冪函數(shù)，的圖象不可能經(jīng)過第四象限，故答案為：四4.圖中，，分別為冪函數(shù)，，在第一象限內(nèi)的圖象，則，，依次可以是（

）A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3【答案】D【詳解】由題圖知：，，，所以，，依次可以是，，3．故選：D考查題型三利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小1．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，，又，在上單調(diào)遞增，所以．綜上，．故選：A．2．已知，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題得，，，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以．又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．故選:D．3.判斷大?。?(填“”或“”)【答案】【詳解】由在上遞減，又，所以.故答案為：4．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則與的大小關(guān)系是．【答案】【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，可得，解得，所以冪函數(shù)為，此時(shí)函數(shù)的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，則，所以.故答案為：.考查題型四冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用1．以下函數(shù)中，在上單調(diào)遞減且是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】A選項(xiàng)，在R上單調(diào)遞減，且，故是奇函數(shù)，滿足要求，A正確；B選項(xiàng)，定義域?yàn)镽，且，故為偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，定義域?yàn)镽，且，故為偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，在上單調(diào)遞增，D錯(cuò)誤.故選：A2.冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則它在上的最大值為（

）A． B．－1 C．1 D．－3【答案】C【詳解】設(shè)冪函數(shù)，將代入，得：，解得：，故，它在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，.故選：C3.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)冪函數(shù)，其圖象過點(diǎn)，所以，解得，所以.因?yàn)?，所以為奇函?shù)，且在上單調(diào)遞增，所以可化為，可得，解得，所以的取值范圍為.故選:C.4.請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件①和②的冪函數(shù)，條件：①是偶函數(shù)；②為上的增函數(shù)．則．【答案】（答案不唯一）【詳解】設(shè)，根據(jù)冪函數(shù)為偶函數(shù)，則為偶數(shù)，又為上的增函數(shù)，則為上單調(diào)遞減，故，故可取，故答案為：（答案不唯一）5．若＜，則實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的定義域是{x|}，且在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則原不等式等價(jià)于，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.6.已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，.(1)求的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由函數(shù)為冪函數(shù)得，解得或，又函數(shù)在上是減函數(shù)，則，即，所以，；（2）由（1）得，所以不等式為，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋液瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.7．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).(1)求的解析式:并判斷它的奇偶性（不證明）；(2)若，求a的取值范圍.【答案】(1)，非奇非偶函數(shù)；(2)【詳解】（1）設(shè)冪函數(shù)，將代入可得，解得，故，此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，理由如下：因?yàn)槎x域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù)；（2）在上單調(diào)遞增，，故，解得，即的取值范圍是.1．已知冪函數(shù)過點(diǎn)，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，則，則，，由可得，解得，因此，不等式的解集為.故選：C.2．函數(shù)在上是（

）A．增函數(shù)且是奇函數(shù)B．增函數(shù)且是偶函數(shù)C．減函數(shù)且是奇函數(shù)D．減函數(shù)且是偶函數(shù)【答案】A【詳解】因?yàn)?，令，因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以是奇函數(shù)，又因?yàn)?，所以在是增函?shù)故選：A.3.已知函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】由于在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍是.故答案為：4．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的值為．【答案】1【詳解】由題意知，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，所以在區(qū)間上的最大值與最小值的和為0，故，所以．故答案為：1.5.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.(1)求的解析式；(2)求不等式的解集