高等數(shù)學(xué) 課件 王文靜 第6章 微分方程

微分方程的概念1、案例引入——求曲線的方程

引例：一曲線通過點(diǎn)（1，2）,且在該曲線上任一點(diǎn)的切線斜率為橫坐標(biāo)的2倍，求該曲線的方程。

解設(shè)所求曲線為由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知:即兩端積分,得又曲線通過點(diǎn)（1，2）故所求曲線的方程為微分方程的概念2引例小結(jié)：1.是一個(gè)求未知函數(shù)的運(yùn)算。2.導(dǎo)數(shù)形式，積分求解。3.給出了特殊點(diǎn)，確定積分常數(shù)。微分方程的概念3微分方程的基本概念

微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(微分)的方程.如常微分方程：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程微分方程的概念4微分方程的基本概念

1.微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(微分)的方程.如2.常微分方程：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程微分方程的概念53.微分方程的階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).如一階微分方程二階微分方程微分方程的概念三階微分方程64.微分方程的解：若函數(shù)滿足一個(gè)微分方程,則稱它是微分方程的解.如則函數(shù)是微分方程

的解微分方程的概念5.微分方程的通解：若微分方程的解中含有相互獨(dú)立的常數(shù),且常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)如通解為通解為786.初始條件：問題中用于確定通解中的任意常數(shù)的條件.微分方程的概念

如引例中“一曲線通過點(diǎn)（1，2）”就是初始條件。7.特解：利用初始條件確定出通解中的任意常數(shù)后得到的解.如上例中,通解為一個(gè)特解:可分離變量的微分方程稱為可分離變量的微分方程形如

或的微分方程1、特點(diǎn)

等式右邊可以分解成兩個(gè)函數(shù)之積,其中一個(gè)是x的函數(shù),另一個(gè)是y的函數(shù).

可分離變量的微分方程2、步驟1.分離變量，將該方程化為一邊只含有x

而另一邊只含有y的函數(shù)2.兩邊積分：3.計(jì)算上述不定積分,得通解其中即

可分離變量的微分方程例1求微分方程

的通解解:將原方程分離變量得兩端積分得即從而令故通解為

可分離變量的微分方程例2求微分方程

滿足

的特解.

解:將原方程分離變量得兩端積分即

可分離變量的微分方程例3求微分方程

的通解解:方程可化為：分離變量得兩端積分得即

可分離變量的微分方程的方程稱為一階線性微分方程形如其中P(x)、Q(x)都是自變量的已知連續(xù)函數(shù).

稱為一階線性齊次微分方程，若Q(x)=0，則方程為0，則稱方程為一階線性非齊次微分方程.若Q(x)

一階線性微分方程1.一階線性齊次方程的解法一階線性齊次方程是可分離變量方程.兩邊積分，得所以，方程的通解公式分離變量，得

一階線性微分方程例

1

求方程

y

+(sinx)y=0的通解.

解

所給方程是一階線性齊次方程，且P(x)=sinx，由通解公式即可得到方程的通解為則

一階線性微分方程2.一階線性非齊次方程的解法

一階線性微分方程公式法常數(shù)變易法常數(shù)變易法先求對應(yīng)齊次方程

的通解設(shè)所給線性非齊次方程的解為把

和

代入原方程得:

一階線性微分方程故微分方程的通解為:

一階線性微分方程的方程稱為一階線性微分方程形如其中P(x)、Q(x)都是自變量的已知連續(xù)函數(shù).

稱為一階線性齊次微分方程，若Q(x)=0，則方程為0，則稱方程為一階線性非齊次微分方程.若Q(x)

二階線性微分方程形如稱為二階線性微分方程，簡稱二階線性微分方程.稱為自由項(xiàng).其中：

二階線性微分方程稱為二階線性非齊次1、當(dāng)時(shí)，微分方程,簡稱二階線性非齊次方程.稱為二階線性齊次2、當(dāng)時(shí)，微分方程,簡稱二階線性齊次方程.

二階線性微分方程3、線性齊次微分方程的解符合疊加原理,不一定是微分方程的通解.但是疊加起來的解4、已知兩函數(shù)若是常數(shù)則稱與線性無關(guān).若是常數(shù)則稱與線性相關(guān).

二階線性微分方程定理1

如果函數(shù)與是線性齊次方程的兩個(gè)解，則函數(shù)仍為該方程的解，其中是任意常數(shù).

二階線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則定理2

如果函數(shù)與是二階線性齊次方程是該方程的通解，其中是任意常數(shù).

二階線性微分方程定義1若二階線性微分方程為其中均為常數(shù)，則稱該方程為二階常系數(shù)線性微分方程.

二階線性微分方程定義2形如的方程稱為二階線性常系數(shù)齊次微分方程.定義3其根稱為微分方程的特征根.方程稱為微分方程的特征方程.

二階線性微分方程求解步驟第一步:寫出微分方程的特征方程:第二步:求出特征根

二階線性微分方程第三步:根據(jù)下表寫出通解的兩個(gè)根方程