數(shù)學(xué)分析第十七章：多元函數(shù)微分學(xué)-4泰勒公式與極值問題

*第四節(jié)二、中值定理與泰勒公式三、極值問題機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二元函數(shù)的泰勒公式第十七章一、高階偏導(dǎo)數(shù)一、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D

內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束數(shù):類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y

的一階機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)為例5.

求函數(shù)解

:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的二階偏導(dǎo)數(shù)及例如,二者不等機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對(duì)稱性,有方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則證明目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理.例如,對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:本定理對(duì)n

元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有而初等(證明略)證:令則則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理.令同樣在點(diǎn)連續(xù),得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、中值定理與泰勒公式一元函數(shù)的泰勒公式:推廣多元函數(shù)泰勒公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束記號(hào)(設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)):

一般地,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

表示表示定理1.的某一鄰域內(nèi)有直到n+1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn),則有其中①②①稱為f

在點(diǎn)(x0,y0)的n

階泰勒公式,②稱為其拉格朗日型余項(xiàng).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:令則利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一般地,由的麥克勞林公式,得將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說明:(1)余項(xiàng)估計(jì)式.因f

的各n+1階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),在某閉鄰域其絕對(duì)值必有上界

M,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)當(dāng)n=0時(shí),得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:(3)若函數(shù)在區(qū)域D

上的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)恒為零,由中值公式可知在該區(qū)域上機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.求函數(shù)解:的三階泰勒公式.

因此,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束其中機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、多元函數(shù)的極值問題

定義:若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說明:使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值,則有存在故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束時(shí),具有極值極值充分條件的證明的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)定理2

(充分條件)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:由二元函數(shù)的泰勒公式,并注意則有所以機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束其中

,

,

是當(dāng)h→0,k→0時(shí)的無窮小量,于是(1)當(dāng)AC－B2＞0

時(shí),必有A≠0,且A

與C

同號(hào),可見,從而△z＞0,因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束從而△z＜0,(2)當(dāng)AC－B2＜0

時(shí),若A,C不全為零,無妨設(shè)A≠0,則時(shí),有異號(hào);同號(hào).可見△z

在(x0,y0)鄰近有正有負(fù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束++－若A＝C

＝0,則必有B≠0,不妨設(shè)B＞0,此時(shí)可見△z

在(x0,y0)鄰近有正有負(fù),(3)當(dāng)AC－B2＝0

時(shí),若A≠0,則若A＝0,則B＝0,為零或非零機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束此時(shí)因此第十節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束不能斷定(x0,y0)是否為極值點(diǎn).例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在(0,0)都有可能為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束最值應(yīng)用問題函數(shù)f

在閉域上連續(xù)函數(shù)f

在閉域上可達(dá)到最值最值可疑點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.解:設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí),水箱所用材料最省.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板,把它折起來做成解:設(shè)折起來的邊長(zhǎng)為xcm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點(diǎn)必滿足設(shè)記例如,故故有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).例如,求函數(shù)下的極值.在條件機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為則問題為求x,y,令解方程組解:設(shè)x,y,z分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？的長(zhǎng)方體開口水箱,試問機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的2倍時(shí)，所用材料最省.因此,當(dāng)高為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:1)當(dāng)水箱封閉時(shí),長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何?提示:利用對(duì)稱性可知,2)當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí),欲使造價(jià)最省,應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)?長(zhǎng)、寬、高尺寸如何?提示:長(zhǎng)、寬、高尺寸相等.內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件

判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).2.函數(shù)的條件極值問題(1)簡(jiǎn)單問題用代入法如對(duì)二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)3.函數(shù)的最值問題在條件求駐點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束已知平面上兩定點(diǎn)A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點(diǎn)C,使△ABC

面積S△最大.解答提示:設(shè)C

點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),思考與練習(xí)則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知,點(diǎn)C與

E重合時(shí),三角形面積最大.點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)

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3,4,8,9,10習(xí)題課目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束