空間向量法求距離

知識回顧1.距離定義（1）點(diǎn)到直線距離從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的距離叫這點(diǎn)到這條直線的距離。（2）點(diǎn)到平面的距離從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的距離叫這點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。（3）兩平行直線間的距離兩條平行線間的公垂線段的長，叫做兩條平行線間的距離。（4）兩條異面直線間的距離和兩條異面直線分別垂直相交的直線，叫兩條異面直線的公垂線；公垂線上夾在兩異面直線間的線段的長度，叫兩異面直線的距離。（5）直線與平面的距離如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么直線上各點(diǎn)到這個(gè)平面的距離相等，且這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離叫做這條直線和平面的距離。（6）兩平行平面間的距離和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫這兩個(gè)平行平面的公垂線，它夾在兩個(gè)平行平面間的公垂線段的長叫做這兩個(gè)平行平面間的距離。ala2.法向量及射影：ablABB1A1n空間兩點(diǎn)之間的距離根據(jù)兩向量數(shù)量積的性質(zhì)和坐標(biāo)運(yùn)算，利用公式

或(其中)，可將

兩點(diǎn)距離問題轉(zhuǎn)化為求向量模長問題.空間中的距離主要有:點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面、線線、線面、面面空間點(diǎn)線之間的距離求出垂線段的向量的模。如何利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離：一、求點(diǎn)到平面的距離anPAOMN方法指導(dǎo)：若點(diǎn)P為平面α外一點(diǎn)，點(diǎn)A為平面α內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為n，則點(diǎn)P到平面α的距離公式為一、求點(diǎn)到平面的距離例1、已知正方形ABCD的邊長為4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面GEF的距離。DABCGFExyzDABCGFExyz練習(xí)1:SBCDAxyzAPDCBMN練習(xí)2:DMPNAxCBzy例2、已知正方形ABCD的邊長為4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，求直線BD到平面GEF的距離。DABCGFExyz二、求直線與平面間距離正方體AC1棱長為1，求BD與平面GB1D1的距離A1B1C1D1ABCDXYZ練習(xí)3:G例3、正方體AC1棱長為1，求平面AB1C與平面A1DC1的距離A1B1C1D1ABCDXYZ三、求平面與平面間距離練習(xí)4、在邊長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分別是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中點(diǎn)，求平面AMN與平面EFDB的距離。ABCDA1B1C1D1MNEFxyzBAaMNnab四、求異面直線的距離nabAB方法指導(dǎo):①作直線a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；②在直線a、b上各取一點(diǎn)A、B，作向量AB；③求向量AB在n上的射影d，則異面直線a、b間的距離為zxyABCC1EA1B1例4zxyABCC1即取x=1,z則y=-1,z=1,所以EA1B1例4已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求異面直線DA1與AC的距離。ABDCA1B1C1D1xyz練習(xí)5練習(xí)6:如圖,ASCDBxyz小結(jié)：1、怎樣利用向量求距離？點(diǎn)到平面的距離：連結(jié)該點(diǎn)與平面上任意一點(diǎn)的向量在平面定向法向量上的射影（如果不知道判斷方向，可取其射影的絕對值）。點(diǎn)到直線的距離：求出垂線段的向量的模。直線到平面的距離：可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離。平行平面間的距離：轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離、點(diǎn)到平面的距離。異面直線間的距離：轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離、點(diǎn)到平面的距離。也可運(yùn)用閉合曲線求公垂線向量