錯位相減法求和附答案

錯位相減法求和附答案15頁錯位相減法：適用于差比數(shù)列求和，即an=bncn，其中bn為等差數(shù)列，cn為等比數(shù)列。假設若q=1，cn為常數(shù)列，該問題直接轉化為等差數(shù)列求和，在此不作說明。記計算步驟如下：步驟1：寫出Sn表達式，即步驟2：在等式兩邊乘等比數(shù)列的公比q，得到步驟3：將步驟1和步驟2的結果Sn與qSn錯位放置，有步驟4：對步驟3作差，有步驟5：由步驟4得通過以上計算，便得到了原始數(shù)列的和。對于具體題目，只需要按照上述步驟進行求解。注：不需要也沒有必要記步驟5中結果的具體形式（因為這個公式較為麻煩，容易混淆），只要知道求解思路即可，畢竟對于大題來說，過程也是很重要的。例：按照具體步驟計算得（讀者可以自己計算驗證一下）總結：當遇到差比數(shù)列即等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積求和問題時，就可以利用“錯位相減法”進行求解，只需按照上述步驟1至步驟5，便可解決這類數(shù)列求和問題。

錯位相減法求和分秒搞定已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，cn=a·bn,求數(shù)列{cn}的前項和。經(jīng)常采用的方法是錯位相減法。運算量較大，運算的時間較長，學生運算的結果與標椎答案還差千里，本文介紹用待定系數(shù)法可以分秒搞定，僅供參考。

利用錯位相減法求和01題目已知等差數(shù)列{an}的通項公式an=2n-1，等比數(shù)列{bn}的通項公式bn=5n-1，求數(shù)列{an·bn}的前n項和。02錯解解：

由題可知數(shù)列{an·bn}的通項公式為

an·bn=(2n-1)·5n-1，

設數(shù)列{an·bn}的前n項和為Sn，則

Sn=1·50+3·51+…+(2n-3)·5n-2+(2n-1)·5n-15Sn=1·51+3·52+…+(2n-3)·5n-1+(2n-1)·5n相減得：-4Sn=1·50+2(51+52+…+5n-2+5n-1)+(2n-1)·5n-4Sn=1+2·5(1-5n)/(1-5)+(2n-1)·5n-4Sn=-3/2+(2n+3/2)·5n

Sn=3/8-(n/2+3/8)·5n.03錯因解題過程中出現(xiàn)學生常出現(xiàn)的兩個錯誤:1.錯位相減后,次數(shù)相等重疊的項數(shù)不是n項，而是n-1項；2.為了次數(shù)對齊，往后錯一位，相減后，最后是減而不是加.這是錯位相減法學生最容易出錯的地方，希望同學們注意。04思考利用"錯位相減法"求和的數(shù)列特征：即如果一個數(shù)列的各項由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項乘積構成的，那么這個數(shù)列的前n項和則采用“錯位相減法."錯位相減法"步驟:第一步，寫出Sn，每項保留結構不變；第二步，對求和等式左右同乘以等比數(shù)列的公比q(q≠1)，每項q的次數(shù)升一次；第三步，往后錯一位，錯位相減，這步只需要對等差數(shù)列部分相減，保留等比部分的形式不變；第四步，中間是n-1項的等比求和，第一項和最后一項單獨列出，前加后減；第五步，進行指數(shù)運算，化為最簡形式.通過上面的過程知,所謂的"錯位",實際上就是"對位",即將公比q的指數(shù)相同的項一一對齊，為了更好的作差合并，此法是化繁為簡，重在方法理解。05規(guī)范解題解：由題可知數(shù)列{an·bn}的通項公式為

an·bn=(2n-1)·5n-1，

設數(shù)列{an·bn}的前n項和為Sn，則Sn=1·50+3·51+…+(2n-3)·5n-2+(2n-1)·5n-15Sn=1·51+3·52+…+(2n-3)·5n-1+(2n-1)·5n

相減得：-4Sn=1·50+2(51+52+…+5n-2+5n-1)-(2n-1)·5n-4Sn=1+2·5(1-5n-1)/(1-5)-(2n-1)·5n-4Sn=-3/2+(3/2-2n)·5n

Sn=3/8+(n/2-3/8)·5n.06總結第一步:寫出Sn，每項保留結構不變；第二步:對求和等式左右同乘以等比數(shù)列的公比q(q≠1)，每項q的次數(shù)升一次；第三步:往后錯一位，錯位相減，這步只需要對等差數(shù)列部分相減，保留等比部分的形式不變；第四步:中間是n-1項的等比求和，第一項和最后一項單獨列出，前加后減；第五步:進行指數(shù)運算，化為最簡形式。07學以致用已知等差數(shù)列{an}的通項公式an=2n-1，等比數(shù)列{bn}的通項公式bn=5n-1，求數(shù)列{an/bn}的前n項和。08學生答題09答題感悟

通過解這道題，注意下面幾點：(1)注意此時1/bn的公比為1/5，下式乘公比時，變?yōu)?/5Sn；(2