平面運動剛體旋輪線軌跡的軌跡

平面運動剛體旋輪線軌跡的軌跡

如圖1所示，將薄膜沿坐標(biāo)面xoy進(jìn)行平面平行運動，并將質(zhì)心c作為與ox軸平行的直線運動，并以vi的均勻速度運動。角速度恒定。m是第一個點，l是m和c之間的距離。m和c是縱向軸，并且m和c是縱向坐標(biāo)。當(dāng)m和c同時旋轉(zhuǎn)時，角速度為，m的運動方程為。令,上式變?yōu)榇耸奖硎疽粋€旋輪線.對式(1)求時間的導(dǎo)數(shù),得到M的速度投影uf8fc若剛體逆時針轉(zhuǎn)動,則式(1),(2)變?yōu)楸娝苤?旋輪線可以認(rèn)為是由沿一條直線做純滾動的圓輪上(或拓展部分)的一點刻畫而成,但是式(1),(3)表示的旋輪線具體形狀顯然隨V,ω,l的不同而不同.因此,以下討論平面運動剛體上的質(zhì)點在不同情況下的旋輪線軌跡是由怎樣的圓輪作怎樣的純滾動形成的,以期對質(zhì)點的運動有更直觀的理解.1de作街邊下的勻角速純滾動軸承中,m點的軌跡方程首先討論式(1)所示的情形,并且只研究ωyC>V,即yC>R的情形.第1種情況:運動的初始條件有l(wèi)ω>V,以致l>R.此時,旋輪線形成過程如圖2所示:圓輪半徑為R,圓輪拓展部分上與輪心距離為l處有一點M,起初在Oy軸上且在最高點;Ox軸上方有DE直線y=yC-R,圓輪在DE直線上方沿著DE作順時針方向勻角速純滾動時,M點的軌跡方程即為式(1);N是圓輪的瞬心,由R=V/ω可知,N也是剛體的瞬心.這種情況下:曲線的斜率總是存在的,曲線上沒有“折點”,是處處滑順的曲線;當(dāng)ωt=(2n-1)π(n=1,2,···)時,vx<0,vy=0,曲線斜率k=vy/vx=0,表示質(zhì)點在這些位置處作運動方向與Ox軸負(fù)向一致的水平運動,運動方向與圓輪質(zhì)心運動方向相反.第2種情況:lω=V,以致l=R.此時,旋輪線形成過程如圖3所示:圓輪半徑為R,圓輪邊緣上有一點M,起初在Oy軸上且在輪的最高點;Ox軸上方有DE直線y=yC-R,圓輪在DE直線的上方沿著DE作順時針方向的勻角速純滾動時,M點的軌跡方程即為式(1);N是圓輪的瞬心,也是剛體的瞬心.這種情況下,vx≥0;但是,當(dāng)ωt=(2n-1)π(n=1,2,···)時,vx=0,vy=0,故曲線的斜率不存在且?guī)щ娏Ｗ拥倪\動方向突變,表示質(zhì)點的運動軌跡在這些位置出現(xiàn)“拐點”.第3種情況:lω<V,以致l<R.此時,旋輪線形成過程如圖4所示:圓輪半徑為R,圓輪內(nèi)部與輪心距離為l處有一點M,起初在Oy軸上且在最高點;Ox軸上方有DE直線y=yC-R,圓輪在DE直線上方沿著DE作順時針方向的勻角速純滾動時,M點的軌跡方程即為式(1);N是圓輪的瞬心,也是剛體的瞬心.此時:曲線的斜率總是存在的,質(zhì)點軌跡沒有“折點”,處處光滑,且恒有vx>0;當(dāng)ωt=nπ(n=0,1,2,···)時,曲線斜率k=0,表示質(zhì)點在此處作運動方向與Ox軸正向一致的水平運動.對于ωyC<V,即yC<R的情形,上述圓輪滾動的直線在橫軸的下方,但各旋輪線的形狀是相同的.再討論式(3)所示情形,并且也只研究ωyC>V,即yC>R的情形.第1種情況:lω>V,以致l>R.此時,旋輪線形成過程如圖5所示:圓輪半徑為R,其拓展部分上與輪心距離為l(l>R)處有一點M,起初在Oy軸上且在最高點;Ox軸的上方有DE直線y=yC+R,圓輪在DE下方沿DE作逆時針方向的勻角速純滾動時,M點軌跡的方程即為式(3);N是圓輪的瞬心,也是剛體的瞬心.這種情況下:曲線斜率總是存在,曲線無“拐點”,處處光滑;但是,當(dāng)ωt=2nπ(n=0,1,2,···)時,恒有vx<0,曲線斜率k=0,表示質(zhì)點在這些位置作運動方向與Ox軸負(fù)向一致的水平運動,運動方向與輪心的運動方向相反.第2種情況:lω=V,以致l=R.形成這種旋輪線的過程如圖6所示:圓輪的半徑為R,邊緣上與輪心距離為l(=R)處有一點M,起初在Oy軸上且在最高點;Ox軸的上方有DE直線y=yC+R,圓輪在DE下方沿DE軸逆時針勻角速純滾動時,M點的軌跡即為式(3),M點的軌跡是普通旋輪線;N是圓輪的瞬心,也是剛體的瞬心.這種情況下恒有vx≥0;但是,當(dāng)ωt=2nπ(n=0,1,2,···)時,vx=0,vy=0,曲線斜率不存在且運動方向突變,質(zhì)點軌跡在此處出現(xiàn)“折點”.第3種情況:lω<V,以致l<R.此時,旋輪線形成過程如圖7所示:圓輪半徑為R,其內(nèi)部與輪心距離為l(l<R)處有一點M,起初在Oy軸上且在最高點;Ox軸的上方有DE直線y=yC+R,圓輪在DE下方沿DE逆時針勻角速純滾動時,M點軌跡的方程即為式(3);N是圓輪的瞬心,也是剛體的瞬心.這種情況下:曲線的斜率總是存在的,帶電粒子的軌跡沒有“折點”,是處處光滑的曲線,且恒有vx>0;當(dāng)ωt=2nπ(n=0,1,2,···)時,曲線的斜率k=0,表示質(zhì)點在這些位置作運動方向與Ox軸正向一致的水平運動.2初定位系統(tǒng)的建立如圖8所示,光滑水平面上靜置質(zhì)量為M,長度為2L的均質(zhì)細(xì)直桿,質(zhì)量為m的質(zhì)點以速度v0沿水平面垂直射入直桿一端.求:碰撞后質(zhì)點的絕對運動方程.研究整個系統(tǒng).以質(zhì)點的碰前速度方向為速度的正方向,豎直向下為動量矩的正方向.碰撞過程中,系統(tǒng)的水平方向動量守恒,其質(zhì)心C的水平速度不變,有并且,質(zhì)點與C之間和C與直桿質(zhì)心C2(如圖9所示)之間的距離均不變,分別為碰撞前:質(zhì)點繞C點的動量矩為L1=lm(v0-V),直桿繞C點的動量矩為L2=-aM(0-V).碰撞之后:設(shè)系統(tǒng)繞通過質(zhì)心C且垂直于細(xì)桿的軸的轉(zhuǎn)動慣量為IC,則系統(tǒng)繞C點的動量矩為L3=ICω.由動量守恒定律,有即將-代入,式(5),(6)代入上式消去a,l,得到以光滑水平面上與直桿中心C2的初位置重合的固定點O為原點建立定系Oxy,如圖9,圖10所示,