2021年中考數學解答題壓軸題每日一題14

2021年中考數學解答題壓軸題每日一題

1.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線工-4交x軸于A、B兩點，交y軸于

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點C.

(1)點P為線段BC下方拋物線上的任意一點，一動點G從點P出發(fā)沿適當路徑以每秒1

個單位長度運動到y軸上一點M,再沿適當路徑以每秒1個單位長度運動到x軸上的點N,

再沿x軸以每秒孤個單位長度運動到點8.當四邊形ACPB面積最大時，求運動時間，的最

小值；

(2)過點C作AC的垂線交x軸于點。，將△AOC繞點O旋轉，旋轉后點A、C的對應點

分別為4、。，在旋轉過程中直線AiCi與x軸交于點Q.與線段C￡＞交于點/.當

(2)將△AOC繞點O旋轉，相當于存在一個半徑為OR圓O,在整個旋轉過程中，AC始

終為垂直于OR的切線，確定圓的半徑OR后，分OR靠近x軸、y軸兩種大情況，分別在

四個象限逐次求解即可.

【解答】解：(I)yu%2-L-4,令x=0,貝!]y=-4,令y=0,貝!]x=3或-4,

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故點A、B、C的坐標分別為(-3,0)、(4,0)、(0,-4),

則直線BC的表達式為：y=x-4,

S四地形ACPB=S&4BC+SAPBC，

：S"BC為常數，二只要以PBC取得最大值，四邊形ACP8面積即為最大，

設點P(x,與-工-4),則點S(x,X-4),

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SNBC=LXPSXOB=2X4X(x-4-工2+工+4)=-2，+胤，

223333

V_J-<0,則&PBC有最大值，即四邊形ACPB面積有最大值,

3

作點尸關于y軸的對稱點尸'(-2,一學,

過點B作BKJ_BC交y軸于點K,作P'HLBK交BK于點H、交y軸于點M、交x軸于點

N,

則此時運動的時間最小，

t=P'M+MN+?BN=PM+MN+HN,

2

直線BKLBC,則直線BK的表達式為：>>=-x+h,

將點B的坐標代入上式并解得：

直線BK的表達式為：y=-x+4…①，

同理可得直線P'H的表達式為：…②，

聯立①②并解得：x=&,

3

故點H（@,A）,

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故運動時間t的最小值為曳2；

3

(2)"."AC1.AD,

則直線CO的表達式為：>=旦「4,

-4

故點。(?，0)；

3

如圖2,過點。作ORLAC于點R,

由面積公式得：^ORXAC=—OAXOC,

22

即：OR=12S1=里

55

設NAC￡>=a,則tana=±,sina=—,

45

則tan2a==2,tanLa=工（證明見備注），

722

情況一：當OR靠近y軸時，

12

則0。=」25_=-1-=4,

sinCl3

5

故0￡）=西+4=歿；

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在圖4中，IQ=ID,

同理-4=占

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②當。R在二、四象限時，如圖5,6：

在圖5中，DI=DQ,

則4DQ1=/O/Q=L/OOC=2a,

22

OQ=-^-=^L,

.15

sirr^-an

則DQ=￥星-

53

在圖6中，（點/不在線段CO上，舍去）

同理可得：。。=堇匹+西（舍去）；

53

情況二：當OR靠近X軸時，

如下圖：當點R在二、四象限時，如圖7,

見右側圖，同理可得：。。=西-5=工

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綜上，取的長度/嗎或苧彎或守彖噂

備注：已知tana=3,求tan2a和tarda?

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如圖△A3。是以BO為底的等腰三角形，AC±BD9過點。作OHJ_48,

B

則設：/D4C=/BAC=a,tana=3,設BC=CD=3a,則AC=4a,

4

由三角形的面積公式得：^AHXAB=^XDBXAC,

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