用牛頓定律推導(dǎo)小球運動微分方程

用牛頓定律推導(dǎo)小球運動微分方程

1含加速度的小鼠動力學(xué)質(zhì)量m的小樹可以認為是一個紋理，掛在一線上，線的另一端圍繞半徑為r的固定圓柱體，并在圓柱體的中心軸的水平配置中調(diào)整。當(dāng)平衡時，垂直線的長度為l，不包括線的質(zhì)量，而是寫下了小球的運動方程。在文獻中，這個問題被用作分析力學(xué)練習(xí)的示例。在這項工作中，我們改進了基于加速度定義方法和坐標(biāo)跟蹤方法的小球量比率。用牛頓定法或拉格朗日方程導(dǎo)出小球項目的運動微分方程。利用機器的可靠性，全面分析了小球項目的可能運動，并給出了用統(tǒng)一的運動方程來描述小球項目周期振動的條件。討論了當(dāng)小球項目的懸掛角速度最大值的位置，并通過計算機值計算繪制小球項目的循環(huán)動力學(xué)圖。2加速度的比較小球擺離平衡位置,擺線與鉛直向下方向的夾角用θ表示,并稱為擺角.規(guī)定小球在平衡位置右方的擺角為正,在平衡位置左方的擺角為負;小球逆時針擺動時角速度為正,順時針擺動時角速度為負.由圖1可以看出繩上變動的懸點C與圓柱體中心O點連線與水平向右方向的夾角亦為θ.因此在小球作周期振動條件下,小球(質(zhì)點)的位置完全可以由擺角θ確定.設(shè)在某時刻t,繩上C點為懸點,擺角為θ,角速度為˙θθ˙且大于零,在t+Δt時刻,懸點由繩上的C點轉(zhuǎn)移到C′點,擺角由θ(t)變?yōu)棣?t+Δt),角速度由˙θ(t)θ˙(t)變?yōu)楱Bθ(t+Δt)?t時刻繩上懸點C在t+Δt時刻的速度已不再為零.由圖2不難看出:vc(t+Δt)=CC′?˙θ(t+Δt)=r[θ(t+Δt)-θ(t)]˙θ(t+Δt)速度的方向垂直于繩斜向上,根據(jù)加速度的定義知ac=limΔt→0vc(t+Δt)-vc(t)Δt=limΔt→0vc(t+Δt)-0Δt加速度的大小為ac=limΔt→0vc(t+Δt)Δt=limΔt→0r[θ(t+Δt)-θ(t)]˙θ(t+Δt)Δt=r˙θ2加速度的方向為Δt→0時,vc(t+Δt)的極限方向,此極限方向沿OC向外.小球在t時刻,相對懸點C的加速度在垂直于繩和繩方向的分量分別為:a′θ=(l+rθ)¨θ?a′r=(l+rθ)˙θ2小球在t時刻的絕對加速度在垂直于繩和繩方向的分量分別為:aθ=(l+rθ)¨θ+r˙θ2(1)ar=(l+rθ)˙θ2(2)上面推導(dǎo)過程物理概念清楚,直觀易懂.為比較或者說為驗證式(1)、(2)的正確性,我們?nèi)∷较蛴覟閤軸正向,堅直向下為y軸正向,建立直角坐標(biāo)系Oxy(如圖1所示),當(dāng)擺角為θ時,小球(質(zhì)點)的坐標(biāo)為:x=(l+rθ)sinθ+rcosθ(3)y=(l+rθ)cosθ-rsinθ(4)對x、y求時間的一階導(dǎo)數(shù)得:˙x=(l+rθ)˙θcosθ(5)˙y=-(l+rθ)˙θsinθ(6)對式(5)、(6)求時間的一階導(dǎo)數(shù)得:¨x=r˙θ2cosθ+(l+rθ)¨θcosθ-(l+rθ)˙θ2sinθ¨y=-r˙θ2sinθ-(l+rθ)¨θsinθ-(l+rθ)˙θ2cosθ將上面兩式平方相加后整理得¨x2+¨y2=(r˙θ2)2+(l+rθ)2¨θ2+[(l+rθ)˙θ2]2+2r(l+rθ)˙θ2¨θ=[r˙θ2+(l+rθ)¨θ]2+[(l+rθ)˙θ2]2=a2θ+a2r兩種方法推導(dǎo)的結(jié)果相同,對坐標(biāo)求導(dǎo)得到加速度是力學(xué)、理論力學(xué)中常用的方法,需要較多的數(shù)學(xué)運算.3拉格朗日方程小球在作周期性運動中受到重力mg和繩子的張力T作用,將重力沿垂直于繩和繩方向進行分解.根據(jù)牛頓第二定律和(1)、(2)兩式得m[(l+rθ)¨θ+r˙θ2]=-mgsinθ即[(l+rθ)¨θ+r˙θ2]=-gsinθ(7)m(l+rθ)˙θ2=Τ-mgcosθ(8)式(7)可改為d˙θ2dθ+2rl+rθ˙θ2=-2gsinθl+rθ上式是以˙θ2為變量的一次型微分方程,根據(jù)通解公式可求得˙θ2=1(l+rθ)2(2glcosθ+2grθcosθ-2grsinθ+c)(9)式中常數(shù)c由初始條件確定,將式(9)代入式(8)可得知繩中張力為θ的函數(shù).式(9)可改寫成12m(l+rθ)2˙θ2-mg(lcosθ+rθcosθ-rsinθ)=E上式表示運動中的小球機械能守恒.因此可用保守系的拉格朗日方程求解小球的運動微分方程,由式(5)、(6)可求得小球速度v=±√˙x2+˙y2=(l+rθ)˙θ小球的動能為Τ=12m(l+rθ)2˙θ2以小球的平衡位置為勢能零點,在擺角為θ處小球的重力勢能為V=mg[l-(l+rθ)cosθ+rsinθ]拉格朗日函數(shù)為L=Τ-V=12m(l+rθ)2˙θ2-mg[l-(l+rθ)cosθ+rsinθ]代入拉格朗日方程ddt(?L?˙θ)-?L?θ=0中,得mr(l+rθ)˙θ2+m(l+rθ)2¨θ+mg(l+rθ)sinθ=0即(l+rθ)¨θ+r˙θ2+gsinθ=0顯然由保守系的拉格朗日方程能夠得到式(7),但不能得到式(8),即不能求出繩中張力.若用第一類拉格朗日方程可得到式(8),但沒有應(yīng)用牛頓第二定律方便.4重力勢能/應(yīng)當(dāng)拉直至合適的學(xué)習(xí)方法上面推導(dǎo)小球的加速度和運動微分方程過程中都是以繩子不松弛、小球作周期性運動為前提的,小球能否作周期性運動即小球運動的全過程能否用式(7)、(8)描述,需要加以討論.為方便實驗驗證下面的討論結(jié)果,我們將小球拉離平衡位置且在繩被拉直的情況下由靜止釋放小球,即取θ=θ0?˙θ=0為初始條件.根據(jù)前面對θ的正負規(guī)定,當(dāng)θ0＞π2且x(θ0)>r時,根據(jù)式(3)可知小球的坐標(biāo)x(θ0)＜x(π2).因小球是由靜止釋放,初速度為零,繩中張力為零,小球?qū)⒃谥亓ψ饔孟仑Q直下落,繩處于松弛狀態(tài),直到θ＜π2且滿足x(θ)=x(θ0)時,繩被拉直,小球開始作逆時針擺動.當(dāng)θ0＞π2且0<x(θ0)<r時,小球在重力作用下豎直下落,并與圓柱體碰撞.當(dāng)θ0≤π2時,小球一開始就作逆時針擺動.若y(θ0)<r,即小球初始位于與圓柱體底部(圖1中B點)相切的水平面之上,根據(jù)機械能守恒可知,小球向左擺回到該水平面時(θ=-π2),仍具有垂直于繩且向上的速度,即具有逆時針擺動的角速度,小球?qū)⒗^續(xù)作逆時針擺動,擺角將繼續(xù)減小(θ＜-π2),導(dǎo)致重力沿繩的分量-mgcosθ為正即指向懸點.角速度的絕對值繼續(xù)減小,由式(8)知繩中張力將出現(xiàn)等于零的情況,由于此時小球的運動速度不為零,小球?qū)⒁源藭r的速度為初速度向右作斜拋運動,繩子將在一段時間內(nèi)呈現(xiàn)松弛狀態(tài).若θ0值使得y(θ0)≥r,由機械能守恒和式(8)易知,小球在來回擺動的整個過程中,繩都不會出現(xiàn)松弛,即小球(質(zhì)點)在與圓柱體底部相切的水平面內(nèi)或之下,且繩被拉直狀態(tài)下靜止釋放小球,都可實現(xiàn)小球的周期振動.當(dāng)取θ=θ0?˙θ≠0為初始條件時,仍以小球平衡位置為重力勢能零點,當(dāng)小球的能量滿足12m(l+rθ0)2˙θ20+mg[(l-(l+rθ0)cosθ0+rsinθ0]≤mg(l-r)時,也可實現(xiàn)小球的周期振動.5慣性力-mr2-mgsin2的垂直分布根據(jù)機械能守恒易知,小球的速度在平衡位置取最大值.為討論小球的角速度˙θ取最大值的位置,我們將式(7)改寫成m(l+rθ)¨θ=-mr˙θ2-mgsinθ其中-mr˙θ2實際上是在以變動的懸點為參考點的平動非慣性系中觀察到的慣性力,無論小球是從平衡位置右側(cè)擺向左側(cè),還是從平衡位置左側(cè)擺向右側(cè),慣性力-mr˙θ2始終垂直于繩且指向繩的左側(cè).當(dāng)小球在平衡位置左側(cè)時,θ<0,從而使得-mr˙θ2-mg