歐氏空間中曲線的切可展面和從切可展面的點(diǎn)云

歐氏空間中曲線的切可展面和從切可展面的點(diǎn)云

1類空、類光向量的智能化w.alice，s.izumiya等人使用高函數(shù)和距離橢圓函數(shù)作為工具研究了歐洲空間中曲線的切可伸長(zhǎng)曲線、從切可伸長(zhǎng)曲線和從交叉插入曲線的奇跡分類。在文獻(xiàn)中，我們研究了三維minkflow空間中光曲線的焦可伸長(zhǎng)曲線以及作為法線平面的輔助色度的點(diǎn)分類。在本文中，我們討論了三維minkflow空間中光曲線從交叉延伸的便利性分類，并研究了俱樂(lè)部的相似性與曲線幾何的不變量的關(guān)系。其中和是曲線的曲率和抗彎率。下面簡(jiǎn)單介紹本文所需的基本概念,并給出本文的主要結(jié)果.設(shè)R3={(x1,x2,x3)|x1,x2,x3∈R}是三維實(shí)向量空間,x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)是R3中的兩個(gè)向量,它們的偽內(nèi)積定義為〈x,y〉=-x1y1+x2y2+x3y3.(R3,〈,〉)叫做三維偽歐式空間或三維Minkowski空間.將(R3,〈,〉)簡(jiǎn)記為R31.R31中任意兩個(gè)向量x=(x1,x2,x3)和y=(y1,y2,y3)的偽向量積定義為:x∧y=(x3y2-x2y3,x3y1-x1y3,x1y2-x2y1),并且對(duì)非零向量x∈R31,若〈x,x〉>0,〈x,x〉=0或〈x,x〉<0,則x分別叫做類空向量、類光向量或類時(shí)向量.向量x∈R31的范數(shù)定義為:∥x∥=√sign(x)?x,x?,若‖x‖=1,則x叫做單位向量.其中sign(x)表示x的符號(hào),當(dāng)x是類空、類光或類時(shí)向量時(shí),它的取值分別為:1,0或-1.本文考慮的曲線均為非類光曲線.若無(wú)特別聲明,文中涉及的曲線和映射均是C∞的.設(shè)γ:I→R31;γ(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))是R31中的正則曲線,(即對(duì)任意t∈Ι?其中I是一個(gè)開(kāi)區(qū)間.對(duì)任意的t∈I,當(dāng)?γ˙(t),γ˙(t)?＞0??γ˙(t),γ˙(t)?=0??γ˙(t),γ˙(t)?＜0,曲線γ分別叫做類空曲線、類光曲線或類時(shí)曲線.若γ是類空曲線或類時(shí)曲線,則稱γ為非類光曲線.非類光曲線以γ(t0),t0∈I為起點(diǎn)的弧長(zhǎng)為s(t)=∫t0t∥γ˙(x)∥dx,且‖γ′(s)‖=1,其中γ′(s)=dγds(s).所以當(dāng)‖γ′(s)‖=1時(shí),稱非類光曲線的參數(shù)s為弧長(zhǎng)參數(shù).記t(s)=γ′(s),稱之為γ在點(diǎn)s處的切向量.將曲線γ在點(diǎn)s處的曲率記為k(s)=|?γ″(s),γ″(s)?|.若k(s)≠0,則曲線γ在點(diǎn)s處的主法向量n(s)由γ″(s)=k(s)·n(s)給出.記ε(γ)=sign(t(s)),δ(γ)=sign(n(s)).b(s)=t(s)∧n(s)叫做曲線γ在s處的副法向量,且sign(b(s))=-ε(γ)δ(γ).則有以下的Frenet-Serret型公式成立.{t′(s)=k(s)?n(s)?n′(s)=-ε(γ)?δ(γ)k(s)?t(s)+ε(γ)?τ(s)?b(s)?b′(s)=τ(s)?n(s).其中τ(s)是曲線γ在點(diǎn)s處的撓率.這是研究R13中非類光曲線的基本公式,對(duì)任意的單位速度曲線γ:I→R13,將D(s)=τ(s)t(s)-κ(s)b(s)和D～(s)=τκ(s)t(s)-b(s)分別稱為曲線γ(s)的達(dá)布向量和修正達(dá)布向量.曲面RDγ(s,u)=γ(s)+uD～(s)=γ(s)+u((τ/κ)t-b)(s)稱為曲線γ(s)的從切可展曲面.并用Im(S1,R13)表示τ≠0,κ≠0的非類光曲線γ:S1→R13的集合.本文的目的是給出從切可展曲面RKγ(s,u)在通有條件下的奇點(diǎn)分類,主要結(jié)果如下:定理1.1如果在Im(S1,R31)中考慮Whitney-C∞拓?fù)?那么滿足性質(zhì)(1)和(2)的全體曲線構(gòu)成的集合是Im(S1,R13)中的剩余集合.(1)滿足(τ/κ)″(s)=0的點(diǎn)s∈S1的個(gè)數(shù)是有限的;(2)不存在滿足(τ/κ)″(s)=(τ/κ)ue087(s)=0的點(diǎn)s∈S1.定理1.2設(shè)γ:I→R13為非類光單位速度曲線,則有以下結(jié)論成立:(a)曲線γ的從切可展曲面RDγ在點(diǎn)γ(s0)+u0((τ/κ)(s0)t(s0)-b(s0))處局部上微分同胚于尖點(diǎn)型曲面C×R當(dāng)且僅當(dāng)(τ/κ)′(s0)≠0,(τ/κ)″(s0)≠0且u0=-1(τ/κ)′(s0);(b)曲線γ的從切可展曲面RDγ在點(diǎn)γ(s0)+u0((τ/κ)(s0)t(s0)-b(s0))處局部上微分同胚于SW當(dāng)且僅當(dāng)(τ/κ)′(s0)≠0,(τ/κ)″(s0)=0,(τ/κ)ue087(s0)≠0且u0=-1(τ/κ)′(s0).這里SW={(x1,x2,x3)|x1=3u4+u2v,x2=4u3+2uv,x3=v}是燕尾,C={(x1,x2)|x12=x23}是通常的尖點(diǎn).2f速度曲線方程的形式在此引入法方向的距離函數(shù)族,它對(duì)于研究RDγ的奇點(diǎn)分類是非常有效的.設(shè)γ:I→R13是單位速度曲線且滿足κ≠0,τ≠0.現(xiàn)在在開(kāi)區(qū)間I上定義一族具有三個(gè)參數(shù)光滑函數(shù).G:I×R13→R,G(s,v)=〈v-γ(s),n(s)〉,并稱G為曲線γ的法方向上的距離函數(shù).對(duì)任意給定的v∈R13,記gv(s)=G(s,v).關(guān)于曲線法方向的距離函數(shù)族,通過(guò)直接計(jì)算可獲得下面結(jié)論:命題2.1設(shè)γ∶I→R13為單位速度曲線,κ≠0且τ≠0,則:(1)gv(s)=0當(dāng)且僅當(dāng)v-γ(s)=λt(s)+μb(s),其中λ,μ為任意實(shí)數(shù);(2)gv(s)=g′v(s)=0當(dāng)且僅當(dāng)v-γ(s)=u(τκ(s)t(s)-b(s)),其中u為任意實(shí)數(shù);(3)gv(s)=g′v(s)=g″v(s)=0當(dāng)且僅當(dāng)v-γ(s)=-1(τ/k)′(s)(τκ(s)t(s)-b(s))?(τ/κ)′(s)≠0;(4)gv(s)=g′v(s)=g″v(s)=gue087v(s)=0當(dāng)且僅當(dāng)v-γ(s)=-1(τ/κ)′(s)(τκ(s)t(s)-b(s))?(τ/κ)′(s)≠0?(τ/κ)″(s)=0;(5)gv(s)=g′v(s)=g″v(s)=gue087v(s)=gv(4)(s)=0當(dāng)且僅當(dāng)v-γ(s)=-1(τ/κ)′(s)(τκ(s)t(s)-b(s))?(τ/κ)′(s)≠0?(τ/κ)″(s)=0?(τ/κ)?(s)=0.3df局部微分同胚本節(jié)將應(yīng)用函數(shù)芽奇點(diǎn)理論的某些結(jié)果.設(shè)F:(R×Rr,(s0,x0))→R是一函數(shù)芽,稱F為f的r參數(shù)開(kāi)折,其中f(s)=Fx0(s,x0).若對(duì)所有1≤P≤κ,都有f(p)(s0)=0,且f(k+1)(s0)≠0,稱f在點(diǎn)s0處有Ak類奇點(diǎn).若對(duì)所有1≤p≤k,都有f(p)(s0)=0,則稱f在點(diǎn)s0處具有A≥k類奇點(diǎn).設(shè)F為f的單參數(shù)開(kāi)折且f在點(diǎn)s0處具有Ak(k≥1)類奇點(diǎn).記點(diǎn)s0處的偏導(dǎo)數(shù)?F?xi的(k-1)導(dǎo)網(wǎng)為j(k-1)(?F?xi(s,x0))(s0)=∑j=1k-1αjisj?i=1?r.若k×r階系數(shù)矩陣(α0i,αji)的秩為k(k≤r),則稱F為f的通用開(kāi)折,其中α0i=?F?xi(s0?x0).并稱DF={x∈Rr|F(s,x)=?F?s(s,x)=0}為F的判別式集合.則有以下定理(參考文獻(xiàn)).定理3.1設(shè)F:(R×Rr,(s0,x0))→R是f的r參數(shù)通用開(kāi)折,且f在點(diǎn)s0處具有Ak類奇點(diǎn).(a)若k=1,則DF局部微分同胚于{0}×Rr-1;(b)若k=2,則DF局部微分同胚于C×Rr-2;(c)若k=3,則DF局部微分同胚于SW×Rr-3.對(duì)于法線方向的距離函數(shù)G,有以下命題:命題3.1如果gv0(s)在點(diǎn)s0處有Ak(k=1,2,3)類奇點(diǎn),那么G(s,v)是gv0(s)的通用開(kāi)折.證明設(shè)v=(v1,v2,v3),γ(s)=(x1(s),x2(s),x3(s)),n(s)=(n1(s),n2(s),n3(s)),G(s,v)=〈v-γ(s),n(s)〉=-(v1-x1(s))n1(s)+(v2-x2(s))n2(s)+(v3-x3(s))n3(s),?G?v1=-n1(s),?G?v2=n2(s),?G?v3=n3(s),j2(?G?v1(s,x0))(s0)=-n′1(s0)s-12n″1(s0)s2,j2(?G?vi(s,x0))(s0)=n′i(s0)s+12n″i(s0)s2(i=2?3).(ⅰ)當(dāng)gv(s)在點(diǎn)s0處有A1類奇點(diǎn),需證1×3矩陣(-n1(s0),n2(s0),n3(s0))的秩為1.因?yàn)閚(s0)≠0,所以結(jié)論是顯然的.(ⅱ)gv(s)在點(diǎn)s0處有A2類奇點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)v-γ(s0)=-1(τ/κ)′(s0)(τκ(s0)t(s0)-b(s0)),(τ/κ)′(s0)=(1/κ2)(τ′κ-κ′τ)(s0)≠0,即(τ′κ-κ′τ)(s0)≠0.當(dāng)gv(s)有A2類奇點(diǎn),需證2×2矩陣(-n1(s0)n2(s0)n3(s0)-n′1(s0)n′2(s0)n′3(s0))的秩為2,該結(jié)論可由下邊的結(jié)論得出.(ⅲ)gv(s)在點(diǎn)s0處有A3類奇點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)v-γ(s0)=-1(τ/κ)′(s0)(τκ(s0)t(s0)-b(s0))?(τ/κ)′(s0)=(1/κ2)(τ′κ-κ′τ)(s0)≠0?(τ/κ)″(s0)=0?(τ/κ)?(s0)≠0,當(dāng)gv(s)在點(diǎn)s0處有A3類奇點(diǎn),需證3×3矩陣(-n1(s0)n2(s0)n3(s0)-n′1(s0)n′2(s0)n′3(s0)-12n″1(s0)12n″2(s0)12n″3(s0))是非奇異的.以上矩陣的行列式值為-12(n(s0),n′(s0),n″(s0))=-12?n(s0)∧n′(s0)?n″(s0)?=-ε(γ)2(τ′κ-κ′τ)(s0)≠0.即3×3矩陣的秩為3.因此證明完畢.有了以上的準(zhǔn)備工作,可給出定理3.1的證明.由命題2.1,可知法向距離函數(shù)G(s,v)=〈v-γ(s),n(s)〉的判別式集合為DG={v|v=γ(s)+u(τκ(s)t(s)-b(s))},它恰恰是曲線γ(s)的從切可展曲面RDγ(s,u),由命題3.1,可知G(s,v)為Gv0(s)的通用開(kāi)折,對(duì)G(s,v)應(yīng)用定理3.1即可完成對(duì)定理1.2的證明.4/主要研究從切可展曲面的幾何性質(zhì).由上面的命題可知函數(shù)(τ/κ)′(s)和修正達(dá)布向量D(s)=(τ/κ)(s)t(s)-b(s)是重要的幾何不變量.如果(τ/κ)′(s)=0,那么曲線γ(s)是R13中的螺線.對(duì)于單位速度曲線γ:I→R31,單位切曲線t∶I→S2叫做γ的球面象.并且該曲線γ的球面切象的測(cè)地曲率為-δ(γ)(τ/κ),稱其為γ的圓錐測(cè)地曲率.設(shè)γi:I→R13從切可展曲面到非類光正則曲線γ1p(s0)=γ2(p)(t0)(0≤p≤k),γ1k+1(s0)≠γ2(k+1)(t0),那么就稱γ1(s0)和γ2(t0)有(k+1)點(diǎn)切觸.由曲率和撓率的定義,有以下兩個(gè)命題成立.命題4.1若γ1(s0)和γ2(t0)有(k+1)點(diǎn)切觸,則(τ/κ)1(p)(s0)=(τ/κ)2(p)(t0)(0≤p≤k-3),且(τ/κ)(k-2)1(s0)≠(τ/κ)2(k-2)(t0).命題4.2設(shè)γ:I→R13為非類光正則曲線,且τ(s0)≠0,κ(s0)≠0,則存在開(kāi)區(qū)間s0∈J?I上惟一的螺線g:J→R13使得g(s0)=γ(s0),g的曲率為κ(s),g在s0的撓率為τ(s0)且γ和g在s0有至少4點(diǎn)切觸.證明只要在初始條件g(s0)=γ(s0),g′(s0)=γ′(s0),g″(s0)=γ″(s0),gue087(s0)=γue087(s0)下,解出方程κg(s)=κ(s),τg(s)=(τ/κ)(s0)κ(s)就可以證明命題,命題中的螺線g叫做γ在s0的密切螺線.所以從切可展曲面的奇點(diǎn)描述了曲線和螺線的差別程度.關(guān)于非類光曲線的從切可展曲面有如下性質(zhì):命題4.3設(shè)S為直紋面,γ(s)是S上曲率處處不為零的非類光正則曲線,則以下條件是相互等價(jià)的:(1)S是γ(s)的從切可展曲面;(2)s在p的s的法線上的切平面證明因?yàn)镾是可展曲面,則沿通過(guò)p的直母線的S的切平面是同一個(gè).因?yàn)棣?s)是S的測(cè)地線且與母線橫截,所以γ(s)在p=γ(s0)處的主法線與S在p∈S的法線重合,即S在p=γ(s0)處的切平面與γ(s)在p=γ(s0)處的從切平面重合.由于沿著通過(guò)p的直母線的S的切平面是固定的,所以S是γ(s)的從切平面的包絡(luò).證明完畢.5單次pk變換考慮了三維Minkowski空間中非類光曲線的Monge?-Taylor映射.設(shè)γ:I→R13為正則曲線,I是三維Minkowski空間中單位圓S1上的連通開(kāi)子集.現(xiàn)在選擇一族光滑單位向量n(t),它是γ在t處的法線,‖n(t)‖=1,且對(duì)任意t∈I,〈n(t),t(t)〉=0.也可以獲得另一族光滑單位向量b(t)=t(t)∧n(t).用由t(t),n(t),b(t)張成的正交直線作為曲線在點(diǎn)γ(t)處的坐標(biāo)軸,依賴于曲線的移動(dòng)坐標(biāo)軸上的單位點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)以上三個(gè)單位向量.注意此處不要求γ一定是單位速度曲線,其中γ(t0)=0.γ(I)局部上可以記為{(ζ,ft(ζ),gt(ζ))},且j1ft(0)=j1gt(0)=0.設(shè)Vk代表關(guān)于ζ的次數(shù)大于等于2小于等于k的多項(xiàng)式集合.對(duì)非類光曲線γ,有Monge?-Taylor映射μγ:I→Vk×Vk,μγ(t)=(jkft(0),jkgt(0)),(Vk×Vk可以等同于R1k-1×R1k-1=R12k-2,坐標(biāo)記為(a2,…,ak,b2,…,bk)).當(dāng)然μγ與n(t)的選取密切相關(guān).這里,ai=ft(i)(0)i!?bi=gt(i)(0)i!(2≤i≤k),即Vk×Vk={(a2ζ2+a3ζ3+…+akζk),(b2ζ2+b3ζ3+…+bkζk)},設(shè)Pk代表形式為Ψ(x,y,z)=((Ψ1(x,y,z),Ψ2(x,y,z),Ψ3(x,y,z))的映射ψ:R13→R13的集合,其中ψi(x,y,z)是關(guān)于x,y,z的次數(shù)≤k的多項(xiàng)式.元素ψ∈Pk由ψ1,ψ2與ψ3中單項(xiàng)式xiyjzk的系數(shù)決定,共有k3+6k2+11k+66個(gè)次數(shù)≤k的單項(xiàng)式xiyjzk,所以Pk可以看成Minkowski空間R1k3+6k2+11k+62.這個(gè)空間可以提供所需要的曲線和形變.為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化,假設(shè)曲線γ是常態(tài)的,并且γ(I)有界.恒同映射1R31:R13→R13自然是Pk(k≥1)中的元素.設(shè)γ滿足以上假設(shè),易知存在1R31的開(kāi)鄰域U?Pk,它有以下性質(zhì):若ψ∈U,則線性映射Tψ(γ(t)):R13→R13;v→Dψ(γ(t))·v滿足把類時(shí)向量映成類時(shí)向量,類空向量映成類空向量.其中Dψ(γ(t))代表ψ在γ(t)處求導(dǎo)(事實(shí)上這兩個(gè)條件可以寫(xiě)成γ(t)的開(kāi)鄰域上的兩個(gè)代數(shù)不等式.所以由γ(S1)的緊性,滿足以上兩個(gè)條件的集合是有限個(gè)開(kāi)集的交,自然是開(kāi)集.因?yàn)橛成洇?R13→R13在包含γ(I)的開(kāi)集上是微分同胚,向量n(t)被映成新向量Dψ(γ(t))n(t),它既不是零向量也不與ψ。γ在t處相切.把這個(gè)向量正交投射到ψ。γ在t處的法平面并將其正規(guī)化就得到nψ(t),且〈nψ(t),nψ(t)〉=δ(ψu(yù)e0c9γ),nψ(t)=-ε(γ)(ψ?γ)(Dψ(γ(t))n(t)+?Dψ(γ(t))n(t),tψ?tψ)∥Dψ(γ(t))n(t)+?Dψ(γ(t))n(t),tψ?tψ∥,其中,tψ表示曲線ψ。γ在t處的切向量.所以按照以上假設(shè),選擇1I∈Pk的一個(gè)開(kāi)鄰域U,它是由把包含γ(I)的開(kāi)集同胚的以其象集的多項(xiàng)式映射構(gòu)成的集合.現(xiàn)在證明了存在光滑映射:μ:S1×U→Vk×Vk,μ(-,ψ)是ψ。γ應(yīng)用向量族nψ(t)的Monge?-Taylor映射.因此有以下定理.定理5.1設(shè)γ是非類光曲線,Q是Vk×Vk=R2k-2的一個(gè)子流形.對(duì)包含恒同映射的某個(gè)開(kāi)集U1?U,由μ(t,ψ)=μψu(yù)e0c9γ(t)定義的映射μ:S1×U→Vk×Vk與Q橫截(事實(shí)上,可以證明μ是淹沒(méi)映射,不需要考慮Q的情形).通過(guò)直接計(jì)算,可以得到以下引理.由于計(jì)算過(guò)程繁瑣,在此省略證明.引理5.1設(shè)γ:S1→R13,γ(t)=(ζ,ft(ζ),gt(ζ))=(ζ,a2ζ2+a3ζ3+…,b2ζ2+b3ζ3+…),γ(t)是滿足ζ(t0)=0的非類光曲線,則:(1)在t0處κ=0當(dāng)且僅當(dāng)a22+b22=0;(2)(τ/κ)′(t0)=0當(dāng)且僅當(dāng)f1(a2,a3,a4,b2,b3,b4)=0,其中f1=4(a2b4-a4b2)(a22+b22)-(9a2a3+9b2b3)(a2b3-a3b2);(3)(τ/κ)″(t0)=0當(dāng)且僅當(dāng)f2(a2,a3,a4,a5,b2,b3,b4,b5)=0,其中f2=12(a2b3-a3b2)(a22+b22)3+4(3a3b4-3a4b3+5a2b5-5a5b2)