小學奧數(shù)全部知識點+練習題

-.z.一、計算~(一)分數(shù)裂項-知識點：1、裂差公式：2、裂和公式：例題：例1：例2：例3：例4：例5：例6：例7：例:8：“！〞表示一種運算符號，它的含義是2！=2×1；3！=3×2×1；，計算例9：練習：1、2、3、4、5、6、比擬分數(shù)大?。悍謹?shù)中，哪一個最大？從小到大排列以下分數(shù)，排在第三個的是哪一個？；(3)假設A=，比擬A與B的大小。(4)比擬一、計算~(二)常用計算公式知識點：1、等差數(shù)列：項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1末項=首項+〔項數(shù)+1〕×公差求和=〔首項+末項〕×項數(shù)÷2當?shù)炔顢?shù)列為奇數(shù)項時，可以用中間項定理：和=中間項×末項2、平方和公式：3、立方和公式：4、平方公式〔1〕平方差公式〔2〕完全平方和〔差〕公式習題：1234567×1234×1234568=4、一、計算~(三)小數(shù)和分數(shù)的互化1、純循環(huán)化成分數(shù)：循環(huán)節(jié)有幾位小數(shù)，則分母有幾個9，分子就是循環(huán)節(jié)。2、混循環(huán)小數(shù)化分數(shù)：分母9的個數(shù)=循環(huán)節(jié)小數(shù)位數(shù)，分母0的個數(shù)=非循環(huán)節(jié)小數(shù)位數(shù)，分子=分數(shù)局部-非循環(huán)局部小數(shù)。3、神秘組織：142857是分母是7的分數(shù)的循環(huán)節(jié)數(shù)字，分子是1的，第一位是最小的，按此規(guī)律排列。例1：0.00.10.20.30.70.8例2：例3：將循環(huán)小數(shù)0.2與0.7967相乘取近似，要求保存一百位小數(shù)，則該近似值的最后一位小數(shù)是多少？例4：冬冬將乘以一個數(shù)a時，看丟了一個循環(huán)點，使得乘積比結(jié)果減少了，正確結(jié)果應該是多少？一、計算~(四)進制問題1、常見進制二進制、十進、十二進制十六進、二十四進、六十進制.2、二進制：只使用數(shù)字0、1，在計數(shù)計時必須是“滿二進一〞，例如，(9)10＝(1001)23. 十進制n進制：短除、余倒.例如：123410=120020)3n進制轉(zhuǎn)十進制：寫指、相乘、求和。例如:(1011)2=1×23+0×22+1×21+1×20=(11)105.關(guān)于進位制⑴本質(zhì)：n進制就是逢n進一；⑵n進制下的數(shù)字最大例1：⑴將(2009)10寫成二進制數(shù)⑵把十進制數(shù)2008轉(zhuǎn)化為十六進制數(shù)；例2：把以下各數(shù)轉(zhuǎn)化成十進制數(shù)：⑴(463)8；⑵(2BA)12；⑶(5FC)16.例3：①10)2101)21101)2(2②110001121010212(2③(302)4(605)7(10④(6312812478160348(26538174488()8例4：用a，，，，分別代表五進制中五個互不一樣的數(shù)字，如果(ade),(adc),(aab)是由小到大排列的連續(xù)正整數(shù)則(de5所表示的整數(shù)寫成十進制的表示是多少？二、計數(shù)原理~(一)容斥原理：專題簡析：容斥問題涉及到一個重要原理——包含與排除原理，也叫容斥原理。即當兩個計數(shù)局部有重復包含時，為了不重復計數(shù)，應從它們的和中排除重復局部。1、(兩餅)原理一：大餅=A+B-AB2、(三餅)原理二：大餅=A+B+C-AB-AC-BC+ABC口訣：奇層加，偶層減。原則：①消重；②不消不重；考點：①直接考公式；②直接考圖形；③鍋餅外=全部-大餅上的數(shù)量；④三葉草=AB+AC+BC-ABC解題方法：①文氏圖法；②方程法；③反推法；例1：一個班有48人，班主任在班會上問：“誰做完語文作業(yè)？請舉手！〞有37人舉手。又問：“誰做完數(shù)學作業(yè)？請舉手！〞有42人舉手。最后問：“誰語文、數(shù)學作業(yè)都沒有做完？〞沒有人舉手。求這個班語文、數(shù)學作業(yè)都完成的人數(shù)。練習1：網(wǎng)校教師共50人報名參加了羽毛球或乒乓球的訓練，其中參加羽毛球訓練的有30人參加乒乓球訓練的有35人請問兩個工程都參加的有多少人？練習2：網(wǎng)校教師60人組織春游。報名去香山的有37人，報名去鳥巢的有42人，兩個地點都沒有報名的有8人，則只報名其中一個地點的有多少人？例2：在網(wǎng)校50名教師中，喜歡看電影的有15人，不喜歡唱歌的有25人，既喜歡看電影也喜歡唱歌的有5人。則只喜歡唱歌的有多少人？練習1：學校組織體育比賽分成輪滑游泳和羽毛球三個組進展參加輪滑比賽的有20人，參加游泳比賽的有25人，參加羽毛球比賽的有30人，同時參加了輪滑和游泳比賽的有8人，同時參加了輪滑和羽毛球比賽的有7人，同時參加了游泳和羽毛球比賽的有6人三種比賽都參加的有4人問參加體育比賽的共有多少人？練習2：五年級一班有46名學生參加數(shù)學、語文、文藝三項課外小組。其中有24人參加了數(shù)學小組，20人參加了語文小組，既參加數(shù)學小組又語文小組的有10人.參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學小組又參加文藝小組人數(shù)的3.5倍，還是三項小組都參加的人數(shù)的7倍，既參加文藝小組也參加語文小組的人數(shù)等于三項小組都參加的人數(shù)的2倍，求參加文藝小組的數(shù)？例3：網(wǎng)校教師共有90人，其中有32人參加了專業(yè)培訓，有20人參加了技能培訓，40人參加了文化培訓，13人既參加了專業(yè)又參加了文化培訓，8人既參加了技能又參加了專業(yè)培訓，10人既參加了技能又參加了文化培訓，而三個培訓都未參加的有25人，則三個培訓都參加的有多少人？〔鍋餅外〕練習1：在1至100的自然數(shù)中，既不能被2整除，又不能被3整除，還不能被5整除的數(shù)有多少個？計數(shù)原理~(二)加乘原理：1、加法原理：做一件事，完成它可以有n類方法，在第一類方法中有m1種不同的方法，在第二類方法中有m2種不同的方法，……，在第n類方法中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。每一種方法都能夠直接達成目標。乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法。區(qū)分兩原理：要做一件事，完成它假設是有n類方法，是分類問題，每一類中的方法都是獨立的，因此使用加法原理；做一件事，需要分n個步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的假設干個互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理。例1：用數(shù)字，，，3，可以組成多少個小于1000的自然？例2：由0，，，3，，組成的沒有重復數(shù)字的六位數(shù)中，百位不2的奇數(shù)有多少個？例3：一個七位數(shù)，其數(shù)碼只能為或3，且無兩個是鄰的。問這樣的七位數(shù)共有少個？例4：在1～1這1個自然數(shù)中，每次取出三個不同的數(shù)，使它們的和的倍數(shù)有多少種不同的取法？加乘原理——標數(shù)法、遞推法①標數(shù)法與遞推法都是加法原理②按最后一步進展分類，做加法③標數(shù)時要注意限制條件④分平面問要定點數(shù)例1：如圖，為一幅街道圖，從出發(fā)經(jīng)過十字路口，但不經(jīng)過到D的不同的最短路線有多少條？例2：在以下圖，左下角有枚棋子每次可以向上向，或沿對角線的方向向右上走任意多步，但不能不走。則走到右上角一共有多少種方法？例3：一個樓梯共1級臺階，規(guī)定每步可以1級臺階級臺階，最多可以級臺，從地面到最上面1級臺階一共可以有多少種不同的走法？例4：一個長方形把平面分成兩局部則1個長方形最多把平面分成幾局部？二、計數(shù)原理~(三)概率1、隨機事件：在一次試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，但是具有規(guī)律性的事件。2、概率：隨機事件可能發(fā)生的可能性的度量，一般用P來表示，特例：必然事件：P=1；不可能事件：P=0；3、獨立事件：事件1是否發(fā)生對事件2發(fā)生的概率無影響；4、互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩件事件；5、對立事件：兩個互斥事件必有一個發(fā)生；6、概率的計算：n表示試驗中發(fā)生所有情況的總數(shù)，m表示事件A發(fā)生的次數(shù)。7、概率具有可乘性。計算概率的根底：計數(shù)、枚舉、加乘原理、排列組合。例1：一副撲克牌有黑桃、紅桃、方塊、草花種花色，每種花色各拿2，現(xiàn)在從牌中任意取2請：2撲克牌花色一樣的概率是多少？例2：編號分別為～1的1個小球放一個袋中從中隨機地取出兩個小球，這兩個小球的編號不相鄰的可能性是多少？例3：A、、、D、、六人抽簽推選代表，公證人一共制作了六枚外表一模一樣的簽，其中只有一枚刻著“中〞，六人按照字母順序先后抽取簽，抽完不放回，誰抽到“中〞字，即被推選為代表，這六人被抽中的概率分別為多？例4：一枚硬幣連續(xù)拋次，至少有一次正面向上的概率是多少？二、計數(shù)原理~(四)排列組合排列：從n個不同元素中選出m個，按照一定的順序排列，記為：Anm=(n-1)(n-2)(n-3)....(n-m+1)可以理解為從n開場乘，一共乘m個。特殊要求，優(yōu)先滿足：捆綁法：必須在一起；優(yōu)先滿足法：特殊位置或特殊元素；插空法：不能相鄰，必須隔開；先排沒有要求的，再在空里插必須要分開的元素。排除法：正難則反；組合：從n個不同元素中選出m個，不需要按順序排列，記為：m=(n-1)(n-2)(n-3)....(n-m+1)/n!可以寫成：m=Anm/Amm；重要性質(zhì)：m=m-n；n=1；方法：〔1〕排除法：有至少、至多等情況下用；〔2〕隔板法：一樣物品放在不同位置或不同的人，要求至少一個，可以用隔板法。例1：計算==========例2：6個人走進有10輛不同顏色碰碰車的游樂場每輛碰碰車只能坐一個人，則共有多少種不同的坐法？例3：書架上有3本不同的故事書2本不同的作文選和1本漫畫書全部豎起來排成一排。⑴如果同類的書可以分開，一共有多種排法？⑵如果同類的書不可以分開，一共有多少種排法？例4：一共有紅橙黃綠青藍紫七種顏色的燈各一盞按照以下條件把燈串成一串，有多少種不同的串法？⑴把7盞燈都串起來，其中紫燈不排在第一位，也不排在第七位。⑵串起其中4盞燈，紫燈不排在第一位，也不排在第四位。例5：八個同學照相，分別求出在以下條件下各有多少種站法？⑴八個人站成一排；⑵八個人排成一排，*兩人必須有一人站在排頭；⑶八個人排成一排，*兩人必須站在兩頭；⑷八個人排成一排，*兩人不能站在兩頭。例6：大海教師把10不同的游戲卡片分給佳佳和陽陽并且決定給佳佳8，給陽陽2。一共有多少種不同的分法？例7：一個小組共10名學生其中5女生5男生現(xiàn)從中選出3名代表，其中至少有一名女生的選法？例8：一個電視臺播放一部12集的電視劇要分5天播完每天至少播一集，有多少種不同的方法？三、數(shù)論(一)奇偶性奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)偶數(shù)=奇數(shù)；奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)；奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)個奇數(shù)相加減，結(jié)果是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)相加減，結(jié)果是偶數(shù)；偶數(shù)無論多少相加減，結(jié)果都是偶數(shù)。奇數(shù)不可能被偶數(shù)整除；任意個數(shù)相乘，只要有一個因數(shù)是偶數(shù)，則積一定是偶數(shù)。(二)質(zhì)數(shù)合數(shù)：質(zhì)數(shù)明星：2和5；100以質(zhì)數(shù)：25個；除了2和5以外，其余的質(zhì)數(shù)個位只能是1,3,7,9；最小的四位質(zhì)數(shù)：1009；判斷較大數(shù)P是否為質(zhì)數(shù)的方法：(1)找一個比P大接近于P平方數(shù)K2；(2)列出所有不大于K的質(zhì)數(shù)去除P；(三)因數(shù)定理：1、因數(shù)個數(shù)定理：分解質(zhì)因數(shù)，寫成標準式；將每個不同的質(zhì)因數(shù)的指數(shù)+1，然后連乘，得出個數(shù)；2、因數(shù)和定理：(1)分解質(zhì)因數(shù)，寫成標準式；(2)將每個質(zhì)因數(shù)依次從1加至這個質(zhì)因數(shù)的最高次冪，求和，然后再將這些得到的和相乘；3、因數(shù)積定理：把因數(shù)從小到大配對相乘，奇數(shù)個因數(shù)時，最中間的因數(shù)直接相乘。(四)整除末位系：2、5、8,5、25、125的特征末位是偶數(shù)，能被2整除；末位是0、5，能被5整除；末2位能被4或者25整除，這個數(shù)就能被整除；末3位能被8或者125整除，這個數(shù)就能被整除；求和系：3、9、99的特征數(shù)字和能被3或者9整除，這個數(shù)就能被3或者9整除；把多位數(shù)，從個位開場，2位一段，各段數(shù)的和能被99整除，這個數(shù)就能被99整除。求差系：7、11、13特征〔適用于數(shù)字位數(shù)在三位以上〕一個多位數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差,如果能被7或11或13整除,這個多位數(shù)就一定能相應被7或11或13整除．一個多位數(shù)由右邊向左邊數(shù),將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來,再求它們的差,如果這個差是11的倍數(shù)(包括0),則,原來這個數(shù)就一定能被11整除.拆分系：將數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，看除數(shù)是否在因數(shù)的組合中。

(五)最大公因數(shù)，最小公倍數(shù)假設數(shù)A和數(shù)B的最大公因數(shù)，寫作(A，B)；最小公倍數(shù)寫作[A，B]。則A×B=最大公因數(shù)×最小公倍數(shù)(六)余數(shù)帶余除法被除數(shù)÷除數(shù)=商......余數(shù)，表示成：余數(shù)要小于除數(shù)，如果大于除數(shù)，則再除以除數(shù)取余。計算公式：(1)被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)(2)被除數(shù)-余數(shù)=商×除數(shù)(3)(被除數(shù)-余數(shù))÷商=除數(shù)余數(shù)三寶〔余數(shù)定理〕：三大性質(zhì)余的和等于和的余；余的差等于差的余；余的積等于積的余。余數(shù)兩招：加同和，減同差同一個數(shù)分別除以兩個數(shù)a和p，所得的余數(shù)分別為b和q，如果a+b=p+q,則加同和，這個數(shù)為ap+(a+b)；如果a-b=p-q,則為減同差，這個數(shù)為ap-(a-b)。棄九法所以這個數(shù)能否被9整除只取決于數(shù)字和是否能被9整除，能被9整除的局部不用看，棄掉，所以稱為棄9法。(七)完全平方數(shù)性質(zhì)1:完全平方數(shù)的末位數(shù)字只能是0，1，4，5，6，9.性質(zhì)2:完全平方數(shù)除以5只能余0、1、4.完全平方數(shù)以3能余0、1.完全平方數(shù)除以4只能余0、1.性質(zhì)3:⑴偶指性—分解質(zhì)因數(shù)后每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是偶數(shù)；⑵完全平方數(shù)的因數(shù)一定奇數(shù)個，反之亦然.特別地，因數(shù)個數(shù)為3的自然數(shù)是質(zhì)數(shù)的平方；1、用一個數(shù)除200余5，余1，除400余10，這個數(shù)是少"2、從0~9這十個數(shù)字中，選出九個數(shù)字，組成一個兩位數(shù)、一個三位數(shù)和一個四位數(shù)，使這三個數(shù)的和等于2010，則其中未被選中的數(shù)字是誰？(棄九法)3、一個四位數(shù)是這個數(shù)的數(shù)字和的83倍，求這個四位數(shù)4、⑴220除以7的余數(shù)是多少？⑵1414除以11的余數(shù)是多少？5、算式1×4×7×10×……×2011的計算結(jié)果除以9的余數(shù)是多少？6、⑴有一個大于1的整數(shù)，用它、262、205得到一樣的余數(shù)，求這個數(shù).⑵用61和90分別除以*一個數(shù)，除完后發(fā)現(xiàn)兩次除法都除不盡，而且前一次所得的余數(shù)是一的2倍.如果這個數(shù)大于1，則這個數(shù)是多少？7、一個數(shù)與270的積是完全平方數(shù)，則這個數(shù)最小是.8、三個數(shù)p，p+1，p+3都是質(zhì)數(shù)，它們的倒數(shù)和的倒數(shù)是多少？9、用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9組成假設干個質(zhì)數(shù)，要求每個數(shù)字恰好使用一次，請問，這些質(zhì)數(shù)和的最小值是多少？10、兩個自然數(shù)的的差為4，它們的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的積為252，求這兩個自然數(shù)。11、三個合數(shù)A、B、C兩兩互質(zhì)，且A×B×C=1001×28×11，則A+B+C的最小值是多少？12、a、b、c、d、e這5個質(zhì)數(shù)互不一樣，并且符合下面算式：(a+b)(c+d)e=2890，則，這5個數(shù)中最大的數(shù)至多是誰？13、2001個連續(xù)自然數(shù)的和為a×b×c×d，期中a、b、c、d均為質(zhì)數(shù)，則a+b+c+d的最小值為多少？14、有一列數(shù)，第1個數(shù)是1，從第2個起，每個數(shù)比它前面相鄰的加3，最后一個數(shù)是100，將這列數(shù)相乘，則在計算結(jié)果的末尾中有多少個連續(xù)的“0〞？游戲?qū)Σ邌栴}：桌子上放著5根火柴,甲、乙二人輪流次取～3根,規(guī)定誰取走最后一根火柴誰獲勝．如果雙方都采用最正確方法,甲先取,則誰將獲勝？2、有100枚硬,甲乙兩人輪流取,每次取1~枚,規(guī)定取到最后一枚的人獲勝.請問:甲先取,誰有必勝策略"3、有10箱鋼珠,每個鋼珠重10克,每箱600個.如果這10箱鋼珠中有1箱次品，次品鋼珠每個重9克,則,要找出這箱次品最少要稱幾次？四、平面幾何(一)三角形三角形的邊：①三角形任意兩邊之和大于第三邊.②三角任兩之小第邊.按邊分類：等邊三角形、等腰三角形、不等邊三角形邊和角的關(guān)系在同一個三角形中，等邊對等角例1：如圖：∠A＋∠＋∠C＋∠D＋∠＋∠F＋∠＋∠H＋∠I＝例2：如圖，八邊形的個角都是135°，A＝F，C＝2，DE＝10，F(xiàn)＝3，A＝。等積變形(二)共角模型〔鳥頭模型〕(三)燕尾模型(四)相似模型(五)蝴蝶模型任意四邊形蝴蝶模型2、梯形蝴蝶模型任意四邊形：①或者②梯形：①②；③梯形的對應份數(shù)為(六)勾股定理直角三角形中，兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方。如右圖：a、b分別代表直角三角形ABC的兩條直角邊的長度，C為斜邊的長度，則：例1：如圖，BD長12厘米，DC長4厘米，B、C和D在同一條直線上。①求三角形ABC的面積是三角形ADC面積的多少倍？②求三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍"例2：如圖，三角形ABC的面積是40，D、E和F分別是AC、BC和AD的中點。求：三角形DEF的面積。例3：如圖在梯形ABCD中共有八個三角形其中面積相等的三角形共有哪幾對？例4:如圖在三角形ABC中,BC=8厘米高是6厘米,EF分別為AB和AC的中點，則三角形EBF的面積是多少平方厘米？例5:如下圖在平行四ABCD中為AB的中點,AF=2CF角形AFE(圖中陰影局部)的面積為10平方厘米。平行四邊形ABCD的面積是多少平方厘米？例6：如圖，在平行四邊形ABCD中，EF平行AC，連結(jié)BE、AE、CF、BF則與△ABC等積的三角形一共有哪幾個三角形？例7:如圖,ABCD為平行四邊形,EF平行AC如果△ADE的面積為4平方厘米。求三角形CDF的面積。例8：在梯形ABCD中，OE平行于AD。如果三角形AOB的面積是7平方厘米，則三角形DEC的面積是平方厘米例9：正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD邊長為20厘米，則圖中陰影面積為多少平方厘米？例10：如圖，有三個正方形的頂點D、G、K恰好在同一條直線上，其中正方形GFEB的邊長為16厘米，求陰影局部的面積"例11：如圖，三角形ABC被分成了甲、乙兩局部，BD=CD=4，BE=3，AE=6，乙局部面積是甲局部面積的幾倍？例12：如圖，三角形ABC的面積為1，其中AE=3AB，BD=2BC，三角形BDE的面積是多少？例13：如圖，三角形ABC面積為1，延長AB至D，使BD=AB；延長BC至E，使CE=BC；延長CA至F，使AF=2AC，求三角形DEF的面積。練習1：△DEF的面積為7平方厘米，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF，求△ABC的面積。練習2：如圖，在∠MON的兩邊上分別有A、CE及、D、F六個點，并且△OAB、△ABC△BCD、△CDE、△DEF的面積都等于1，則△DCF的面積等于多少？練習3：等腰△ABC、DEEFFG把它的面積5等分，求AF、HD、AGGEEB的長"練習4：E、M分別為直角梯形ABCD兩邊上的點，P、ME彼此平行，假設AD=5，BC=7，AE=5，EB=3。求陰影局部的面積。練習5：如圖，在△ABC中，延長AB，使BD=AB，延長BC至E，使BC=2CE，F(xiàn)是AC的中點，假設△ABC的面積是2，則△DEF的面積是多少？練習6：如圖，長方形ABCD被CE、DF分成四塊，其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，則余下的四邊形OFBC的面積為多少？練習7：如圖，邊長為1的正方形ABCD中，BE=2EC，CF=FD，求△AEG的面積。練習8：如下圖，長方形的陰影局部的面積之和為70，，，四邊形的面積為多少？勾股定理例題1：求下面各三角形中未知邊的長度。例題2：根據(jù)圖中所給的條件，求梯形ABCD的面積。例題3：如圖，請根據(jù)所給的條件，計算出大梯形的面積〔單位：厘米例題4：一個直角三角形的斜邊長8厘米，兩個直角邊的長度差為2厘米，求這個三角形的面積？練習1：如圖在四邊形ABCD中，AB=30，AD=48，BC=14，CD=40∠ADB＋∠DBC＝90°。請問：四邊形ABCD的面積是多少？練習2：從一塊正方形玻璃上裁下寬為16分米的一長方形條后，剩下的那塊長方形的面積為336平方分米，原來正方形的面積是多少平方分米？巧求面積邊長分別為6、8、10厘米的正方形放在一起，求四邊形ABCD的面積。一塊長方形的地，長是80米，寬是45米，如果寬增加5米，要使原來的面積保持不變，長要變成多少米？一個長方形寬減少2米，或長減少3米，面積均減少24米，求原長方形面積？如圖，一塊長方形紙片，長7厘米，寬5厘米，把它的右上角往下折疊，再把左小角向上折疊，未蓋住的陰影局部的面積是多少平方厘米？如圖，7個完全一樣的長方形組成了圖中的陰影局部，圖中空白局部的面積是多少？一個長方形，如果長減少5厘米，寬減少2厘米，則面積就減少66平方厘米，這是剩下的局部正好是一個正方形，求原來長方形的面積？有一大一下兩個正方形試驗田，它們的周長相差40米，面積相差220平方米，則小正方形試驗田的面積是多少平方米？圖正方形的面積為9，中間小正方形的面積為1，甲乙丙丁是四個梯形，則乙與丁的面積之和是多少？以下圖中甲的面積比乙的面積大多少？如圖，ABCD是長為7，寬為4的長方形，DEFG是長為10，寬為2的長方形，求△BCO與△EFO的面積差。如圖，E、F、G都是正方形ABCD三條邊的中點，△OEG比△ODF大10平方厘米，則梯形OGCF的面積是多少平方厘米？12、如圖，在直角梯形ABCD中，三角形ABE和三角形CDE都是直角等腰三角形，且BC=20厘米，則直角梯形ABCD的面積是多少？如圖正方形ABCD被兩條平行的直線截成三個面積相等的局部，其中上下兩局部都是等腰直角三角形，兩條截線的長度都是6厘米，則正方形的面積是多少？14、正方形ABCD面積為12平方厘米，矩形DEFG的長DG=16厘米，求它的寬？對角模型：任意一個矩形被分割成四個長方形，用a、b、c、d表示這四塊面積，則有a×d=c×b15、在矩形ABCD中，連接對角線BD，過BD線上任意一點P，作EF平行AB，GH平行BC，S△BPF=3，S△PHD=12，求矩形ABCD的面積例1：如圖，是一個由2個半圓個扇形個正方形組成的“心型〞。半圓的直徑，則，“心型〞的面積是多少？(圓周率取3.14)例2：圖中四個圓的圓心恰好是正方形的四個頂點，如果每個圓的半徑都是1厘米，則陰影局部的總面積是多少？(圓周率取3.14)例3：圖中陰影局部的面積。(圓周率取3.14)例4：如圖，是正方形，且FA=AD=DE=1，求陰影局部的面積。(圓周率取3.14)例5：求圖中陰影局部的面積。(圓周率取3)例6：在圖中，兩個四分之一的圓弧半徑是2和4，求兩個陰影局部的面積之差。(圓周率取3)例7：如圖，兩個正方形擺放在一起，其正方形邊長為12，則陰影局部面積是多少？(圓周率取3.14)例8：如圖，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半徑AE=6厘米，扇形CBF的半徑CB=4厘米，求陰影局部的面積。(圓周率取3)例9：如圖，直角三角中，AB是圓的直徑，且AB=20，陰影甲的面積比陰影乙的面積大7，的長.(π取3.14)例10：三角形ABC是直角三角形厘米厘米，求陰影局部的面例12：在一個邊長為2厘米的正方形，分別以它的三條邊為直徑向作三個半圓，則圖中陰影局部的面積為多少平方厘米？1.如圖中三個圓的半徑都是5，三個圓兩兩相交于圓心．求陰影局部的面積和．(圓周率取)2．計算圖中陰影局部的面積(單位：分米)。3．請計算圖中陰影局部的面積．4．如以下圖，直角三角形的兩條直角邊分別長和，分別以為圓心，為半徑畫圓，圖中陰影局部的面積是，則角是多少度()5．如以下圖所示，是半圓的直徑，是圓心，，是的中點，是弦的中點．假設是上一點，半圓的面積等于12平方厘米，則圖中陰影局部的面積是多少平方厘米．6．如圖，是等腰直角三角形，是半圓周的中點，是半圓的直徑．，則陰影局部的面積是多少？(圓周率取)7．如圖，圖形中的曲線是用半徑長度的比為的6條半圓曲線連成的．問：涂有陰影的局部的面積與未涂有陰影的局部的面積的比是多少？8．如圖，ABCD是邊長為a的正方形，以AB、BC、CD、DA分別為直徑畫半圓，求這四個半圓弧所圍成的陰影局部的面積．(取3)9．如圖，直角三角形的三條邊長度為，它的部放了一個半圓，圖中陰影局部的面積為多少？10.如圖，大圓半徑為小圓半徑兩倍，圖中陰影局部面積，空白局部面積為S2，則這兩局部面積之比是多少？〔π取3.14〕11.如圖，邊長為3的兩個正方正方形DCFK并排放置，以BC為邊向側(cè)作等邊三角形，分別以B、C為圓心，BK、CK為半徑畫弧求陰影局部面.(π取3.14)立體幾何例1：一個長方體的寬和高相等，并且都等于長的一將這個長方體切成12個小長方體，這些小長方體的外表之和平方分米，求這個大長方體的體積。例2：有n個同樣大小的正方將它們堆成一個長方這個長方體的底面就是原正方體的底如果這個長方體的積平方厘當從這個長方體的頂部拿去一個正方體后，新的長方體的外表積比原長方體的外表積減少144平方厘米,則n為多？例3：有大、中、小三個正方形水池，它們的邊長分別米、3米、2米。把兩堆碎分漂浮在、小水池的里,兩個水池的水分別升了6厘米和4厘如果將這兩堆碎石都漂浮在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？例4：⑴一只裝有水的長方體玻璃杯，底面積是80平方厘米，高是15厘水深8厘米?，F(xiàn)將一個面是16平方厘高為12厘米的長方體鐵塊豎放在水中現(xiàn)在水深多少厘米"一只裝有水的長方體玻璃杯,底面積是80平方厘米,高是15厘,水深10厘米。現(xiàn)將一個底面積是16平方厘高為12厘米的長方體鐵塊豎放在水中現(xiàn)在水深多少厘米？例5：如圖，有一個棱長為10厘米的正方體鐵塊，現(xiàn)已在每兩個對面的中央一個邊長厘米的正方形孔(平行于正方體的棱)，且穿透。另有一長方體容器，從部量，長、寬、高分別厘厘厘，部有，深3厘米。假設將正方體鐵塊平放入長方體容器中，則鐵塊在水下局部的體積為立方厘米。例6：如圖假設以長方形的一條寬AB為軸旋轉(zhuǎn)一周后，甲乙兩局部所成的立體圖形的體積比是多少？行程問題1、相遇問題：路程=速度和×時間；2、追及問題：相差路程=速度差×時間；3、行船問題：順水速度=靜水船速+水流速度；逆水速度=靜水船速-水流速度；水流速度=(順水速度-逆水速度)÷2；靜水船速=(順水速度+逆水速度)÷2；設數(shù)法：題目中沒有給出必要的數(shù)據(jù)，且此數(shù)據(jù)對最后結(jié)果沒有影響，則可設具體的數(shù)來計算；水中相遇與追及，在求時間的時候，可不考慮水速。4、過橋問題：路程=火車長度+橋的長度；(隧道)路程=火車速度×時間；5、扶梯問題：〔1〕順行速度＝人速＋電梯速度〔2〕逆行速度＝人速－電梯速度〔3〕電梯級數(shù)＝可見級數(shù)＝路程例1：在地鐵車站中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯。小強乘坐扶梯時，如果每秒向上邁一級臺階，則他走過20級臺階后到達地面；如果每秒向上邁兩級臺階，則走過30級臺階到達地面。從站臺到地面有多少級臺階？例2：商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，桐桐由下往上走，剛剛由上往下走，結(jié)果桐桐走了30級到達樓下，剛剛走了60級到達樓下。如果剛剛單位時間走的扶梯級數(shù)是桐桐的2倍，則當該扶梯靜止時，可看到的扶梯梯級有多少級？例3：一列火車，從車頭到達車尾算起，用8秒全部駛上一座大橋，29秒后全部駛離大橋。大橋長522米，火車全長是多少米？例4：一列貨車車頭及車身共41節(jié)，每節(jié)車身及車頭長都是30米，節(jié)與節(jié)間隔1米，這列貨車以每小時60千米的速度穿過山洞，恰好用了2分鐘。這個山洞長多少米？(二)高階行程問題6、環(huán)形路問題：〔1〕相向而行：相遇一次=合走一圈；〔2〕同向而行：追上一次=多走一圈；發(fā)車間隔問題：相遇路程=追及問題=兩車間隔路程；間隔路程=車速×間隔時間；接送問題：指人多車少，怎樣時間最短的問題。方法：(1)畫圖+份數(shù)；(2)根據(jù)時間一樣分段處理；屢次相遇與追及問題：例1：從電車總站每隔一定時間開出一輛電車。甲與乙兩人在一條街上沿著同一方向行走。甲每隔10分鐘遇上一輛迎面開來的電車；乙每隔15分鐘遇上迎面開來一輛電。且甲的速度是乙的速度的3倍，則電車總站每隔多少分鐘開出一輛電車？例2：甲班與乙班學生同時從學校出發(fā)去公園，兩班的步行速度相等都是4千米/小時，學校有一輛汽車，它的速度是每小時48千米，這輛汽車恰好能坐一個班的學生。為了使兩班學生在最短時間到達公園，兩地相距150千米則各個班的步行距離是多少？例3：希望小學有100名學生到離學校33千米的郊區(qū)參加采摘活動，學校只有一輛限乘25人的中型面包車。為了讓全體學生盡快地到達目的地。決定采取步行與乘車相結(jié)合的方法。學生步行的速度是每小時5千米汽車行駛的速度是每小時55千。請你設計個方，請問使全體學生都能到達目的地的最短時間是多少小時"例4：甲、乙兩車同時兩地相對開出，兩車第一次在相遇，相遇后繼續(xù)行駛，各自到達B、A兩地后，立即沿原路返回，第二次在地64千米處相，兩地間的距離是多少？例5：A、B兩地相距540千米.甲、乙兩車往返行駛于A、B兩地之間，都是到達一地之后立即返回乙車較甲車.設兩輛車同時地出發(fā)后一次和第二次相遇都在途中P地.則兩車第三次相遇為止，乙車共走了多少千例6：甲、乙二人分別兩地同時相向而行，甲的速度是每小時30千米，乙的速度是每小時20千米，二人相遇后繼續(xù)行進，甲到B地、乙到A地后立即返回二人第四次相遇的地點距第三次相遇的地點是20千，則，A、B兩地相距多少千米？例7：甲、乙二人分別兩地同時出發(fā)，往返跑步。甲每分鐘跑180米，乙每分跑240米.如果他們的次相遇點與次相遇點的距離是160米，求A、B兩點間的距離為多少米？例8：甲乙丙三輛車同時從A地出發(fā)往B地去甲乙兩車的速度分別位60千米/時和48千米/時有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發(fā)后6時、7時、8時先后與甲、乙、丙三輛車相遇。求丙車的速度？例9：A、B、C三地依次分布在由西向東的一條道路上，甲、乙、丙分別從A、B、C三地同時出發(fā)，甲、乙向東，丙向西。乙、丙在距地18千米處相遇，甲、丙地相遇，而當甲地追上乙時，丙已經(jīng)走過B地32千。問間的路程是多少千米？例10：甲、乙兩人騎自行車同時從A地出發(fā)去B地，甲的車速是乙的車速的1.2倍，乙騎了4千米后，自行車出現(xiàn)故障，耽誤的時間可以騎全程的，排除故障后，乙提高車速60%，結(jié)果甲、乙同時到達B地，則A、B兩地之間的路程是多少千米？高階應用題(一)百分數(shù)意義：一個數(shù)〔量〕是另一個數(shù)〔量〕的百分之幾。百分數(shù)只表示二者的比例關(guān)系，沒有實際意義，不能帶單位。百分數(shù)和小數(shù)的互化：①小數(shù)化百分數(shù)，小數(shù)點向右移兩位，加百分號；②百分數(shù)化小數(shù)，小數(shù)點向左移兩位，去掉百分號；百分數(shù)和分數(shù)的互化：①百分數(shù)化分數(shù)：寫成分母是100的分數(shù)，百分號前面的數(shù)字就是分子，再化成最簡分數(shù)；②分數(shù)化成百分數(shù)：講分子分母同時乘以一個數(shù)，使分母變成100；或?qū)⒎謹?shù)化成小數(shù)，參照小數(shù)化百分數(shù)。百分數(shù)的簡單題型分類：①百分數(shù)和百分率；②一個數(shù)使另一個數(shù)的百分之幾；③一個數(shù)比另一個數(shù)多〔少〕百分之幾；注意：出現(xiàn)“比誰〞“是誰〞，就把“誰〞看做單位“1〞或者百分之百，“誰〞就做除數(shù)或分母。課堂練習：甲乙兩數(shù)的比是3:4，甲數(shù)是乙數(shù)的〔〕%；男生20人，女生30人，男生約占女生人數(shù)的〔〕%，男生占全班人數(shù)的〔〕%，女生占男生的〔〕%。果園今年種了200棵果樹，活了180棵，這批果樹的成活率是〔〕%。把20克鹽放入80克水中，鹽水的含鹽率是〔〕。一堆煤，用了40%，還剩這堆煤的〔〕%。比80米少20%的是〔〕米，〔〕米的20%是60米。甲數(shù)是乙數(shù)的0.8，乙數(shù)比甲數(shù)多〔〕%，甲數(shù)比乙數(shù)少〔〕%，甲乙數(shù)的和比乙數(shù)多〔〕%。有兩個數(shù)，甲數(shù)是10，乙數(shù)比甲數(shù)少2，則，甲數(shù)是乙數(shù)的〔〕%，乙數(shù)是甲數(shù)的〔〕%。最小的合數(shù)比最小的質(zhì)數(shù)多〔〕%。一段路的60%比它的40%多5千米，這段路有〔〕。一臺冰箱，原價2000元，降價后賣了1600元，降了百分之幾？一臺電視，原價1200元，降了300元，價格降了百分之幾？*商品現(xiàn)價80元，比打折前廉價了20元，此商品打〔〕折優(yōu)惠。14、甲、乙兩人每人都有10紙，甲給乙多少紙可以使乙的紙數(shù)比甲多50%？(二)利潤、利息問題利潤問題根本概念：本錢：又叫進價，即商店商品的買價；定價：商店給商品的標價；利潤：賣出價格與本錢的差價；售價：賣出的價格?！捕忱麧檰栴}根本數(shù)量關(guān)系：1.利潤=出售價－本錢價2.利潤率=〔出售價－本錢價〕÷本錢價×100%3.期望利潤=定價－本錢價4.期望利潤率=〔定價－本錢價〕÷本錢價×100%5.出售價=本錢價×〔1+利潤率〕6.定價=本錢價×〔1+利潤率〕7.折扣=買價÷賣價〔三〕利息問題根本數(shù)量關(guān)系：1.利息=本金×時間×利率2.利率=利息÷(本金×時間)3.本金=利息÷(利率×時間)8．稅后利息=本金×時間×利率×〔1－稅率〕例1：電訊商店銷售*種手機，去年按定價的90%出售，可獲得20%的利潤，由于今年的買入價降低了，按同樣定價的75%出售，卻可獲得25%的利潤，請問今年的買入價是去年買入價的百分之幾？練習1：個體戶小，把*種商品按標價的九折出售，仍可獲利20%，假設按貨物的進價為每件24元，求每件的標價是多少元？練習2：體育用品商店以每個40元的價格購進一批小足球，以每個50元的價格賣出。當賣掉這批足球的90%時，不僅收回了本錢，還獲利800元。這批小足球一共多少個？練習3：*水果店到蘋果的產(chǎn)地收購蘋果，收購價每千克1.20元。從產(chǎn)地到該商店的路程是400千米，運費為每噸貨物每運1千米收1.5元。如果在運輸和消費過程中的損耗是10%，商店要想實現(xiàn)25%的利潤率，則這批蘋果的零售價是每千克多少元練習4：先生將一筆錢存入銀行，定期3個月，年利率3.25%，到期利息是357.5元，先生存入銀行的一筆錢是多少元？本利和是多少元？(三)濃度問題：根本量：溶質(zhì)；溶劑；溶液=溶質(zhì)+溶劑；濃度；根本公式：①濃度=溶質(zhì)÷溶液×100%=溶質(zhì)÷(溶質(zhì)+溶劑)×100%；②溶質(zhì)=溶液×濃度=(溶質(zhì)+溶劑)×濃度；③溶液=溶質(zhì)÷濃度；3、溶液混合情況分析：①一種液體參加水，前后溶液量變化，濃度變化，溶質(zhì)不變；②兩種濃度不同液體混合，濃度變化，溶液=兩液體溶液和，溶質(zhì)=兩液體溶質(zhì)和。重要工具：十字穿插法推導過程：a*%+by%=z%(a+b):5、溶液參加一樣水量，濃度變化公式：例1：參加一樣水量稀釋問題：例1：現(xiàn)有250克濃度的糖水我們參加克時糖水的濃度變?yōu)槎嗌?？然后再參?60克水，濃度變?yōu)槎嗌?？最后又參加濃度?5%的糖水120克，濃度變?yōu)槎嗌倬毩?：現(xiàn)有濃度為20%的糖克，參加濃度的糖水50克，濃度變?yōu)槎嗌?？?〕現(xiàn)將濃度為10%的鹽水10千克與濃度為30%的鹽水3千克混合，得到的鹽水濃度是多練習2：〔1〕將75%的酒精溶克稀釋成濃度為40%的稀酒精，需參加水多少克？〔2〕濃度為20%的糖克，要把它變成濃度的糖水，需加多少克糖？練習3：有濃度的鹽水300克，要配制成27%的鹽水，需參加濃度為30%的鹽水多少克？練習4：小明用糖塊和開水配制了1000克濃度為20%的糖水，則在配制過程中，用了多少克水？如果用糖含量18﹪和23﹪的糖水配制，各需多少克糖水？例2：兩個杯子里分別裝有濃度為40%與10%的鹽水，倒在一起混合后鹽水的濃度變?yōu)?0%，假設再參加300克20%的鹽水，混合后濃度變?yōu)?5%，則原有40%的鹽水多少克？練習1：有一杯酒，食用酒精含量為45﹪，假設添加16克水，酒精含量就變?yōu)?5﹪，這杯酒中原來有食用酒精多少克？練習2：用濃度為45﹪和5﹪的糖水配制成濃度為30﹪的糖水4000克，需取45﹪的糖水多少克？練習3：一杯鹽水，第一次參加一定量的水后，鹽水的含鹽百分比變?yōu)?5%；第二次又參加同樣多的水，鹽水的含鹽百分比變?yōu)?2%；第三次再參加同樣多的水，鹽水的含鹽百分比將變成百分之幾？練習4：酒精含量為30%的酒精溶液假設干，加了一定量的水后稀釋成酒精含量為24%的溶液，如果再參加同樣多的水，則液體的酒精含量將變?yōu)槎嗌伲?四)工程問題：三個根本量：工作總量〔工總〕、工作時間〔工時〕、工作效率〔工效〕；根本公式：工總=工效×工時；工效=工總÷工時；工時=工總÷工效；3、設工作總量的方法：①通常將工作總量設為單位“1〞；②講完成時間的最小公倍數(shù)設為工作總量；多人合作，區(qū)分合作方式：①合作：總工效=多人工效相加合作工總=合作工效×合作工時；合作工效=合作工總÷合作工時；合作工時=合作工總÷合作工效；②輪流做：總工總=各人工總之和總工總=工效1×工時1+工效2×工時2......進水、出水問題：總工效=進水工效之和-出水工效之和；例1：一份稿件，甲需要6天才能完成打印，乙需要10天才能完成打印，則兩人合作打3天共完成這份稿件的幾分之幾？練習1：一項工程，揚揚單獨做要12天完成，貝貝單獨做要24天完成，晶晶單獨做36天完成。如果先讓揚揚單獨做6天，再讓貝貝單獨做6天，剩余的工程由晶晶完成，則晶晶工作幾天能完成？練習2：植樹節(jié)那天，學校方案要把一批樹苗全部種上，如果由甲班單獨種，需要6小時完成；如果由甲、乙兩班合種，需要4小時完成。則如果由乙班單獨種需要多少小時完成？練習3：一項工程，甲、乙兩人合作8天可以完成，乙、丙兩人合作9天可以完成，甲、丙兩人合作18天可以完成，則丙一人來做幾天可以完成這項工作？練習4：工程隊的8個人用30天完成了*項工程的eq\f(2,3),接著減少了2個人完成其余的工程，則完成這項工程共用了多少天？例2：一個水池有甲和乙兩個排水管，一個進水管丙，假設同時開放甲、丙兩管，20小時可將滿池水排空，假設同時開放乙、丙兩管，30小時可將滿池水排空；假設單獨開丙管，60小時可將空池住滿，假設同時開放甲，乙，丙三水管，要將滿池水排空，需要幾小時？練習1：一個裝滿了水的水池有一個進水管和三個口徑一樣的出水管，如果同時翻開進水管和一個出水管，則30分鐘能把水池的水排完；如果同時翻開進水管和兩個出水管，則10分鐘能把水池的水排完。關(guān)閉進水管并且同時翻開三個出水管，需要多少分鐘才能排完水池的水？練習2：有一個蓄水池裝有9根水管，其中一根為進水管，其余8根為一樣的出水管，進水管以均勻的速度不停的向這個蓄水池注水，后來有人想翻開出水管，使池的水全部排光〔這時池已注入了一些水〕。如果把8根出水管全部翻開，需3小時把池的水全部排出;如果僅翻開5根出水管，需6小時把池的水全部排出。要想在4.5小時把池的水全部排光。需要同時翻開多少根出水管？(五)比例(1)比例性質(zhì)前項和后項都乘以或除以一樣的數(shù)〔0除外〕比值不變；兩個外項的積等于兩個項的積；(2)求比值和化簡比的區(qū)別和聯(lián)系意義方法結(jié)果1.求比值：前項除以后項所得的商；2.化簡比：把兩個數(shù)的比化成最簡單的整數(shù)比；(3)正比例和反比例的區(qū)別和聯(lián)系正比例：反比例：(4)應用題1、日常生活中的數(shù)量比例分配：找到總數(shù)量對應的總份數(shù)，相應量在總份數(shù)中的占比；2、行程中的速度比例：按照速度比例，一樣時間，所走路程也按相應比例分配，也轉(zhuǎn)化為數(shù)量比例分配問題。3、正、反比例應用題的解題策略判斷題中相關(guān)聯(lián)的兩個量是成正比例關(guān)系還是成反比例關(guān)