第六章短期聚合風險模型課件

[知識要點]1、短期聚合風險模型對于

,其中N表示保險期內(nèi)所有承保保單發(fā)生索賠的次數(shù)隨機變量，Xi表示第I次發(fā)生理賠時的理賠額隨機變量，S為保險期內(nèi)的理賠總額隨機變量。Xi

對不同的i是獨立同分布的，N與各Xi是獨立的。稱此模型為短期聚合風險模型。2、理賠次數(shù)和理賠額的分布

（1）

泊松分布的定義、分布列、期望與方差、矩母函數(shù)：

（2）

負二項分布的定義、分布列、期望與方差、矩母函數(shù)。

負二項分布可以看作是泊松分布的一種推廣，假設泊松參數(shù)也是一個隨機變量，且有密度函數(shù)f(x)，由全概率公式有：

牛牛文庫文檔分享1而：特別地，當λ的密度為，x＞0時，N服從參數(shù)r=a,p=β/1+β的負二項分布。

（3）S的分布問題

假設S的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為F（x）和f(x),則：

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除用卷積方法之外，還可以用矩母函數(shù)法及逆轉(zhuǎn)公式來求S的分布，由矩母函數(shù)的定義有：其中X是與各Xi

同分布的隨機變量。

也就是說，若知道Xi和N的矩母函數(shù)，就可計算出S的矩母函數(shù)，

牛牛文庫文檔分享3而4、復合泊松分布在聚合風險 中，當N服從泊松分布時，S的分布就稱為復合泊松分布。這樣：E（S）=E（X）?E（N）=λ

?E（X）其中λ為泊松參數(shù)。

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關于復合泊松分布有如下的幾個定理和規(guī)律：

（1）如果S1，S2，…，Sm是相互獨立的隨機變量，且Si服從參數(shù)為λi

的復合泊松分布，理賠額的分布為Pi(x),i=1,2,…,m,則服從參數(shù)為 的復合泊松分布，且個別理賠額分布為：（2）對于一個復合泊松分布隨機，可以分解為：個別理賠額的分布列為：Xx1x2…xmPp1p2…pm

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則N1，N2，…，Nm相互獨立且Ni服從參數(shù)為λ

i=λ

pi的泊松分布，其中λ為S的泊松參數(shù)。對于此定理，若xi僅取正整數(shù)值，則理賠總額S的密度函數(shù)為：

合風險模型

量為X，保對于此定理，還有更普遍的推廣，也就是說在聚中，若理賠額只取正整數(shù)，理賠次數(shù)N的分布滿足：(n=1,2,…)（3）在復合泊松分布中，若保險標的損失隨機變險合同有一個免賠額d，即

，X>d, X≤

d

是其真正的理賠額隨機變量，泊松參數(shù)為λ，則帶免賠的理賠總額S仍是復合泊松分布，泊松參數(shù)變?yōu)棣?/p>

?P（x>d),個別理賠額的分布密度函數(shù)為：

牛牛文庫文檔分享65、聚合理賠量的近似模型（1）正態(tài)近似

定理 如果S是復合泊松分布，泊松參數(shù)為λ

，個別理賠額的數(shù)學期望μ

與方差σ

2有界，則：

定理 如果S服從復合負二項分布，參數(shù)為r,p,個別理賠額隨機變量的數(shù)學期望與方差分別為有界的μ

與σ2

，則：

牛牛文庫文檔分享7（2）平移伽馬近似定義

x）為相應

如果能定出可解決這一其中，g（x）為Γ(α,β)分布的概率密度函數(shù)，h（的平移x0個單位的平移伽馬分布的概率密度函數(shù)。由定義知平移伽馬分布有三個參數(shù)x0，α,β，這三個參數(shù)，這個分布也就已知。求解下面的方程組問題：

牛牛文庫文檔分享8[重點及難點解析]

牛牛文庫文檔分享9

本章的重點內(nèi)容是復合泊松分布，包括當個別理賠額是正整數(shù)時的復合泊松分布，另外，理賠總額S分布的正態(tài)近似及平移伽馬近似也是本章的重點內(nèi)容。當然，對重點內(nèi)容可以進行引申，譬如當索賠次數(shù)分布為負二項分布、幾何分布、超幾何分布、二項分布等；更簡單的還有二點分布，這時聚合風險模型與個別風險模型有相通之處。當然，個別索賠額的分布形式更加多樣，特別是當個別索賠額隨機變量的取值僅為正整數(shù)值時，是本章的難點。下面看幾個例子，以便讓讀者有一些感性認識。

例1

一組一年期的定期壽險組合，每份保單的保險金額都相同為B個單位元，索賠次數(shù)N服從泊松分布，參數(shù)為λ

，以下陳述中哪一項是不正確的？A、E(S)=E(N)?B=λ

BB、Var(S)=Var(N)?B2C、S的可能取值為0，B，2B，…D、E(X

)=B,Var(X)=B2E、P(S≤Bx)=P(N≤x)解由聚合風險模型有：E

(S

)=E

(N

)E（X）=λ?B所以A正確。Var

(

S

)=

E2（X）Var(

N

)+E（N）?Var

(X)=

B2

?λ所以B正確。

由于每次理賠額均為常數(shù)B，所以在保險期內(nèi)索賠總額僅取B的倍數(shù)，所以C正確。依題意有：P（X=B）=1

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所以

E（X）=BM，Var(X)=0所以D錯誤。因為S=BN所以P（S≤BX）=P（BN≤BX）=P（N≤X）所以E正確。所以選D。

例2

保險人承保了保險金額為1萬元的一年定期意外險保險單

1000份，假設投保人出險的概率是獨立的，每個被保險人索賠的概率為0.0002，求索賠總額超過12000元的概率。以上兩道例題有相似之處，理賠額均為常數(shù)，這樣索賠總額S的E（S）為：

牛牛文庫文檔分享11

例3

設Si，i=1，2，…，n

,是一系列相互獨立的且具有相同分布的復合負二項分布，負二項分布的參數(shù)分別為K和P，個別索賠額的密度函數(shù)為?(x),令： ，下面有關S的陳述哪一項是錯誤的？A、S仍是復合負二項分布B、S的個體索賠額的密度函數(shù)仍為?(x)C、復合負二項分布具有可加性

牛牛文庫文檔分享12所以S的分布仍是復合負二項分布，參數(shù)為nk和P，個別索賠額的密度函數(shù)仍為?(wxw)，w.n因iuw此k.coAm、牛B牛、文D庫正文檔確分。享13

但是，上述結果并不意味著復合負二項分布與復合泊松分布具有一樣的可加性。如果Si不獨立同分布，S的矩母函數(shù)為：

也就是說，如果負二項分布參數(shù)qi不一樣，即使K、MX（t）對每個Si都相同，復合負二項分布也沒有可加性，但是P和MX（t）對每個Si都相同，K參數(shù)對每個Si具有不同的ki時，復合負二項分布是具有可加性的。因為

牛牛文庫文檔分享14所以，綜合以上分析，此題的答案應選C。例4

保險人提供具有如下情形的三種保險：

對于每一個保險標的，方差和期望的索賠金額是相等的，對于每一類型的保單，保費是按（1+θ

）倍的期望值收取，求θ，使總索賠額超過總保費的概率為0.05。A.

0.09 B.

0.1 C.

0.11

D.0.12

E.0.13解 期望的總索賠額是：種類保單數(shù)索賠概率期望索賠金額15000.055210000.101035000.155

牛牛文庫文檔分享15總索賠額的方差是：

牛牛文庫文檔分享16

這道題可用個別風險模型解決，兩種方法難度相當；由于保單數(shù)量較多，正態(tài)分布近似總是不錯的選擇。例5

具有正整數(shù)個別索賠額的復合泊松分布的總索賠額隨機數(shù)。

0變量的概率密度函數(shù)如下：已知索賠總額的數(shù)學期望為1.68，求期望的索賠次A.

0.60 B.

0.70 C.

0.80 D.0.90

E.1.

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例6 S是具有下列特征的復合泊松分布；

①

個別索賠額為1，2或3；②

E（S）=56；③Var（S）=126；④

λ

=29。決定索賠額為2時的期望索賠次數(shù)是多少？A.10

B.11

C.12

D.13

E.15

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此例和上例也有相似之處，對于復合泊松分布、λ

（泊松參數(shù)）、個別索賠的正整數(shù)值及對應的概率值，這兩個量已知，所

有未知的量即可求出；或知道其余的一些量就可求出另外一些量，但此題也可推廣到其他一些情況，譬如索賠次數(shù)分布改為負二項分布或二點分布時，λ已知改為負二項分布的參數(shù)k與p已知或二項分布的參數(shù)n與p已知，再計算本題。此方面的具體題目參見本

章思考題。

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由于復合分布的重要性，再看如下的例子：例7

對于泊松參數(shù)λ為6的復合泊松分布，個別索賠額的分布為

,另外，還已知索賠總額的一些如下概率值：x124P1/31/31/3S…34567…P…0.01320.02150.0271P(6)0.0410…C.0.039

求P（6）A.0.031D.0.0365B.0.066E.0.0345

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當然此題也可在沒有P（3）、P（4）、P（5）、P（7）的值時算出，不過那要算出P（0）、P（1）、P（2）、P（3）P（4）、P（5）的值才能求P（6）的值。當然這種計算讀者會感了靈性。

與Xi

獨立，)；

到很無聊，如果給出一些特殊的值，此題便立刻具有例8

設復合分布 ，其中Xi相互獨立且N問下面選項哪一項是正確的？①如果個別索賠額P(x)=e-x,x＞0,那么Var(S)=E(N2②假設Var(N)=E（N），那么Var(S)=P2?E（N）；③

E(S2)

=

E（N）

E(X2)

+P12

E(N2)A、僅①正確 B、僅②正確 C、僅③正確D、②③正確 E、都不對

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例9

對復合負二項分布，參數(shù)r=1，p=1/3，個別索賠額服從參數(shù)為λ

的指數(shù)分布，已知Ms（1，0）=3，求λ

。A.4.9

B.5.0

C.3.5

D.4.0

E.4.5

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例10

沒有再保險時的總索賠分布為復合泊松分布,如果用平移伽馬分布來近似,則平移伽馬分布的參數(shù)為(α

=2.0,

β

=5,x0=40).如果有50％

的比例再保險,也用平移伽馬分布來近似,求有再保險時的平移伽馬分布的有關參數(shù).A.x0

=

20,α

=

20,β

=

10B.x0

=

40,α

=

40,β

=

20C.x0

=

20,α

=

20,β

=

20D.

x0

=

10,α

=

10,β

=

10E.x0

=

20,α

=

20,β

=

30解 依題在沒有再保險時有:

牛牛文庫文檔分享23

在有50％的比例再保險時,泊松參數(shù)λ不會發(fā)生改變,個別索賠額會變?yōu)樵瓉淼?/2,再保后有:

解得:

x0R=20,aR=20,

βR=10

,其中

x0R,aR,βR

為有再保險時的平移伽馬分布參數(shù),所以此題答案為A.例11

某保險人承保了一醫(yī)療保險,其中包括住院費和其他費用,個別賠付的特征如下:

牛牛文庫文檔分享24另外,住院費用和其他賠付金額的協(xié)方差為100

000.保險人對住院花費全部保險,對其他花費保險了損失的80％,索賠次數(shù)服從參數(shù)為4的泊