2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題02

-.z.2017全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題02填空題〔每題8分，共64分〕在如下列圖所示的正方體中，二面角等于〔用反三角函數(shù)表示〕如果三角形的三個(gè)角滿足依次成等差數(shù)列，則角的最大值是3.實(shí)數(shù)列滿足條件：，則通項(xiàng)公式。4.是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，如果的面積為1，則5.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與其反函數(shù)的圖像恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值圍是6.正實(shí)數(shù)與非負(fù)實(shí)數(shù)滿足(1);(2)，則的最大值為__________．7.20塊質(zhì)量為整數(shù)克的砝碼可稱出克的物品，砝碼只能放在天平一端，則最大砝碼質(zhì)量最小值為________________克．8.設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，則函數(shù)的圖像與軸所圍成圖形的面積是簡(jiǎn)答題〔本大題共3小題，共56分〕〔16分〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和組成的數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式?！?0分〕設(shè)是多項(xiàng)式方程的三個(gè)根?！?〕都落在區(qū)間之中，求這三個(gè)根的整數(shù)局部；〔2〕證明：〔20分〕如下列圖，橢圓是橢圓上的兩點(diǎn)，直線是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是過點(diǎn)且與相切的直線，分別是直線與，與，與的交點(diǎn)，求證：三條直線和共點(diǎn)。2017全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題02填空題〔每題8分，共64分〕1.在如下列圖所示的正方體中，二面角等于解：2.如果三角形的三個(gè)角滿足依次成等差數(shù)列，則角的最大值是解：.記，則.由于至多一個(gè)負(fù)數(shù)，故，且.即.消去后，得到，方程有實(shí)根，所以，故即且時(shí)等號(hào)成立3.實(shí)數(shù)列滿足條件：，則解：.計(jì)算前幾項(xiàng)可以猜出結(jié)果，再用數(shù)學(xué)歸納法可以證明.4.是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，如果的面積為1，則解：.不妨假定設(shè).則的斜率為，的斜率為，因此，解得又，所以，點(diǎn).從而，所以5.設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，則函數(shù)的圖像與軸所圍成圖形的面積是6.正實(shí)數(shù)與非負(fù)實(shí)數(shù)滿足(1);(2)，則的最大值為__________．解：.由均值不等式知:,于是,即.取滿足條件,且取到最大值.7.20塊質(zhì)量為整數(shù)克的砝碼可稱出克的物品，砝碼只能放在天平一端，則最大砝碼質(zhì)量最小值為________________克．解：147.設(shè)這20塊砝碼質(zhì)量為.首先用歸納法證明:.〔1〕當(dāng)時(shí),顯然,〔2〕設(shè)結(jié)論對(duì)成立，假設(shè)，則由知克的物品無(wú)法稱量，矛盾！于是，，所以，所以，即，又當(dāng)，時(shí)，符合條件，故最小值為147克．8.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與其反函數(shù)的圖像恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值圍是簡(jiǎn)答題〔本大題共3小題，共56分〕9.〔16分〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和組成的數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。10.〔20分〕設(shè)是多項(xiàng)式方程的三個(gè)根?！?〕都落在區(qū)間之中，求這三個(gè)根的整數(shù)局部；〔2〕證明：11.〔20分〕如下列圖，橢圓是橢圓上的兩點(diǎn)，直線是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是過點(diǎn)且與相切的直線，分別是直線與，與，與的交點(diǎn)，求證：三條直線和共點(diǎn)。解答三：利用賽瓦定理2015全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題02一〔此題總分值40分〕對(duì)任意實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“〞為：．在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)集，求所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積．二〔此題總分值40分〕如圖，在中，，為的垂心，M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上且滿足，點(diǎn)在直線上的射影為.證明：的外接圓與的外接圓相切.三〔此題總分值50分〕整數(shù)滿足.求的最小值,并求出一切到達(dá)最小值的四元數(shù)組四〔此題總分值50分〕設(shè)整數(shù),，，對(duì)，記為滿足，，的數(shù)組的個(gè)數(shù)，類似定義，.證明：.2015全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題02一〔此題總分值40分〕對(duì)任意實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“〞為：．在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)集，求所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積．解：根據(jù)運(yùn)算“〞的定義，為整數(shù)，進(jìn)而，①其中表示的小數(shù)局部．同理可知．②比擬①、②可知，當(dāng)且僅當(dāng)．由于，而與均是偶數(shù)，故上式成立的充分必要條件是，且．③假設(shè)，則，．假設(shè)，則，．假設(shè)，則，．當(dāng)取自、、中不同的區(qū)間時(shí)，③不成立．對(duì)，記，則根據(jù)上述討論知，所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域面積，因此點(diǎn)集所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域面積為．二〔此題總分值40分〕如圖，在中，，為的垂心，M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上且滿足，點(diǎn)在直線上的射影為.證明：的外接圓與的外接圓相切.證明：聯(lián)接并延長(zhǎng)交的外接圓于點(diǎn)，作與的外接圓交于點(diǎn)，易知關(guān)于對(duì)稱，故,因此，由此推出，故為外接圓的直徑.又由，結(jié)合知四邊形為平行四邊形，所以過點(diǎn).設(shè)為在上的射影，延長(zhǎng)交的外接圓于點(diǎn)，由得，共圓，以為直徑.由有，所以〔相等的圓周角所對(duì)弦長(zhǎng)相等〕，故有.由得，，所以，結(jié)合有，由此推出，所以點(diǎn)共線，由得，四點(diǎn)共圓.過點(diǎn)作外接圓的切線，由知，也是圓的切線，故的外接圓與的外接圓相切，證畢.三〔此題總分值50分〕整數(shù)滿足.求的最小值,并求出一切到達(dá)最小值的四元數(shù)組解:設(shè)原式,易知:.(1),則,故同號(hào),同號(hào).由于,故只須考慮如下兩種情況:(i)；(ii);.對(duì)于(i),由,知:.對(duì)于(ii),由,知:.(2).則,所以.假設(shè),則,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).同理，假設(shè),則,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).(3).此時(shí),假設(shè),則.假設(shè),則,取等號(hào)時(shí)有.但此時(shí),與為整數(shù)矛盾!故等號(hào)取不到.假設(shè),則,,取等號(hào)時(shí)有.但,,這不可能!故,取等號(hào)時(shí),.由知:.由知,中必有.假設(shè),則,故或.同理，假設(shè),則,或.綜上所述,最小值為,取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)為之一.四〔此題總分值50分〕