mKdV方程的新廣義孤立波解

mKdV方程的新廣義孤立波解引言非線性偏微分方程(NLPE)是研究數(shù)學(xué)與物理學(xué)中最重要的領(lǐng)域之一。其中，Korteweg–deVries(KdV)方程是最原始和最廣泛用于描述水波現(xiàn)象的NLPE之一。mKdV方程是KdV方程的一般情況，它出現(xiàn)在一些物理現(xiàn)象中，例如：玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)、Bose氣體、非線性光學(xué)中等。建立NLPE的新解是理論和應(yīng)用研究都十分重要的問題。本文旨在研究mKdV方程的新廣義孤立波解，這對于詳細(xì)研究mKdV方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)和物理現(xiàn)象具有重要意義。表述問題mKdV方程的一般表述為：$$u_t+6uu_x+(\\alpha-\\beta)(u_{xx}+u_{xxxx})=0,$$其中，ux,t是液面變動(dòng)的函數(shù)，x是沿著液面的坐標(biāo)，t是時(shí)間，$\\alpha$和廣義孤立波解指的是具有特殊形狀的孤立波解。VL方程的含參Lax對與借助Darboux轉(zhuǎn)化后，得到其一類廣義孤立波解，但在mKdV方程的二階Lax對中并沒有含參的項(xiàng)，不能像VL方程那樣使用Darboux轉(zhuǎn)化。因此，mKdV方程的廣義孤立波解需要通過其他方法求解。解法我們考慮對mKdV方程進(jìn)行Hirota’s方法求解。Hirota的方法是一種強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，可以用于解決許多非線性偏微分方程。該方法以構(gòu)造多項(xiàng)式解為主要思路，通過反復(fù)利用波的幅值符號變化來構(gòu)造一些性質(zhì)優(yōu)良的解。根據(jù)Hirota’s方法，我們可以構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式解：$$u(x,t)=\\frac{r^{(1)}}{d^{(1)}},$$其中，$$r^{(1)}=\\sum_{i=0}^3a_i(x)q^i(x,t),\\qquadd^{(1)}=\\sum_{i=0}^2b_i(x)q^i(x,t),$$且$$q(x,t)=\\sum_{n=-\\infty}^{+\\infty}q_n(t)e^{inx},$$其中，aix和bix為x的多項(xiàng)式，qnt代入mKdV方程，再利用Hirota’s方法，我們得到了新的廣義孤立波解：$$\\begin{aligned}u(x,t)&=-\\frac{1}{3(2e^{-4i\\alphaa}+1)}(2q_1^2+2e^{-4i\\alphaa}q_0q_2+e^{-8i\\alphaa}q_2^2)\\\\&-2i\\sqrt{\\frac{3}{2}}\\frac{(e^{-2i\\alphaa}-1)q_0^2+(2e^{2i\\alphaa}-1)q_1^2+e^{4i\\alphaa}q_2^2}{(2e^{-4i\\alphaa}+1)^2d^{(1)}}.\\end{aligned}$$其中，$$\\begin{aligned}q_0&=-\\frac{i}{2}\\frac{d^{(1)}}{dx}-\\frac{1}{2}(3\\beta-\\alpha^2)q+\\frac{3}{2}\\alphau,\\\\q_1&=-\\frac{i}{2}\\frac{q_0}{dx}-\\frac{1}{2}(3\\beta-\\alpha^2)u+\\frac{\\alpha}{2}q_0,\\\\q_2&=-\\frac{i}{2}\\frac{q_1}{dx}-\\frac{1}{2}(3\\beta-\\alpha^2)q_0+\\frac{1}{2}\\alphaq_1.\\\\\\end{aligned}$$這里我們?yōu)榱朔奖銓0，q1，總結(jié)本文以新的廣義孤立波解為主要研究內(nèi)容，通過Hirota’s方法求解出了mKdV方程的新廣義孤立波解。該解的推導(dǎo)利用了異變量技巧、Lax對、Hirota’s方法等