新疆兵團(tuán)地州學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

兵團(tuán)地州學(xué)校2023~2024學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊第一章至第三章3.1。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.l.已知向量，，若，則（）A.， B.，C.， D.，2.“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.平行直線與之間的距離為（）A.5 B. C. D.4.已知原點(diǎn)O在圓的外部，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.5.經(jīng)過的直線l在x軸上的截距的取值范圍為，則直線l的斜率k的取值范圍為（）A. B.C. D.6.如圖，在三棱柱中，，，，，與的交點(diǎn)為M，則AM=（）A. B. C. D.7.在生活中，有一個(gè)常見的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會(huì)形成橢圓.如圖，在地面的某個(gè)點(diǎn)正上方有一個(gè)點(diǎn)光源，將小球放置在地面上，使得與小球相切.若地面上的影子形成的橢圓的離心率為，，小球與地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)）就是影子橢圓的焦點(diǎn)，則光源與地面的距離為（）A.2 B. C. D.8.已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，直線經(jīng)過第一、二、四象限，則（）A. B. C. D.10.，為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓C上存在點(diǎn)P，使得，則橢圓C的方程可以是（）A. B.C. D.11.圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則（）A.公共弦所在直線方程為B.線段的中垂線方程為C.公共弦的長為D.P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線的距離的最大值為12.已知正方體的棱長為2，P是正方體所在空間內(nèi)一點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則的最小值為B.若，則平面截正方體所得截面積的最大值為C.若，則三棱錐的表面積為D.若，則直線與BP所成角的最小值為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.14.經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切的直線的一般方程為.15.已知為直線上的一點(diǎn)，則的最小值為.16.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，P為C上異于A，B的一點(diǎn)，直線PA，PB與直線分別交于M，N兩點(diǎn)，則的最小值為.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知直線.（1）求過點(diǎn)，且與直線l垂直的直線m的方程；（2）在（1）的條件下，直線m與圓相交于A，B兩點(diǎn)，求線段的長.18.（12分）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，為C上一點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若P為C上一點(diǎn)，且，求的面積.19.（12分）如圖，在所有棱長均為1的平行六面體中，，側(cè)棱與，均成角，為側(cè)面的中心.（1）若N為的中點(diǎn)，證明：，B，D，N四點(diǎn)共面.（2）求異面直線與所成角的余弦值.20.（12分）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，E，F(xiàn)，M分別是，，的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求平面與平面的夾角的余弦值.21.（12分）如圖，某濕地公園的形狀是長方形，，E為的中點(diǎn)，線段為公園內(nèi)部的人行道（1）記的外接圓為圓M，以為直徑的圓為圓N，判斷圓M與圓N的位置關(guān)系，并說明理由；（2）今欲在人行步道（線段）上設(shè)一觀景臺(tái)P，已知當(dāng)觀景臺(tái)P在過A，B兩點(diǎn)的圓與線段相切的切點(diǎn)處時(shí)，有最佳觀賞和拍攝的效果，若該圓的半徑小于50，問觀景臺(tái)P設(shè)在何處時(shí)，觀賞和拍攝的效果最佳？22.（12分）動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，記點(diǎn)P的軌跡為E.（1）求E的方程；（2）已知，過點(diǎn)的直線與曲線E交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)B在x軸的下方，直線，分別與x軸交于C，D兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.兵團(tuán)地州學(xué)校2023~2024學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷參考答案1.A因?yàn)椋裕?2.B由，，可得，；由方程表示的曲線為橢圓可得，，.故“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.3.C因?yàn)?，所以，則，之間的距離為.4.D由，得，則，解得，又原點(diǎn)O在圓的外部，所以，故.5.C由直線l在x軸上的截距的取值范圍為，得l過點(diǎn)的斜率，l過點(diǎn)的斜率，故直線l的斜率k的取值范圍為.6.C由題意得，所以.7.D設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，在中，內(nèi)切圓與的三邊相切于點(diǎn)D，E，，因?yàn)闄E圓的離心率為，，所以，.設(shè)，則，，，，所以，解得，所以光源A與地面的距離為3.8.C如圖，由題意得，由得所以l過定點(diǎn).設(shè)l與x軸交于點(diǎn)E，當(dāng)最小時(shí)，，，，則，.因?yàn)?，所?在中，，在中，，所以.9.ABC將直線l的方程轉(zhuǎn)化為，因?yàn)閘經(jīng)過第一、二、四象限，所以即，，.10.AD設(shè)橢圓C的方程為，設(shè)橢圓上頂點(diǎn)為B，橢圓C上存在點(diǎn)P，使得，則需，所以，即，因?yàn)?，，則，檢驗(yàn)可得選項(xiàng)A，D滿足.11.ACD對(duì)于A，由與兩式作差可得，所以公共弦所在直線方程為，故A正確；對(duì)于B，圓的圓心，圓的圓心，直線的方程為，所以的中垂線方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓心到直線的距離，由弦長公式得，故C正確；對(duì)于D，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓心到直線的距離為，則P到直線的距離的最大值為，故D正確.12.ABD對(duì)于A選項(xiàng)，在上取點(diǎn)H（圖略），使得，在上取點(diǎn)K，使得，則由，得，即，故P是線段上一點(diǎn).將平面沿展開至與平面共面，此時(shí)，當(dāng)，P，D三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，由，可知P是線段上一點(diǎn).連接并與交于點(diǎn)Z（圖略）.當(dāng)P與D重合時(shí)，平面與平面重合，不符合題意.當(dāng)P在線段（不含點(diǎn)D）上時(shí)，平面截正方體所得截面為三角形，且當(dāng)P與Z重合時(shí)，截面面積最大，最大值為.當(dāng)P在線段（不含點(diǎn)B，Z）上時(shí)，延長并與交于點(diǎn)W，作并與交于點(diǎn)R（圖略），則截面為等腰梯形，設(shè)，則，，梯形的高，面積為.當(dāng)P與B重合時(shí)，截面為矩形，面積為.故平面截正方體所得截面積的最大值為，B正確.對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以P為的中點(diǎn)，三棱錐的表面積為，C不正確.對(duì)于D選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，.因?yàn)?，所以，所以直線與所成角的最小值為，D正確.13. 點(diǎn)關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.14. 由，可得，則圓心，且點(diǎn)在該圓上，，則切線的斜率為，故所求的切線方程為，即.15. 如圖，為點(diǎn)到原點(diǎn)O和y到點(diǎn)的距離之和，即.設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則得即，易得，當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且最小值為.16.6 設(shè)，則，易知，，直線和直線的斜率之積，設(shè)直線的方程為，則，直線的方程為，則，所以.17.解：（1）∵，∴直線m的方程為，∵直線m過點(diǎn)，∴，∴.∴直線m的方程為.（2）將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得，則圓心為（1，0），半徑，∴圓心到直線m的距離，∴.18.解：（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c.由題意有，，，所以，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可知，且，所以.所以的面積.19.解：（1），所以，因?yàn)?，所以，B，D，N四點(diǎn)共面.（2），即.，，即異面直線與所成角的余弦值為.20.（1）證明：取的中點(diǎn)N，連接，，因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以，.又底面為正方形，F(xiàn)是的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，.從而，，.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得..故平面與平面的夾角的余弦值為.21.解：（1）以A為原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，.因?yàn)椋詧AM的圓心為的中點(diǎn)，即圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑為，圓N的圓心N的坐標(biāo)為，半徑為10，，所以圓M與圓N外離.（2）所在的直線方程為，因