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文檔簡介
福建福州市2022-2023學(xué)年高三高考沖刺第一次考試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知拋物線y2=4x的焦點為F,拋物線上任意一點P,且PQ⊥y軸交y軸于點Q,則的最小值為()A. B. C.l D.12.在中,,,,點滿足,則等于()A.10 B.9 C.8 D.73.雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x-3)2+y2=A.3 B.2C.3 D.64.已知若(1-ai)(3+2i)為純虛數(shù),則a的值為()A. B. C. D.5.已知雙曲線的一條漸近線為,圓與相切于點,若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6.直三棱柱中,,,則直線與所成的角的余弦值為()A. B. C. D.7.設(shè)i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)z等于()A. B. C. D.08.設(shè)雙曲線的一條漸近線為,且一個焦點與拋物線的焦點相同,則此雙曲線的方程為()A. B. C. D.9.為了加強“精準(zhǔn)扶貧”,實現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國夢”,某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加三個貧困縣的調(diào)研工作,每個縣至少去1人,且甲、乙兩人約定去同一個貧困縣,則不同的派遣方案共有()A.24 B.36 C.48 D.6410.如圖,拋物線:的焦點為,過點的直線與拋物線交于,兩點,若直線與以為圓心,線段(為坐標(biāo)原點)長為半徑的圓交于,兩點,則關(guān)于值的說法正確的是()A.等于4 B.大于4 C.小于4 D.不確定11.已知斜率為2的直線l過拋物線C:的焦點F,且與拋物線交于A,B兩點,若線段AB的中點M的縱坐標(biāo)為1,則p=()A.1 B. C.2 D.412.某校在高一年級進(jìn)行了數(shù)學(xué)競賽(總分100分),下表為高一·一班40名同學(xué)的數(shù)學(xué)競賽成績:555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如圖的算法框圖中輸入的為上表中的學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽成績,運行相應(yīng)的程序,輸出,的值,則()A.6 B.8 C.10 D.12二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)是_____,_____.14.已知,,且,若恒成立,則實數(shù)的取值范圍是____.15.已知數(shù)列滿足,,若,則數(shù)列的前n項和______.16.電影《厲害了,我的國》于2018年3月正式登陸全國院線,網(wǎng)友紛紛表示,看完電影熱血沸騰“我為我的國家驕傲,我為我是中國人驕傲!”《厲害了,我的國》正在召喚我們每一個人,不忘初心,用奮斗書寫無悔人生,小明想約甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了,我的國》,并把標(biāo)識為的四張電影票放在編號分別為1,2,3,4的四個不同的盒子里,讓四位好朋友進(jìn)行猜測:甲說:第1個盒子里放的是,第3個盒子里放的是乙說:第2個盒子里放的是,第3個盒子里放的是丙說:第4個盒子里放的是,第2個盒子里放的是丁說:第4個盒子里放的是,第3個盒子里放的是小明說:“四位朋友你們都只說對了一半”可以預(yù)測,第4個盒子里放的電影票為_________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列和滿足,,,,.(Ⅰ)求與;(Ⅱ)記數(shù)列的前項和為,且,若對,恒成立,求正整數(shù)的值.18.(12分)設(shè)直線與拋物線交于兩點,與橢圓交于兩點,設(shè)直線(為坐標(biāo)原點)的斜率分別為,若.(1)證明:直線過定點,并求出該定點的坐標(biāo);(2)是否存在常數(shù),滿足?并說明理由.19.(12分)設(shè)都是正數(shù),且,.求證:.20.(12分)設(shè),函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)設(shè)函數(shù).①若,試判斷函數(shù)與的圖像在區(qū)間上是否有交點;②求證:對任意的,直線都不是的切線;(2)設(shè)函數(shù),試判斷函數(shù)是否存在極小值,若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.21.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;(2)若在上恒成立,求的取值范圍.22.(10分)已知;.(1)若為真命題,求實數(shù)的取值范圍;(2)若為真命題且為假命題,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
設(shè)點,則點,,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】解:設(shè)點,則點,,,,當(dāng)時,取最小值,最小值為.故選:A.【點睛】本題考查拋物線背景下的向量的坐標(biāo)運算,考查學(xué)生的計算能力,是基礎(chǔ)題.2、D【解析】
利用已知條件,表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積.【詳解】在中,,,,點滿足,可得則==【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積運算,關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量.3、A【解析】
由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為y=±22x,圓心坐標(biāo)為(3,0).由題意知,圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r,即r=±答案:A【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則化簡可得,根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為,該復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以.故選:A【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)的分類,屬基礎(chǔ)題.5、D【解析】
由圓與相切可知,圓心到的距離為2,即.又,由此求出的值,利用離心率公式,求出e.【詳解】由題意得,,,.故選:D.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),直線與圓相切的性質(zhì),離心率的求法,屬于中檔題.6、A【解析】
設(shè),延長至,使得,連,可證,得到(或補角)為所求的角,分別求出,解即可.【詳解】設(shè),延長至,使得,連,在直三棱柱中,,,四邊形為平行四邊形,,(或補角)為直線與所成的角,在中,,在中,,在中,,在中,,在中,.
故選:A.【點睛】本題考查異面直線所成的角,要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可,屬于中檔題.7、B【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運算法則,即可求解.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運算,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
求得拋物線的焦點坐標(biāo),可得雙曲線方程的漸近線方程為,由題意可得,又,即,解得,,即可得到所求雙曲線的方程.【詳解】解:拋物線的焦點為可得雙曲線即為的漸近線方程為由題意可得,即又,即解得,.即雙曲線的方程為.故選:C【點睛】本題主要考查了求雙曲線的方程,屬于中檔題.9、B【解析】
根據(jù)題意,有兩種分配方案,一是,二是,然后各自全排列,再求和.【詳解】當(dāng)按照進(jìn)行分配時,則有種不同的方案;當(dāng)按照進(jìn)行分配,則有種不同的方案.故共有36種不同的派遣方案,故選:B.【點睛】本題考查排列組合、數(shù)學(xué)文化,還考查數(shù)學(xué)建模能力以及分類討論思想,屬于中檔題.10、A【解析】
利用的坐標(biāo)為,設(shè)直線的方程為,然后聯(lián)立方程得,最后利用韋達(dá)定理求解即可【詳解】據(jù)題意,得點的坐標(biāo)為.設(shè)直線的方程為,點,的坐標(biāo)分別為,.討論:當(dāng)時,;當(dāng)時,據(jù),得,所以,所以.【點睛】本題考查直線與拋物線的相交問題,解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程,屬于基礎(chǔ)題11、C【解析】
設(shè)直線l的方程為x=y(tǒng),與拋物線聯(lián)立利用韋達(dá)定理可得p.【詳解】由已知得F(,0),設(shè)直線l的方程為x=y(tǒng),并與y2=2px聯(lián)立得y2﹣py﹣p2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點C(x0,y0),∴y1+y2=p,又線段AB的中點M的縱坐標(biāo)為1,則y0(y1+y2)=,所以p=2,故選C.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的相交弦問題,利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵,屬中檔題.12、D【解析】
根據(jù)程序框圖判斷出的意義,由此求得的值,進(jìn)而求得的值.【詳解】由題意可得的取值為成績大于等于90的人數(shù),的取值為成績大于等于60且小于90的人數(shù),故,,所以.故選:D【點睛】本小題考查利用程序框圖計算統(tǒng)計量等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,邏輯推理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
直接利用復(fù)數(shù)的乘法運算化簡,從而得到復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)和的模.【詳解】,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為,且.故答案為:;.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)的計算題.14、(-4,2)【解析】試題分析:因為當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以考點:基本不等式求最值15、【解析】
,求得的通項,進(jìn)而求得,得通項公式,利用等比數(shù)列求和即可.【詳解】由題為等差數(shù)列,∴,∴,∴,∴,故答案為【點睛】本題考查求等差數(shù)列數(shù)列通項,等比數(shù)列求和,熟記等差等比性質(zhì),熟練運算是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.16、A或D【解析】
分別假設(shè)每一個人一半是對的,然后分別進(jìn)行驗證即可.【詳解】解:假設(shè)甲說:第1個盒子里面放的是是對的,則乙說:第3個盒子里面放的是是對的,丙說:第2個盒子里面放的是是對的,丁說:第4個盒子里面放的是是對的,由此可知第4個盒子里面放的是;假設(shè)甲說:第3個盒子里面放的是是對的,則丙說:第4個盒子里面放的是是對的,乙說:第2個盒子里面放的是是對的,丁說:第3個盒子里面放的是是對的,由此可知第4個盒子里面放的是.故第4個盒子里面放的電影票為或.故答案為:或【點睛】本題考查簡單的合情推理,考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結(jié)能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ),;(Ⅱ)1【解析】
(Ⅰ)易得為等比數(shù)列,再利用前項和與通項的關(guān)系求解的通項公式即可.(Ⅱ)由題可知要求的最小值,再分析的正負(fù)即可得隨的增大而增大再判定可知即可.【詳解】(Ⅰ)因為,故是以為首項,2為公比的等比數(shù)列,故.又當(dāng)時,,解得.當(dāng)時,…①…②①-②有,即.當(dāng)時也滿足.故為常數(shù)列,所以.即.故,(Ⅱ)因為對,恒成立.故只需求的最小值即可.設(shè),則,又,又當(dāng)時,時.當(dāng)時,因為.故.綜上可知.故隨著的增大而增大,故,故【點睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解通項公式的方法,同時也考查了根據(jù)數(shù)列的增減性判斷最值的問題,需要根據(jù)題意求解的通項,并根據(jù)二項式定理分析其正負(fù),從而得到最小項.屬于難題.18、(1)證明見解析(0,2);(2)存在,理由見解析【解析】
(1)設(shè)直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程,利用OA⊥OB,求出b,即可知直線過定點(2)由斜率公式分別求出,,聯(lián)立直線與拋物線,橢圓,再由根與系數(shù)的關(guān)系得,,,代入,,化簡即可求解.【詳解】(1)證明:由題知,直線l的斜率存在且不過原點,故設(shè)由可得,.,,故所以直線l的方程為故直線l恒過定點.(2)由(1)知設(shè)由可得,,即存在常數(shù)滿足題意.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系,直線過定點問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.19、證明見解析【解析】
利用比較法進(jìn)行證明:把代數(shù)式展開、作差、化簡可得,,可證得成立,同理可證明,由此不等式得證.【詳解】證明:因為,,所以,∴成立,又都是正數(shù),∴,①同理,∴.【點睛】本題考查利用比較法證明不等式;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算求解能力;把差變形為因式乘積的形式是證明本題的關(guān)鍵;屬于中檔題。20、(1)①函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點;②證明見解析;(2)且;【解析】
(1)①令,結(jié)合函數(shù)零點的判定定理判斷即可;②設(shè)切點橫坐標(biāo)為,求出切線方程,得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;(2)求出的解析式,通過討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,確定的范圍即可.【詳解】解:(1)①當(dāng)時,函數(shù),令,,則,,故,又函數(shù)在區(qū)間上的圖象是不間斷曲線,故函數(shù)在區(qū)間上有零點,故函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點;②證明:假設(shè)存在,使得直線是曲線的切線,切點橫坐標(biāo)為,且,則切線在點切線方程為,即,從而,且,消去,得,故滿足等式,令,所以,故函數(shù)在和上單調(diào)遞增,又函數(shù)在時,故方程有唯一解,又,故不存在,即證;(2)由得,,,令,則,,當(dāng)時,遞減,故當(dāng)時,,遞增,當(dāng)時,,遞減,故在處取得極大值,不合題意;時,則在遞減,在,遞增,①當(dāng)時,,故在遞減,可得當(dāng)時,,當(dāng)時,,,易證,令,,令,故,則,故在遞增,則,即時,,故在,內(nèi)存在,使得,故在,上遞減,在,遞增,故在處取得極小值.②由(1)知,,故在遞減,在遞增,故時,,遞增,不合題意;③當(dāng)時,,當(dāng),時,,遞減,當(dāng)時,,遞增,故在處取極小值,符合題意,綜上,實數(shù)的范圍是且.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.21、(1);(2)【解析】
(1),對函數(shù)求導(dǎo),分別求出和,即可求出在點處的切線方程;(2)對求導(dǎo),分、和三種情況討論的單調(diào)性,再結(jié)合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】(1)因為,所以,所以,則,故曲線在點處的切線方程為.(2)因為,所以,①當(dāng)時,在上恒成立,則在上單調(diào)遞增,從而成立,故符合題意;②當(dāng)時,令,解得,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意;③當(dāng)時,在上恒成立,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.【點睛】本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了不
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