2023高一數(shù)學(xué)暑假精講精練3.2.1第1課時函數(shù)的單調(diào)性新人教A版

3．2.1單調(diào)性與最大(小)值第1課時函數(shù)的單調(diào)性知識點一增函數(shù)與減函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I：(1)如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們稱它是增函數(shù)．(2)如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們稱它是減函數(shù)．知識點二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．特別提醒：(1)函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個區(qū)間上的性質(zhì)，單獨一點不存在單調(diào)性問題，所以單調(diào)區(qū)間的端點若屬于定義域，則該點處區(qū)間可開可閉，若區(qū)間端點不屬于定義域則只能開．(2)單調(diào)區(qū)間D?定義域I.(3)遵循最簡原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大．題型一、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性1．根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.【詳解】證明：，且，則====，，則，，，，即，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.2．判斷并證明在的單調(diào)性.【詳解】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義：任取，所以因為，所以，所以所以原函數(shù)單調(diào)遞增。3．已知函數(shù)(為常數(shù)且)，試判斷函數(shù)在(－1，1)上的單調(diào)性．【詳解】任取x1、x2，使得－1<x1<x2<1，則Δx＝x2－x1>0.Δy＝f(x2)－f(x1)＝，∵－1<x1<x2<1，∴x1x2＋1>0，－1<0，－1<0，∴<0，∴當(dāng)a>0時，f(x2)－f(x1)<0，故此時函數(shù)f(x)在(－1，1)上是減函數(shù)，當(dāng)a<0時，f(x2)－f(x1)>0，故此時f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)．綜上所述，當(dāng)a>0時，f(x)在(－1，1)上為減函數(shù)，當(dāng)a<0時，f(x)在(－1，1)上為增函數(shù)．題型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1．定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題圖知：在上的單調(diào)遞減，在上的單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為定義域為，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和；故選：A3．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A．（–∞，2]B．[2，+∞）C．[0，2]D．[0，+∞）【答案】B【詳解】∵，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（–∞，2]，增區(qū)間為[2，+∞），∴的單調(diào)遞減區(qū)間是[2，+∞），故選：B．4．函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)___________（增/減）區(qū)間是___________.【答案】

增

和【詳解】函數(shù)式可化為定義域為.①、在上任取，則，，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②、在上任取，則，，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；綜上所述：函數(shù)在和上是增函數(shù).故答案為：增；和.5．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是______．【答案】，【詳解】去絕對值，得函數(shù)當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為綜上，函數(shù)

的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：，6．已知函數(shù)(1)把寫成分段函數(shù)；并在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)大致圖像；(2)寫出函數(shù)的遞減區(qū)間．【詳解】(1)，函數(shù)圖像如下圖所示：(2)由（1）中函數(shù)的圖像可知：函數(shù)的遞減區(qū)間為：.題型三、單調(diào)性的應(yīng)用命題點1已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)1．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】函數(shù)的對稱軸為，開口向上，依題意可得，解得，即；故選：D2．若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【詳解】時，滿足題意；時，，解得，綜上，故答案為：．命題點2與分段函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題1．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：B.2．已知函數(shù)滿足且，有，則實數(shù)a的取值范圍是__________．（用集合或區(qū)間表示）【答案】【詳解】因為對，且都有成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以，解得.故答案為：.3．設(shè)函數(shù)則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，，則，即，的函數(shù)圖象如下所示：由函數(shù)圖象可知當(dāng)時且在上單調(diào)遞減，所以等價于，即，解得，即；故選：A4．已知函數(shù)那么“a=0”是“函數(shù)是增函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當(dāng)時，，函數(shù)是增函數(shù)，故充分；當(dāng)函數(shù)是增函數(shù)時，則，故不必要；故選：A命題點3根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式1．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在上單調(diào)遞增，，，解得：，實數(shù)的取值范圍為.故選：C.2．已知在定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）【答案】A【詳解】因為在定義域上是減函數(shù)，所以由，故選：A3．已知，若，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為的定義域為,關(guān)于原點對稱，且，所以是偶函數(shù)，故由可得，當(dāng)時，是增函數(shù)，所以，解得，故選：B1．已知函數(shù)(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義法證明你的結(jié)論；(2)若，求函數(shù)的最大值和最小值.【詳解】(1)任取，，且則-因為，所以，所以，即，所以在區(qū)間上是減函數(shù)．(2)因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，.2．已知函數(shù)．(1)試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【詳解】(1)函數(shù)在上的為增函數(shù)，理由如下：任取，且，有∵，∴∴即∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增(2)由（1）可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，又∵時，，∴∴∴函數(shù)的值域為.3．下列函數(shù)在R上為增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項A錯誤；在R上為增函數(shù)，選項B正確；在上單調(diào)遞減，故選項C錯誤；在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，故選項D錯誤.故選：B.4．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時，，開口向下，對稱軸為，故其遞增區(qū)間是；當(dāng)時，，開口向上，對稱軸為，在時，單調(diào)遞減，綜上：的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：A.5．函數(shù)的減區(qū)間是____________．【答案】（或，兩個任寫一個都對）【詳解】因為函數(shù)的開口向上，對稱軸為，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)的減區(qū)間是（或）.故答案為：（或）.6．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．【答案】(－∞，1)，(1，＋∞)【詳解】函數(shù)的定義域為(－∞，1)∪(1，＋∞)，設(shè)x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝－＝.因為x1<x2<1，

所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，同理函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．綜上，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1)，(1，＋∞)．故答案為：(－∞，1)，(1，＋∞)7．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______．【答案】【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象知：其單調(diào)遞增區(qū)間是，故答案為：8．已知在為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故要想在為單調(diào)函數(shù)，需滿足，故選：D9．已知二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題知，當(dāng)或，即或時，滿足題意.故選：A10．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【詳解】當(dāng)時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，即在上遞增，則，當(dāng)時，函數(shù)是二次函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，由二次函數(shù)性質(zhì)知，，則有，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：11．若函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，解得．故選：B12．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，因此，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C13．已知函數(shù)對于且，都有，則的取值范圍為______．【答案】【詳解】由題意可知，在上為單調(diào)增函數(shù)，要使在上單調(diào)遞增，則，即，要使在上單調(diào)遞增，則，同時，解得：，綜上可知：.故答案為：14．函數(shù)y＝f（x）是定義在[－2，2]上的單調(diào)減函數(shù)，且f（a＋1）<f（2a），則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【詳解】依題意.所以的取值范圍是.故答案為：15．已知函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】畫出的圖象如圖所示，要使不等式成立，必有或，由可得；由可得，綜上可得.故選：C.1．下列函數(shù)中，在上為減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】A.由一次函數(shù)的性質(zhì)知：在上為增函數(shù)，故錯誤；B.由二次函數(shù)的性質(zhì)知：在的圖像開口向下，對稱軸為，所以函數(shù)在遞增，在上遞減，故錯誤；C.由反比例函數(shù)的性質(zhì)知：在上遞增，在遞增，則在上為增函數(shù)，故錯誤；D.由知：函數(shù)在上為減函數(shù)，故正確；故選：D.2．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞減，在上遞減，且，解得，故選：.3．若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為分段函數(shù)在上的單調(diào)函數(shù)，由于開口向上，故在上單調(diào)遞增，故分段函數(shù)在在上的單調(diào)遞增，所以要滿足：，解得：故選：B4．已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因函數(shù)是R上的增函數(shù)，則，解得，所以a的取值范圍是：.故選：B5．若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)的定義域是，而函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，因函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則有，且，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：B6．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】f（x）＝＝1+，若f（x）在（﹣2，+∞）上單調(diào)遞增，則，故k≤﹣2，故選：C．7．已知函數(shù)對，都有，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】因為對，都有，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以，解得，即故選：A.8．“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】的圖象如圖所示，要想函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，必須滿足，因為是的子集，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A9．已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時，對稱軸為，若函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得，所以的取值范圍是，故選：C.10．已知函數(shù)，若對上的任意實數(shù)，恒有成立，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為對任意，，都有，則函數(shù)為減函數(shù)，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.11．(多選)使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的實數(shù)a可能的取值是（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】BCD【詳解】因為，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得；故選：BCD12．已知,若則_____；若f（x）是定義在R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是________．【答案】

【詳解】（1）,所以.（2）由題意知，分段函數(shù)要是減函數(shù)，必須每一段都是減函數(shù)且左邊一段的最小值大于等于右邊一段的最大值.所以，解得，所以.13．已知定義在[1,4]上的函數(shù)是減函數(shù)，則滿足不等式的實數(shù)的取值范圍為____.【答案】[－1,0]【詳解】由題意，可得:.∵在定義域[1,4]上單調(diào)遞減，∴，解得－1≤a≤0，∴實數(shù)a的取值范圍為[－1,0].14．已知函數(shù)，則不等式的x的解集是________．【答案】【詳解】畫出函數(shù)的圖象如圖所示：所以函數(shù)在上為增函數(shù)，由得，即，解得.故答案為：.15．若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【詳解】函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知，若在為增函數(shù)，，，故答案為：．16．已知函數(shù)f(x)＝，對任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，則實數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】【詳解】不妨設(shè)，所以由可得：，所以函數(shù)在上遞減，故，解得：．故答案為：．17．若函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【詳解】函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，.故答案為：.18．“”是“函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)”的______條件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）【答案】充分非必要【詳解】的圖象如圖所示，要想函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，必須滿足，因為是的真子集，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件.故答案為：充分非必要19．已知二次函數(shù)，若任意且都有，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】不妨令，因為，所以，即，令，則，因為，所以在上單調(diào)增，，則，解得：，綜上所述：實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.20．已知f(x)＝，若f(x)是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的范圍是________．【答案】【詳解】由于在上遞增，所以，解得.故答案為：21．函數(shù)在上遞增，則實數(shù)a的取值范圍___________.【答案】【詳解】當(dāng)時，，在上遞增，成立；當(dāng)時，在上遞增，成立；當(dāng)時，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)得，在上遞增，所以，解得，綜上：，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：22．已知在上為增函數(shù)，則的取值范圍______.【答案】【詳解】，，令，且，在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，，或，的取值范圍或.故答案為：23．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【詳解】由題意知，第一步函數(shù)單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)同增異減可知，第二步考慮函數(shù)定義域，在恒成立，得到故答案為：.24．若是上的嚴(yán)格增函數(shù)，則實數(shù)a、b的取值范圍分別是_________________．【答案】，【詳解】，在上為增函數(shù)，，故答案為：，25．已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)．則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【詳解】不妨令，其圖像如下：由圖可知，在和上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，則，又因為是定義在上的增函數(shù)，所以，解得，從而實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.26．已知．(1)證明：在（2，+∞）單調(diào)遞增；(2)解不等式：．【詳解】(1)?x1，x2∈[2，+∞)，且x1＜x2，則，∵x1，x2∈[2，+∞)，則x1x24＞0，x1x2＞0，且x1﹣x2＜0，∴0，即，∴在[2，+∞)單調(diào)遞增．(2)由，即∈[2，+∞)，∵在[2，+∞)單調(diào)遞增，要使，∴，即，解得，∴不等式的解集為．27．已知，試判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并加以證明．【詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明：設(shè)任意的、且，則，因為、且，所以、、，，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.28．設(shè)函數(shù)，用單調(diào)性定義證明在上是減函數(shù).【詳解】設(shè)任意，且，則，因為且，所以函數(shù)在上是減函數(shù).29．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并予以證明；(2)求函數(shù)的最值．【詳解】(1)證明:函數(shù)的定義域為，,且,因為，所以，當(dāng)時,,所以，故所以函數(shù)在上為增函數(shù)當(dāng)時，，所以故所以函數(shù)在上為減函數(shù)同理可得函數(shù)在上為減函數(shù).綜上所述，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為和.(2)由題意得，.當(dāng)時,，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，所