2024屆新教材一輪復(fù)習(xí)人教A版 等差與等比數(shù)列的綜合問題 課件（41張）

內(nèi)容索引核心考點·精準(zhǔn)研析核心素養(yǎng)測評考點一基本量的運算

【題組練透】1.等差數(shù)列{an}的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}前6項的和為 (

)

A.-24 B.-3 C.3 D.82.已知{an}是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項和是Sn,若a3,a4,a8成等比數(shù)列,則 (

)A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>03.(2023·江蘇高考)已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列,Sn是其前n項和.若a2a5+a8=0,S9=27,則S8的值是________.

4.設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a2,a5,a11成等比數(shù)列,且a11=2(Sm-Sn)(m>n>0,m,n∈N*),則m+n=________.

【解析】1.選A.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a2,a3,a6成等比數(shù)列可得

=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),整理可得d2+2d=0,又公差不為0,則d=-2,故{an}前6項的和為S6=6a1+2.選B.因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a3,a4,a8成等比數(shù)列,所以解得a1=-d,所以S4=所以a1d=-d2<0,dS4=-d2<0.3.設(shè)等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,由a2a5+a8=0,S9=27,得解得a1=-5,d=2,所以S8==4(2a1+7d)=16.答案:164.設(shè)公差為d,則=a2a11?(a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d)(d≠0),整理得a1=2d,由a11=2(Sm-Sn),可得a1+10d=化簡得(m2-n2)+3(m-n)=12,即(m-n)(m+n+3)=12,因為m>n>0,m,n∈N*,所以m=5,n=4,所以m+n=9.答案:9【思維多變】已知等比數(shù)列{an}的各項都為正數(shù),且a3,a5,a4成等差數(shù)列,則的值是 (

)【解析】選A.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a3,a5,a4成等差數(shù)列,可得a5=a3+a4,即a3q2=a3+a3q,故q2-q-1=0,解得q=或q=(舍去),【規(guī)律方法】等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量的運算方法(1)等差、等比數(shù)列各有五個基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程(組)問題.(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用,而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量,用它們表示已知和未知是常用方法.考點二等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

【典例】設(shè)數(shù)列{an}(n=1,2,3,…)的前n項和Sn滿足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)求數(shù)列{an}的通項公式.(2)記數(shù)列的前n項和為Tn,求使得|Tn-1|<成立的n的最小值.【解題導(dǎo)思】【解析】(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2).所以公比q=2.從而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因為a1,a2+1,a3成等差數(shù)列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,數(shù)列{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,故an=2n.(2)由(1)得,所以Tn=由|Tn-1|<,得,即2n>1000.因為29=512<1000<1024=210,所以n≥10.于是,使|Tn-1|<成立的n的最小值為10.【規(guī)律方法】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的兩大解題策略(1)設(shè)置中間問題:求和需要先求出通項、求通項需要先求出首項和公差(公比)等,確定解題的順序.(2)注意解題細節(jié):在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等,這些細節(jié)對解題的影響也是巨大的.【誤區(qū)警示】在不能使用同一公式進行計算的情況下要注意分類討論,分類解決問題后還要注意結(jié)論的整合.【變式備選】已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),a1=1,前n項和為Sn,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,b1=1,且b2S2=6,b2+S3=8.(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式.(2)求【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,d>0,{bn}的公比為q,則an=1+(n-1)d,bn=qn-1.依題意有解得故an=n,bn=2n-1.(2)由(1)知Sn=1+2+…+n=n(n+1),所以所以【變式訓(xùn)練】已知公比不為1的等比數(shù)列{an}的首項a1=,前n項和為Sn,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差數(shù)列.(1)求等比數(shù)列{an}的通項公式.(2)對n∈N*,在an與an+1之間插入3n個數(shù),使這3n+2個數(shù)成等差數(shù)列,記插入的這3n個數(shù)的和為bn,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差數(shù)列,所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5,即2a6-3a5+a4=0,所以2q2-3q+1=0.因為q≠1,所以q=所以等比數(shù)列{an}的通項公式為an=(2)由題意得bn=考點三求數(shù)列的通項公式

命題精解讀考什么:數(shù)列的通項公式怎么考:(1)由an與Sn的關(guān)系求通項an(2)由遞推公式求通項an(3)構(gòu)造新數(shù)列求an新趨勢:以數(shù)列為載體,與函數(shù)或不等式等綜合考查學(xué)霸好方法1.求數(shù)列的通項公式an(1)形如an+1=an+f(n)的數(shù)列,常用累加法(2)形如an+1=anf(n)的數(shù)列,?？刹捎美鄢朔?3)形如an+1=ban+d(其中b,d為常數(shù),b≠0,1)的數(shù)列,常用構(gòu)造法2.交匯問題與函數(shù)或不等式等交匯時,經(jīng)常先構(gòu)造出新的等差或等比數(shù)列求解,然后再求an命題角度1由an與Sn的關(guān)系求通項an【典例】(2018·全國卷Ⅰ改編)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.若Sn=2an+1,則an=________.

【解析】因為Sn=2an+1,當(dāng)n≥2時,Sn-1=2an-1+1,所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1.當(dāng)n=1時,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.所以數(shù)列{an}是首項a1為-1,公比q為2的等比數(shù)列,所以an=-1×答案:-2n-1【解后反思】Sn與an關(guān)系問題的求解思路如何?提示:根據(jù)所求結(jié)果的不同要求,將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化.①利用an=Sn-Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn,Sn-1的關(guān)系式②利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an,an-1的關(guān)系式命題角度2由遞推公式求數(shù)列通項【典例】1.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=an+,則通項公式an=________.

【解析】原遞推公式可化為an+1=an+則a2=a1+,a3=a2+,a4=a3+,…,an-1=an-2+

,an=an-1+-,以上(n-1)個式子的等號兩端分別相加得,an=a1+1-,故an=4-.答案:4-

2.在數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),則數(shù)列{an}的通項公式為________.

【解析】因為an=an-1(n≥2),所以an-1=an-2,an-2=an-3,…,a2=a1.以上(n-1)個式子相乘得an=a1·

當(dāng)n=1時,a1=1,上式也成立.所以an=(n∈N*).答案:an=(n∈N*)【解后反思】(1)形如an+1=an+f(n)的數(shù)列,選擇何種方法求通項公式?提示:累加法(2)形如an+1=anf(n)的數(shù)列,選擇何種方法求通項公式?提示:累乘法【誤區(qū)警示】利用累乘法求通項公式時,易出現(xiàn)兩個方面的問題:一是在連乘的式子中只寫到,漏掉a1而導(dǎo)致錯誤;二是根據(jù)連乘求出an之后,不注意檢驗a1是否成立.命題角度3構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項an【典例】1.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+2,則數(shù)列{an}的通項公式為____________.

【解析】因為an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),所以=3,所以數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列,公比q=3,又a1+1=2,所以an+1=2·3n-1,所以an=2·3n-1-1(n∈N*).答案:an=2·3n-1-1(n∈N*)2.已知數(shù)列{an}滿足:an+2=3an+1-2an,a1=2,a2=4,n∈N*.求證:數(shù)列{an+1-an}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式.【解析】因為所以數(shù)列{an+1-an}是公比為2,首項為2的等比數(shù)列,所以an+1-an=2n,累加可知:an-a1=2+22+…+2n-1=2n-2(n≥2),an=2n(n≥2),當(dāng)n=1時,a1=2滿足上式,所以an=2n(n∈N*).【解后反思】(1)形如an+1=ban+d(其中b,d為常數(shù),b≠0,1)的數(shù)列,其基本思路是什么?提示:等號兩邊同時加上一個數(shù)使{an+λ}成等比數(shù)列.(2)形如an+1=(p,q,r是常數(shù))的數(shù)列,構(gòu)造新數(shù)列時是怎樣變形的?提示:求倒數(shù),再用構(gòu)造法.(3)形如an+2=pan+1+qan(p,q是常數(shù),且p+q=1)的數(shù)列,如何求通項?提示:等號兩邊同時加上an+1的倍數(shù)使{an+1+λan}成等比數(shù)列.【題組通關(guān)】【變式鞏固·練】1.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),則a6= (

)A.3×44 B.3×44+1C.45 D.45+1【解析】選A.a1=1,a2=3S1=3,a3=3S2=12=3×41,a4=3S3=48=3×42,a5=3S4=192=3×43,a6=3S5=768=3×44.【一題多解】選A.當(dāng)n≥1時,an+1=3Sn,則an+2=3Sn+1,所以an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即an+2=4an+1,所以該數(shù)列從第2項開始是以4為公比的等比數(shù)列,又a2=3S1=3a1=3,所以an=所以當(dāng)n=6時,a6=3×4