《測量（金字塔高度、河寬）問題》教學(xué)設(shè)計(黑龍江縣級優(yōu)課)-九年級數(shù)學(xué)教案

27.2.2相似三角形應(yīng)用舉例（一）黑龍江省寧安市蘭崗鎮(zhèn)學(xué)校吳鳳艷一、教學(xué)目標(biāo)進一步鞏固相似三角形的知識．能夠運用三角形相似的知識，解決不能直接測量物體的長度和高度（如測量金字塔高度問題、測量河寬問題、盲區(qū)問題）等的一些實際問題．通過把實際問題轉(zhuǎn)化成有關(guān)相似三角形的數(shù)學(xué)模型，進一步了解數(shù)學(xué)建模的思想，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力．二、教學(xué)重點、難點1．重點：運用三角形相似的知識計算不能直接測量物體的長度和高度．2．難點：靈活運用三角形相似的知識解決實際問題（如何把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題）．3．難點的突破方法（1）本節(jié)主要探索的是應(yīng)用相似三角形的判定、性質(zhì)等知識去解決某些簡單的實際問題（計算不能直接測量物體的長度和高度及盲區(qū)問題），學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了相似三角形的概念、判定方法及性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上通過本課的學(xué)習(xí)將對前面所學(xué)知識進行全面應(yīng)用．初三學(xué)生在思維上已具備了初步的應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，在心理特點上則更依賴于直觀形象的認識．（2）在實際生活中，面對不能直接測量出長度和寬度的物體及盲區(qū)問題，我們可以應(yīng)用相似三角形的知識來測量，只要將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立相似三角形模型，再利用線段成比例來求解．在教學(xué)中，要通過這些知識的教學(xué)，幫助學(xué)生從實際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、運用所學(xué)知識解決實際問題。另外，還可以根據(jù)學(xué)生實情，選擇一些實際問題，引導(dǎo)學(xué)生加以解決，提高他們應(yīng)用知識解決問題的能力．（3）課上可以通過著名的科學(xué)家名句和如何測量神秘的金字塔的高度來激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生積極參與探索，體驗成功的喜悅．（4）運用三角形相似的知識解決實際問題對于學(xué)生來說難度較大，可以適當(dāng)增加課時．三、例題的意圖相似三角形的應(yīng)用主要有如下兩個方面：（1）測高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；（2）測距(不能直接測量的兩點間的距離)．本節(jié)課通過教材P39例4——是測量金字塔高度問題；P40例5——是測量河寬問題；）的講解，使學(xué)生掌握測高和測距的方法．知道在實際測量物體的高度、寬度時，關(guān)鍵是要構(gòu)造和實物所在三角形相似的三角形，而且要能測量已知三角形的各條線段的長，運用相似三角形的性質(zhì)列出比例式求解．講課時，可以讓學(xué)生思考用不同的方法解這幾個實際問題，以提高從實際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、運用所學(xué)知識解決實際問題的能力．應(yīng)讓學(xué)生多見些不同類型的有關(guān)相似三角形的應(yīng)用問題，便于學(xué)生理解：世上許多實際問題都可以用數(shù)學(xué)問題來解決，而本節(jié)的應(yīng)用實質(zhì)是：運用相似三角形相似比的相關(guān)知識解決問題，并讓學(xué)生掌握運用這方面的知識解決在自己生活中的一些實際問題的計算方法．其中P39的例4出現(xiàn)了幾個概念，在講此例題時可以給學(xué)生介紹．（1）視點：觀察者眼睛的位置稱為視點；（2）視線：由視點出發(fā)的線稱為視線；（3）仰角：在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；一.創(chuàng)設(shè)情境活動1教師活動：提出問題：1、學(xué)校操場上的國旗旗桿的高度是多少？你有什么辦法測量？師生活動：學(xué)生小組討論；師生共同交流．2、世界現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔位于哪個國家，叫什么金字塔？胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇觀之一”．塔的４個斜面正對東南西北四個方向，塔基呈正方形，每邊長約230多米．據(jù)考證，為建成大金字塔，共動用了10萬人花了20年時間．原高146.59米，但由于經(jīng)過幾千年的風(fēng)吹雨打，頂端被風(fēng)化吹蝕，所以高度有所降低．在古希臘，有一位偉大的科學(xué)家叫泰勒斯．一天，希臘國王阿馬西斯對他說：“聽說你什么都知道，那就請你測量一下埃及金字塔的高度吧！”，這在當(dāng)時條件下是個大難題，因為是很難爬到塔頂?shù)模阒捞├账故窃鯓訙y量大金字塔的高度的嗎？二、例題講解活動2（教材P48頁例3——測量金字塔高度問題）教師提出問題：例3：據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾經(jīng)利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成的兩個相似三角形來測量金字塔的高度．如圖，如果木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO．（思考如何測出OA的長？）師生活動：學(xué)生小組討論；師生共同交流，畫出示意圖：通過觀察示意圖，使學(xué)生建立起相似圖形的幾何直覺，并能明確表述求OA的方法中蘊含的數(shù)學(xué)知識。分析：根據(jù)太陽光的光線是互相平行的特點，可知在同一時刻的陽光下，豎直的兩個物體的影子互相平行，從而構(gòu)造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)已知條件，求出金字塔的高度．解：略（見教材P48-49頁）活動3課堂練習(xí)（見教材P50頁）在某一時刻，有人測得一高為1.8米的竹竿的影長為3米，某一高樓的影長為90米，那么高樓的高度是多少米?（在同一時刻物體的高度與它的影長成正比例．）活動4（教材P49例4——測量河寬問題）教師提出問題：問題：估算河的寬度，你有什么好辦法嗎？例4如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)P，在近岸取點Q和S，使點P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞cT，確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R．如果測得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的寬度PQ．師生活動：學(xué)生先小組討論；教師在這一活動中重點關(guān)注學(xué)生們探究的主動性，特別應(yīng)關(guān)注那些平時學(xué)習(xí)有一定困難的學(xué)生，他們往往在解決實際問題時，顯示出創(chuàng)造的能力，這也是樹立這些學(xué)生自信心的一個契機，然后通過例4進一步完善學(xué)生們的想法，讓學(xué)生體會用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的成就感和快樂．．分析：設(shè)河寬PQ長為xm，由于此種測量方法構(gòu)造了三角形中的平行截線，故可得到相似三角形，因此有，即．再解x的方程可求出河寬．解：略（見教材P49）活動5課堂練習(xí)（見教材P50頁）（平行外截法）如圖，測得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河寬AB。活動61.小明在測量樓高時，先測出樓房落在地面上的影長BA為15米，如圖所示，然后在A處樹立一根高2米的標(biāo)桿，測得標(biāo)桿的影長AC為3米，則樓高為()A.10米B.12米C.15米D.22.5米2.如圖所示的是一束平行的光線從教室窗戶射入教室的平面示意圖，測得光線與地面所成的角∠AMC=30°，窗戶的高在教室地面上的影長MN=2米，窗戶底部到教室地面的距離BC=1米(點M，N，C在同一直線上)，則窗戶的高度AB為()A.米B.3米C.2米D.1.5米3.如圖所示，路燈距離地面8米，身高1.6米的小明站在距離燈的底部(點O)20米的A處，則小明的影子