北師大版數(shù)學(xué)七年級下冊期末復(fù)習(xí)考點串講+題型專訓(xùn)專題04 三角形（原卷版）

專題04三角形

一．三角形的有關(guān)概念及表示1．三角形的概念：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形，三角形用符號“SKIPIF1<0”表示，讀作“三角形”．2．三角形的基本要素：組成三角形的三條線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊的夾角叫做三角形的內(nèi)角．二．三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和：三角形三個內(nèi)角的和等于SKIPIF1<0．注意：①三角形的三個角中至少有兩個是銳角，三角形中最大的角不小于SKIPIF1<0．②直角三角形的兩個銳角互余．③已知任意兩角或它們的和，利用三角形的內(nèi)角和，可以計算另一個角的度數(shù)．三．三角形的分類1．SKIPIF1<02．SKIPIF1<0四．直角三角形的有關(guān)概念及性質(zhì)1．表示：通常我們用“SKIPIF1<0”表示“直角三角形SKIPIF1<0”．直角所對的邊叫做直角三角形的斜邊，夾直角的兩條邊叫做直角邊．2．性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余．用幾何語音表示：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．注意：直角三角形的斜邊大于任何一條直角邊，依據(jù)是“垂線段最短”．五．三角形的三邊關(guān)系1．三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．2．用幾何語音表示：如果SKIPIF1<0的三邊長分別為a，b，c，則①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．注意：①得出三角形兩邊之和大于第三邊的依據(jù)是：兩點之間，線段最短．②這里的“兩邊”泛指三角形的任意兩邊．③三角形的三邊關(guān)系是判斷三條線段能否組成三角形的依據(jù)，一般用“任意兩邊之和大于第三邊”來驗證，同時也可用于說明線段的不等關(guān)系和取值范圍．六．三角形的中線1．定義：在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線．三角形的三條中線交于一點，這點稱為三角形的重心．2．中線可以將一個三角形分成兩個面積相等的三角形．注意：①三角形的中線是一條線段，并且有一個端點是三角形的一個頂點，另一個端點在對邊上．②中線平分一條邊．③三角形有三條中線，無論三角形的形狀如何，三條中線的交點都在三角形的內(nèi)部．七．三角形的角平分線定義：在三角形中，一個內(nèi)角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做這個三角形的角平分線．三角形的三條角平分線交于一點．注意：①三角形的角平分線是一條線段，并且有一個端點是三角形的一個頂點，另一個端點在對邊上．它不同于角的平分線，角的平分線是一條射線．②三角形有三條角平分線，無論三角形的形狀如何，三條角平分線的交點都在三角形的內(nèi)部．八．三角形的高定義：從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）三角形的三條高所在的直線交于一點．注意：①銳角三角形的三條高線交于三角形內(nèi)部一點；直角三角形的三條高線交于直角頂點；鈍角三角形的三條高線交于三角形外部一點．②三角形的高是垂線段，高垂直于一條邊所在的直線．九．全等圖形的概念及性質(zhì)1．概念：能夠完全重合的兩個圖形稱為全等圖形．注意：①全等圖形與圖形的位置無關(guān)，唯一標準就是可以完全重合．②圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、翻折后與原圖形重合．2．性質(zhì)：全等圖形的形狀和大小都相同．推論：全等圖形的周長相等，全等圖形的面積相等．十．全等三角形的概念及表示方法1．概念：能夠完全重合的兩個三角形是全等三角形．2．表示方法：全等用符號“SKIPIF1<0”來表示．注意：在記兩個三角形全等時，對應(yīng)頂點的字母一定要寫在對應(yīng)位置上．十一．全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．推論：全等三角形的周長相等，全等三角形的面積相等．十二．探索三角形全等的條件1．邊邊邊：三邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊”或“SSS”．2．角邊角：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA”．3．角角邊：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”．4．邊角邊：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”．注意：應(yīng)用時，必須滿足相等的角是分別對應(yīng)相等兩邊的夾角，即“兩邊夾一角”，切不可出現(xiàn)“邊邊角”的錯誤．十三．三角形的穩(wěn)定性只要三角形三邊的長度確定了，這個三角形的形狀和大小就完全確定了，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．【專題過關(guān)】一．三角形的有關(guān)概念及分類（共3小題）1．觀察下列圖形，其中是三角形的是（）A．B．C．D．2．如圖所示的圖形中，三角形共有（）A．5個B．6個C．3個D．4個3．有下列說法：①等邊三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形和三邊都不相等的三角形；④三角形按角分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．其中正確的有（）A．1個B．2個C．3個D．4個

二．三角形內(nèi)角和的應(yīng)用（共2題）4．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是（）A．銳角三角形B．鈍角三角形C．等腰三角形D．直角三角形5．SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是三角形．三．三角形的三邊關(guān)系（共3題）6．下列長度的三條線段能首尾相接構(gòu)成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cmB．3cm，4cm，5cm C．4cm，5cm，10cmD．6cm，9cm，2cm7．已知三角形的三邊長分別為3，5，x，則x不可能是（）A．3B．5C．7D．88．若三角形兩條邊的長分別是10，15，第三條邊的長是整數(shù)，則第三條邊的長的最大值是．四．三角形三線相關(guān)概念及運用（共7題）9．下列各圖中，作SKIPIF1<0邊SKIPIF1<0邊上的高，正確的是（）A．B．C．D．10．下列說法中，①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條角平分線、三條中線、三條高都在三角形內(nèi)部；③直角三角形只有一條高；④三角形的三條角平分線、三條中線、三條高分別交于一點．正確的是（）A．①B．①④C．②③D．②④11．如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中線，角平分線，高，下列各式中錯誤的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<012．如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中線，已知SKIPIF1<0的周長為30cm，SKIPIF1<0比SKIPIF1<0長4cm，則SKIPIF1<0的周長為．13．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，G為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0的延長線交SKIPIF1<0于點E，F(xiàn)為SKIPIF1<0上的一點，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，交SKIPIF1<0于點H，則下面結(jié)論：①SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線；②SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的SKIPIF1<0邊上的中線；③SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的SKIPIF1<0邊上的高；④SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線和高．其中正確的有．（填序號）14．已知：如圖所示，在SKIPIF1<0中，點D，E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0，則陰影部分的面積為cm2．15．已知：如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的高和角平分線，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分線，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于O，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的度數(shù)．

五．全等圖形的概念（共1題）16．下列選項中的圖形與左圖全等的是（）A．B．C．D．六．全等三角形的性質(zhì)運用（共2小題）17．如圖，SKIPIF1<0沿直角邊SKIPIF1<0所在直線向右平移到SKIPIF1<0，則下列結(jié)論中，錯誤的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<018．如圖，SKIPIF1<0，則此圖中相等的線段有（）A．1對B．2對C．3對D．4對七．全等三角形的性質(zhì)與判定的綜合運用（共4小題）19．如圖，點B、F、C，E在一條直線上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．20．如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分別為E，F(xiàn)，且SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．21．如圖，點B，F(xiàn)，E，C在同一條直線上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．22．如圖，已知SKIPIF1<0，點B，C分別在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）求證：SKIPIF1<0．八．三角形的穩(wěn)定性的運用（共2小題）23．下列圖形具有穩(wěn)定性的是（填序號）．24．如圖，工人師傅在安裝木制門框時，為防止變形常常釘上兩根木條，這樣做的依據(jù)是．九．全等三角形的構(gòu)造方法（共7小題）25．如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．26．如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中點，求證：SKIPIF1<0．27．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是邊SKIPIF1<0上一點，點E在SKIPIF1<0的右側(cè)，線段SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）如圖1，若SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0的度數(shù)為；SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2，若SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．試判斷SKIPIF1<0的形狀，并說明理由．

28．（1）如圖①，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別是邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0．請直接寫出線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別是邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別是邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線上的點，且SKIPIF1<0．請直接寫出線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系：．

29．如圖1，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分線，若SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？（1）通過觀察、實驗提出猜想：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系，用等式表示為：．（2）小明把這個猜想與同學(xué)們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：想法1：如圖2，延長SKIPIF1<0到F，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．通過三角形全等、三角形的性質(zhì)等知識進行推理，就可以得到SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系．想法2：在SKIPIF1<0上取一點E，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，通過三角形全等、三角形的性質(zhì)等知識進行推理，就可以得到SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系．請你參考上面的想法，幫助小明證明猜想中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系（一種方法即可）．

30．（1）如圖1，SKIPIF1<0，射線SKIPIF1<0在這個角的內(nèi)部，點B、C分別在SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點F，SKIPIF1<0于點D．求證：SKIPIF1<0；（2）如圖2，點B、C分別在SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，點E、F都在SKIPIF1<0內(nèi)部的射線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的外角．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0；（3）如圖3，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點D在邊SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，點E、F在線段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的面積為15，求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積之和．31．（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線l經(jīng)過點A，SKIPIF1<0直線l，SKIPIF1<0直線l，垂足分別為點D、E．證明：SKIPIF1<0．（2）組員小劉想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D、A、E三點都在直線l上，并且有SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論SKIPIF1<0是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0向外作正方形SKIPIF1<0和正方形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的高，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點I，求證：I是SKIPIF1<0的中點．

十．三角形全等的實際應(yīng)