2023-2024學(xué)年江西八年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析）

2023-2024學(xué)年江西八年級第一學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題（共6小題，每題3分，共18分）1．觀察下列圖形，其中是三角形的是（）A． B． C． D．2．已知△ABC有一個內(nèi)角為100°，則△ABC一定是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形或鈍角三角形3．下列幾種形狀的瓷磚中，只用一種不能夠鋪滿地面的是（）A．正六邊形 B．正五邊形 C．正方形 D．正三角形4．已知三條線段的長分別是3，8，a若它們能構(gòu)成三角形，則整數(shù)a的最大值是（）A．11 B．10 C．9 D．75．如圖，B島在A島南偏西55°方向，B島在C島北偏西60°方向，C兩島的視角∠ABC度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°6．如圖，∠ABC＝∠ACB，BD，AD分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC，外角∠ACF；②∠ACB＝2∠ADB；③∠BDC＝；④∠ADB＝45°﹣∠CDB（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題（共6小題，每題3分，共18分）7．正五邊形的外角和等于（度）．8．在一個直角三角形中，一個銳角等于54°，則另一個銳角的度數(shù)是．9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．10．如圖所示，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，∠3＝∠4，∠BAC＝63°．11．如圖，D在BC邊上，△ABC≌△ADE，則∠ADB的度數(shù)為．12．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），當(dāng)∠ACE＜180°，且點(diǎn)E在直線AC的上方時，那么此時∠ACE＝．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠CAD＝70°，求∠ADC的度數(shù)．14．如圖所示方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）畫出△ABC中邊BC上的高AD；（2）畫出△ABC中邊AB上的中線CE；（3）直接寫出△ACE的面積為．15．已知一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，求這個多邊形的邊數(shù)和對角線的條數(shù)．16．已知a、b、c是一個三角形的三邊長．（1）填空：a+b﹣c0，a﹣b+c0，a﹣b﹣c0．（填“＞”“＜”或“＝”）（2）化簡：|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|．17．如圖，已知B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AC＝DF，BE＝CF．AC與DE交于點(diǎn)G，（1）求證△ABC≌△DEF；（2）若∠B＝50°，∠ACB＝60°，求∠EGC的度數(shù)．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．如圖，在三角形ABC中，AB＝10cm，D是BC的中點(diǎn)，E點(diǎn)在邊AB上．（1）若三角形BDE的周長與四邊形ACDE的周長相等，求線段AE的長．（2）若三角形ABC的周長被DE分成的兩部分的差是2cm，求線段AE的長．19．請認(rèn)真思考，完成下面的探究過程．已知在△ABC中，AE是∠BAC的角平分線，∠B＝60°【解決問題】如圖1，若AD⊥BC于點(diǎn)D，求∠DAE的度數(shù)；【變式探究】如圖2，若F為AE上一個動點(diǎn)（F不與E重合），且FD⊥BC于點(diǎn)D時°；【拓展延伸】如圖2，△ABC中，∠B＝x°，（且∠B＞∠C），若F為線段AE上一個動點(diǎn)（F不與E重合），且FD⊥BC于點(diǎn)D時，y表示∠DFE的度數(shù)，并說明理由．20．【概念認(rèn)識】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，BE叫做∠ABC的“三分線”，其中，BE是“鄰BC三分線”．（1）【問題解決】如圖②，在△ABC中，∠A＝70°，若∠C的三分線CD交AB于點(diǎn)D，則∠BDC＝．（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，求∠A的度數(shù)．（3）【延伸推廣】在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點(diǎn)P．若∠A＝m，并且m＞n，直接寫出∠BPC的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）五、解答題（本大題共10分）21．北京奧運(yùn)會，2008年8月8日晚上8時整在中國首都北京開幕，這或許能體現(xiàn)出中國人如何癡迷于幸運(yùn)數(shù)字“8”，歲經(jīng)八秩，桃李芬芳如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，顯然有∠A+∠B＝∠C+∠D；新定義：在圖1中，我們把AB，CD，AD叫做“8字形”的邊，∠A，∠C，∠D叫做“8字形”的內(nèi)角，圖2中，∠BAD，圖3中，∠BCE（1）在圖2中，∠BAD的平分線和∠BCD的平分線相交于點(diǎn)P，若∠B＝36°，求∠P的度數(shù)．（2）在圖3中，∠BCE的平分線和∠FAD的平分線所在直線相交于點(diǎn)P，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系（3）在圖4中，∠BCE的平分線和∠FAD的平分線相交于點(diǎn)P，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系（4）在圖5中，∠BCE的平分線和∠BAD的平分線相交于點(diǎn)P，用∠B、∠D來表示出∠P，無需說明理由．

參考答案一、單選題（共6小題，每題3分，共18分）1．觀察下列圖形，其中是三角形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】在同一平面內(nèi)，由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．根據(jù)三角形的定義判斷即可．解：A選項(xiàng)中2條線段沒有相接，所以不是三角形；B滿足三角形的定義，故B是三角形；C有2條線段相交，沒有首尾順次相接，故C不是三角形；D有4條線段的觀點(diǎn)連接了另一條線段上的一點(diǎn)，所以不是三角形．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查三角形，理解三角形的定義是解題的關(guān)鍵．2．已知△ABC有一個內(nèi)角為100°，則△ABC一定是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形或鈍角三角形【答案】B【分析】根據(jù)三角形的分類即可得到結(jié)論．解：∵△ABC有一個內(nèi)角為100°，∴△ABC一定是鈍角三角形．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和，三角形的分類，熟記三角形的分類是解題的關(guān)鍵．3．下列幾種形狀的瓷磚中，只用一種不能夠鋪滿地面的是（）A．正六邊形 B．正五邊形 C．正方形 D．正三角形【答案】B【分析】根據(jù)平面圖形鑲嵌的條件：判斷一種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點(diǎn)處的幾個角能否構(gòu)成周角．若能構(gòu)成360°，則說明能夠進(jìn)行平面鑲嵌；反之則不能，即可得出答案．解：A、正六邊形的每個內(nèi)角是120°，能密鋪；B、正五邊形每個內(nèi)角是180°﹣360°÷5＝108°，不能密鋪；C、正方形的每個內(nèi)角是90°；D、正三角形的每個內(nèi)角是60°，能密鋪．故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了平面鑲嵌，用到的知識點(diǎn)是只用一種正多邊形能夠鋪滿地面的是正三角形或正四邊形或正六邊形．4．已知三條線段的長分別是3，8，a若它們能構(gòu)成三角形，則整數(shù)a的最大值是（）A．11 B．10 C．9 D．7【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍，進(jìn)而解答即可．解：∵三條線段的長分別是3，8，a，它們能構(gòu)成三角形，∴7﹣3＜a＜8+2，∴5＜a＜11，∴整數(shù)m的最大值是10．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．5．如圖，B島在A島南偏西55°方向，B島在C島北偏西60°方向，C兩島的視角∠ABC度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°【答案】D【分析】根據(jù)方向角的定義和三角形的內(nèi)角和求出答案即可．解：根據(jù)方向角的意義可知，∠BAS＝55°，∠NCB＝60°，∴∠BAC＝∠BAS+∠SAC＝55°+30°＝85°，∠ACB＝∠BCN﹣∠ACN＝60°﹣30°＝30°，在△ABC中，∠ABC＝180°﹣85°﹣30°＝65°，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查方向角，理解方向角的意義，掌握三角形的內(nèi)角和為180°是正確計算的前提．6．如圖，∠ABC＝∠ACB，BD，AD分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC，外角∠ACF；②∠ACB＝2∠ADB；③∠BDC＝；④∠ADB＝45°﹣∠CDB（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義得出，∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，根據(jù)已知結(jié)論逐步推理，即可判斷各項(xiàng)．解：①∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∴∠EAC＝2∠ABC，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正確；②∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝4∠DBC＝2∠ADB，故②正確；③∵∠DCF+∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠DCF，∴2∠DCF+∠ACB＝180°，∵∠BDC+∠DBC＝∠DCF，∴3∠BDC+2∠DBC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+2∠BDC+∠ACB＝180°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC＝7∠BDC，∴，故③正確；④∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∵CD平分∠ACF，∴∠ACF＝3∠DCF，∵∠ADB+∠CDB＝∠DCF，2∠DCF+∠ACB＝180°，∴2∠DCF+∠ABC＝4∠DCF+2∠ABD＝180°，∴∠DCF+∠ABD＝90°，∴∠ADB+∠CDB+∠ADB＝90°，∴，故④正確；⑤由④得，∠DCF+∠ABD＝90°，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∴∠ADC+∠ABD＝90°，故⑤正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，有一定難度．二、填空題（共6小題，每題3分，共18分）7．正五邊形的外角和等于360（度）．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°，即可求解．解：任意多邊形的外角和都是360°，故正五邊形的外角和為360°．故答案為：360．【點(diǎn)評】本題主要考查多邊形的外角和定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握任意多邊形的外角和都是360°．8．在一個直角三角形中，一個銳角等于54°，則另一個銳角的度數(shù)是36°．【答案】36°．【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求解．解：另一個銳角＝90°﹣54°＝36°；故答案為：36°．【點(diǎn)評】本題考查直角三角形兩銳角互余，掌握直角三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．【答案】．【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，因?yàn)锳D是△ABC的中線，得出S△ABD＝S△ACD，即AB?DE＝AC?CD，即可得出最后結(jié)果．解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB，∵AD是△ABC的中線，∴S△ABD＝S△ACD，∵，，∴AB?DE＝AC?CD，∴，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形中線的性質(zhì)、三角形面積計算等知識，熟練掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖所示，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，∠3＝∠4，∠BAC＝63°24°．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】通過∠3與∠2的關(guān)系以及內(nèi)角和定理解出∠2，即∠1的大小，進(jìn)而可求∠DAC．解：由題意可知，∠3＝∠4∵∠BAC+∠4+∠4＝180°，∵∠1＝∠4，∠3＝∠4，∴4∠2＝∠4，∵∠6+∠4+∠BAC＝180°，∴∠2+2∠2+63°＝180°，∴3∠7+63°＝180°∴∠1＝∠2＝39°，∠DAC＝∠BAC﹣∠5＝63°﹣39°＝24°．【點(diǎn)評】熟練掌握三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)．11．如圖，D在BC邊上，△ABC≌△ADE，則∠ADB的度數(shù)為70°．【答案】70°．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠DAE，即可求出∠BAD＝∠EAC＝40°，再由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC，∵∠EAC＝40°，∴∠BAD＝40°，∴∠ADB＝＝70°．故答案為：70°．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，能根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠DAE是解此題的關(guān)鍵．12．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），當(dāng)∠ACE＜180°，且點(diǎn)E在直線AC的上方時，那么此時∠ACE＝120或165或30．【答案】120或165或30．【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．解：①當(dāng)AD∥CE時，∵AD∥CE，∴∠DCE＝∠D＝30°，∴∠ACE＝90°+30°＝120°；②當(dāng)BE∥AD時，過點(diǎn)C作CF∥AD，∵BE∥AD，CF∥AD，∴BE∥AD∥CF，∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，∴∠DCE＝30°+45°＝75°∴∠ACE＝90°+75°＝165°．③如圖中，當(dāng)AD∥BC時．∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，∴∠ACE＝∠DCB＝30°．故答案為：120或165或30．【點(diǎn)評】本題考查的是平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠CAD＝70°，求∠ADC的度數(shù)．【答案】40°．【分析】求出∠BAD＝20°，再利用三角形的外角的性質(zhì)求解．解：∵∠BAC＝90°，∠CAD＝70°，∴∠BAD＝90°﹣70°＝20°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝20°+20°＝40°．【點(diǎn)評】本題考查直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．14．如圖所示方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）畫出△ABC中邊BC上的高AD；（2）畫出△ABC中邊AB上的中線CE；（3）直接寫出△ACE的面積為4．【答案】（1）（2）作圖見解析部分；（3）4．【分析】（1）根據(jù)三角形的高的定義畫出圖形即可；（2）根據(jù)三角形的中線的定義畫出圖形即可；（3）利用三角形面積公式求解．解：（1）如圖，線段AD即為所求；（2）如圖，線段CE即為所求；（3）S△ACE＝×6×4＝4．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，三角形的高，中線，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解三角形的高，中線的定義，屬于中考?？碱}型．15．已知一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，求這個多邊形的邊數(shù)和對角線的條數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】一個多邊形的內(nèi)角和等于外角和的3倍少180°，而任何多邊形的外角和是360°，因而多邊形的內(nèi)角和等于900°．n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)是n，就得到方程，從而求出邊數(shù)，即可求出答案．解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則內(nèi)角和為180°（n﹣2）180（n﹣2）＝360×5﹣180，解得n＝7，對角線條數(shù)：＝14．答：這個多邊形的邊數(shù)是5，對角線有14條．【點(diǎn)評】本題主要考查多邊形內(nèi)角與外角的知識點(diǎn)，此題要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程求解即可．從n邊形一個頂點(diǎn)可以引（n﹣3）條對角線．16．已知a、b、c是一個三角形的三邊長．（1）填空：a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0．（填“＞”“＜”或“＝”）（2）化簡：|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|．【答案】（1）＞，＞，＜；（2）﹣a+3b﹣c．【分析】（1）利用三角形的三邊關(guān)系確定三個代數(shù)式的符號即可；（2）根據(jù)（1）中確定的三邊關(guān)系去掉絕對值后化簡即可．解：（1）∵a、b、c是一個三角形的三邊長，∴a+b＞c，a+c＞b，∴a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0，故答案為：＞，＞，＜；（2）原式＝a+b﹣c﹣（a﹣b+c）+b+c﹣a＝a+b﹣c﹣a+b﹣c+b+c﹣a＝﹣a+2b﹣c．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系及絕對值的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定代數(shù)式的符號，難度不大．17．如圖，已知B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AC＝DF，BE＝CF．AC與DE交于點(diǎn)G，（1）求證△ABC≌△DEF；（2）若∠B＝50°，∠ACB＝60°，求∠EGC的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）∠EGC＝70°．【分析】（1）由BE＝CF，可得BC＝EF，證明△ABC≌△DEF（SSS）即可；（2）如圖，由（1）知，△ABC≌△DEF（SSS），則∠B＝∠DEF，AB∥DE，∠EGC＝∠A，由三角形內(nèi)角和定理可得∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝70°，進(jìn)而可求∠EGC的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，∵AB＝DE，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）解：如圖，由（1）知，△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE，∴∠EGC＝∠A，∵∠B＝50°，∠ACB＝60°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝70°，∴∠EGC＝70°．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．如圖，在三角形ABC中，AB＝10cm，D是BC的中點(diǎn)，E點(diǎn)在邊AB上．（1）若三角形BDE的周長與四邊形ACDE的周長相等，求線段AE的長．（2）若三角形ABC的周長被DE分成的兩部分的差是2cm，求線段AE的長．【答案】（1）AE＝2cm；（2）AE＝1cm或3cm．【分析】（1）由圖可知三角形BDE的周長＝BE+BD+DE，四邊形ACDE的周長＝AE+AC+DC+DE，BD＝DC，所以BE＝AE+AC，則可解得AE＝2cm；（2）由三角形ABC的周長被DE分成的兩部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．解得AE＝1cm或2cm．解：（1）由圖可知三角形BDE的周長＝BE+BD+DE，四邊形ACDE的周長＝AE+AC+DC+DE，又三角形BDE的周長與四邊形ACDE的周長相等，D為BC中點(diǎn)，∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE，即BE＝AE+AC，∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴10﹣AE＝AE+6，∴AE＝6cm．（2）由三角形ABC的周長被DE分成的兩部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣5．解①得AE＝1cm，解②得AE＝3cm．故AE長為7cm或3cm．【點(diǎn)評】本題考查了三角形中線性質(zhì)，三角形周長的計算，關(guān)鍵是要學(xué)會分類討論的思想思考問題．19．請認(rèn)真思考，完成下面的探究過程．已知在△ABC中，AE是∠BAC的角平分線，∠B＝60°【解決問題】如圖1，若AD⊥BC于點(diǎn)D，求∠DAE的度數(shù)；【變式探究】如圖2，若F為AE上一個動點(diǎn)（F不與E重合），且FD⊥BC于點(diǎn)D時10°；【拓展延伸】如圖2，△ABC中，∠B＝x°，（且∠B＞∠C），若F為線段AE上一個動點(diǎn)（F不與E重合），且FD⊥BC于點(diǎn)D時，y表示∠DFE的度數(shù)，并說明理由．【答案】（1）10°．（2）10°．（3），理由詳見解答過程．【分析】（1）由∠B＝60°，∠C＝40°，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．由角平分線的定義，得∠EAC＝40°．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠FED＝80°．由FD⊥BC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，故可求得∠DFE．（2）與（1）同理．（3）與（1）同理．解：（1）解決問題：∵∠B＝60°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．又∵AE是∠BAC的角平分線，∴∠EAC＝＝40°．∴∠AED＝∠C+∠EAC＝40°+40°＝80°．∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°．∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．（2）變式探究：由（1）知：∠AED＝80°．∵FD⊥BC，∴∠FDE＝90°．∴∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠FED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．故答案為：10°．（3）拓展延伸：∠DFE＝，理由如下：∵∠B＝x°，∠C＝y(tǒng)°，∴∠BAC＝180°﹣x°﹣y°．又∵AE是∠BAC的角平分線，∴∠CAE＝＝＝．∴∠AED＝∠C+∠CAE＝y(tǒng)°+90°﹣＝90°﹣．∵FD⊥BC，∴∠FDE＝90°．∴∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠FED＝180°﹣90°﹣（90°﹣）＝．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義以及三角形外角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．20．【概念認(rèn)識】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，BE叫做∠ABC的“三分線”，其中，BE是“鄰BC三分線”．（1）【問題解決】如圖②，在△ABC中，∠A＝70°，若∠C的三分線CD交AB于點(diǎn)D，則∠BDC＝90°或110°．（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，求∠A的度數(shù)．（3）【延伸推廣】在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點(diǎn)P．若∠A＝m，并且m＞n，直接寫出∠BPC的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）【答案】（1）90°或110°；（2）∠A＝45°；（3）∠BPC＝m或∠BPC＝m﹣n或∠BPC＝m+n或∠BPC＝m．【分析】（1）分兩種情況討論，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，分別求解即可；（2）根據(jù)題意，求得∠ABC+∠ACB＝135°，即可求解；（3）根據(jù)“三分線”的定義，分四種情況，分別畫圖求解即可．解：（1）∵∠A＝70°，∠B＝50°，∴∠ACB＝60°，當(dāng)CD是“鄰AC三分線”時，∠ACD＝，∠BDC＝∠A+∠ACD＝90°；當(dāng)CD是“鄰BC三分線”時，∠ACD＝，∠BDC＝∠A+∠ACD＝110°；故答案為：90°或110°；（2）∵BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，∴∠PBC＝∠ABC∠ACB，∵BP⊥CP，∴∠P＝90°，即∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠ABC+，∴∠ABC+∠ACB＝135°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝45°；（3）分4種情況進(jìn)行畫圖計算：如下圖，當(dāng)BP和CP分別是鄰AB三分線，∠PBC＝∠ACB∠ACD，∴∠PCB＝∠ACB+∠PCA＝∠ACB+∠ACD，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠PCB＝∠ACB+（∠A+∠ABC）＝∠ACB+∠ABC，∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB﹣∠ABC＝∠A﹣∠A＝∠A＝m；即∠BPC＝m；如下圖，當(dāng)BP和CP分別是鄰BC三分線，∠PBC＝∠ACB∠ACD，∴∠PCB＝∠ACB+∠PCA＝∠ACB+∠ACD，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠PCB＝∠ACB+（∠A+∠ABC）＝∠ACB+∠ABC，∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB﹣∠ABC＝∠A﹣∠A＝∠A＝m；即∠BPC＝m；如下圖，當(dāng)BP和CP分別是鄰BC三分線，∠PBC＝∠ACB∠ACD，∴∠PCB＝∠ACB+∠PCA＝∠ACB+∠ACD，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠PCB＝∠ACB+（∠A+∠ABC）＝∠ACB+∠ABC，∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB﹣∠ABC＝∠A﹣∠A+＝∠A+＝m+n；即∠BPC＝m+n；如下圖，當(dāng)BP和CP分別是鄰AB三分線，且m＞n，∠PBC＝∠ACB∠ACD，∴∠PCB＝∠ACB+∠PCA＝∠ACB+∠ACD，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠PCB＝∠ACB+（∠A+∠ABC）＝∠ACB+∠ABC，∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB﹣∠ABC＝∠A﹣∠A﹣＝∠A﹣＝m﹣n；即∠BPC＝m﹣n；綜上，∠BPC＝m﹣m+m．【點(diǎn)評】本題考查了三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形外角性質(zhì)，注意分情況討論．五、解答題（本大題共10分）21．北京奧運(yùn)會，2008年8月8日晚上8時整在中國首都北京開幕，這或許能體現(xiàn)出中國人如何癡迷于幸運(yùn)數(shù)字“8”，歲經(jīng)八秩，桃李芬芳如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，顯然有∠A+∠B＝∠C+∠D；新定義：在圖1中，我們把AB，CD，AD叫做“8字形”的邊，∠A，∠C，∠D叫做“8字形”的內(nèi)角，圖2中，∠BAD，圖3中，∠BCE（1）在圖2中，∠BAD的平分線和∠BCD的平分線相交于點(diǎn)P，若∠B＝36°，求∠P的度數(shù)．（2）在圖3中，∠BCE的平分線和∠FAD的平分線所在直線相交于點(diǎn)P，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系（3）在圖4中，∠BCE的平分線和∠FAD的平分線相交于點(diǎn)P，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系（4）在圖5中，∠BCE的平分線和∠BAD的平分線相交于點(diǎn)P，用∠B、∠D來表示出∠P，無需說明理由．【答案】（1）∠P＝26°；（2）∠P＝，理由見解答過程；（3）2∠P+∠B+∠D＝360°，理由見解答過程；（4）2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．【分析】（1）由AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，由“8字形”可得：∠2+∠B＝∠3+∠P，∠1+∠P＝∠4+∠D，故∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即可得∠P＝26°；（2）由“8字形”可得：∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，有∠D+∠DAF＝∠B+∠BCE，而∠BCE的平分線和∠FAD的平分線所在直線相交于點(diǎn)P，得∠D+2∠FAG＝∠B+2∠PCB①，又∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，有2∠B+2∠PCB＝2∠P+2∠PAB②，①+②即得∠D+2∠B＝∠B+2∠P，故∠P＝；（3）由∠D+2∠PAD＝∠B+2∠PCB，有∠PAD﹣∠PCB＝∠B﹣∠D，而∠P+∠PAD+∠D+