課件及復(fù)習(xí)微積分第1章d1 8數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法引例:已知數(shù)列{an}中，a1=1，且an+1=(n=1,2,……)nna1a+一、什么是數(shù)學(xué)歸納法?一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題,可按以下兩個(gè)步驟進(jìn)行:(1)證明當(dāng)n=n0（n0為n的第一個(gè)值）時(shí)命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題也成立.在完成了這兩個(gè)步驟后,就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.注意：根據(jù)需要可以假設(shè)n<=k時(shí)成立框圖表示為：驗(yàn)證n=n0時(shí)命題成立若n=k（k≥n0）時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題也成立.命題對(duì)從n0開始時(shí)所有的正整數(shù)也成立.歸納奠基歸納遞推用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),要分兩個(gè)步驟,兩者缺一不可.(1)證明了第一步,就獲得了遞推的基礎(chǔ),但僅靠這一步還不能說明結(jié)論的正確性.在這一步中,只需驗(yàn)證命題結(jié)論成立的最小的正整數(shù)就可以了,沒有必要驗(yàn)證命題對(duì)幾個(gè)正整數(shù)成立.(2)證明了第二步,就獲得了推理的依據(jù).僅有第二步而沒有第一步,則失去了遞推的基礎(chǔ);而只有第一步而沒有第二步,就可能得出不正確的結(jié)論,因?yàn)閱慰康谝徊?我們無法遞推下去,所以我們無法判斷命題對(duì)n0+1,n0+2,…,是否正確.在第二步中,n=k命題成立,可以作為條件加以運(yùn)用,而n=k+1時(shí)的情況則有待利用命題的已知條件,公理,定理,定義加以證明.完成一,二步后,最后對(duì)命題做一個(gè)總的結(jié)論.例1用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝12＝1，右邊＝

等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，就是那么二.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何n∈N＊都成立。例2用數(shù)學(xué)歸納法證明

1）第一步應(yīng)做什么？此時(shí)n0=

，左

，2）假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即

1×4＝41當(dāng)n=2時(shí)，左＝

，右＝

。2(2＋1)2

當(dāng)n=k時(shí)，等式左邊共有

項(xiàng)，第(k－1)項(xiàng)是

。

k1×4＋2×7(K－1)×[3(k－1)＋1]3）當(dāng)n=k+1時(shí)，命題的形式是4）此時(shí)，左邊增加的項(xiàng)是5)從左到右如何變形？證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝1×4＝4，右邊＝1×22＝4，等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，就是這就是說