高中數(shù)學(xué)人教A版必修一學(xué)案1.1.1.1集合的含義Word版含解析

第1課時(shí)集合的含義知識(shí)點(diǎn)一集合的含義1．元素：一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素．2．集合：把一些元素組成的總體叫做集合．3．元素與集合的符號(hào)表示表示eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(元素：通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示.,集合：通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示.))1．集合含義中的“研究對(duì)象”指的是集合的元素，研究集合問題的核心即研究集合中的元素，因此在解決集合問題時(shí)，首先要明確集合中的元素是什么．集合中的元素可以是點(diǎn)，也可以是一些人或一些物．知識(shí)點(diǎn)二集合中元素的特征與集合相等1．集合中元素的特征特征含義確定性集合中的元素是確定的，即給定一個(gè)集合，任何元素在不在這個(gè)集合里是確定的．它是判斷一組對(duì)象是否構(gòu)成集合的標(biāo)準(zhǔn)互異性給定一個(gè)集合，其中任何兩個(gè)元素都是不同的，也就是說，在同一個(gè)集合中，同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn)無序性集合中的元素?zé)o先后順序之分2.集合相等只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是相等的．例如，集合{－1,1}與集合{1，－1}是相等的．知識(shí)點(diǎn)三元素與集合的關(guān)系關(guān)系語言描述記法示例a屬于集合Aa是集合A中的元素a∈A若A表示由“世界四大洋”組成的集合，則太平洋∈A，長(zhǎng)江?Aa不屬于集合Aa不是集合A中的元素a?A2．對(duì)元素和集合之間關(guān)系的兩點(diǎn)說明(1)符號(hào)“∈”“?”刻畫的是元素與集合之間的關(guān)系．對(duì)于一個(gè)元素a與一個(gè)集合A而言，只有“a∈A”與“a?A”這兩種結(jié)果．(2)∈和?具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，形如R∈0是錯(cuò)誤的．知識(shí)點(diǎn)四常用數(shù)集及符號(hào)表示常用數(shù)集的字母表示常用數(shù)集簡(jiǎn)稱記法全體非負(fù)整數(shù)的集合非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)N所有正整數(shù)的集合正整數(shù)集N*或N＋全體整數(shù)的集合整數(shù)集Z全體有理數(shù)的集合有理數(shù)集Q全體實(shí)數(shù)的集合實(shí)數(shù)集R3．準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)集合的含義(1)集合的概念是一種描述性說明，因?yàn)榧鲜菙?shù)學(xué)中最原始的、不加定義的概念，這與我們初過的點(diǎn)、直線等概念一樣，都是用描述性語言表述的．(2)集合含義中的“元素”所指的范圍非常廣泛，現(xiàn)實(shí)生活中我們看到的、聽到的、聞到的、觸摸到的、想到的各種各樣的事物或一些抽象的符號(hào)等，都可以看作“對(duì)象”，即集合中的元素．[小試身手]1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)你班所有的姓氏能組成集合．()(2)新課標(biāo)數(shù)學(xué)人教A版必修1課本上的所有難題能組成集合．()(3)一個(gè)集合中可以找到兩個(gè)相同的元素．()答案：(1)√(2)×(3)×2．下列各項(xiàng)中，不能組成集合的是()A．所有的正數(shù)B．所有的老人C．不等于0的數(shù)D．我國古代四大發(fā)明解析：“老人”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)人是否“老”無法客觀地判斷，因此“所有的老人”不能構(gòu)成集合，故選B.答案：B3．已知集合A由x<1的數(shù)構(gòu)成，則有()A．3∈AB．1∈AC．0∈AD．－1?A解析：很明顯3,1不滿足不等式，而0，－1滿足不等式．答案：C4．下列三個(gè)命題：①集合N中最小的數(shù)是1；②－a?N，則a∈N；③a∈N，b∈N，則a＋b的最小值是2.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3解析：根據(jù)自然數(shù)的特點(diǎn)，顯然①③不正確．②中若a＝eq\f(3,2)，則－a?N且a?N，顯然②不正確．答案：A類型一集合的概念例1下列對(duì)象能構(gòu)成集合的是()A．高一年級(jí)全體較胖的學(xué)生B．sin30°，sin45°，cos60°，1C．全體很大的自然數(shù)D．平面內(nèi)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)【解析】由于較胖與很大沒有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)，因此A，C不能構(gòu)成集合；B中由于sin30°＝cos60°不滿足互異性；D滿足集合的三要素，因此選D.【答案】D構(gòu)成集合的元素具有確定性．方法歸納,判斷一組對(duì)象組成集合的依據(jù)判斷給定的對(duì)象能不能構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象，都能確定它是不是給定集合的元素．跟蹤訓(xùn)練1下列各項(xiàng)中，不可以組成集合的是()A．所有的負(fù)數(shù)B．等于2的數(shù)C．接近于0的數(shù)D．不等于0的偶數(shù)解析：由于接近于0的數(shù)沒有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)，因此C中的對(duì)象不能構(gòu)成集合．故選C.答案：CC中元素不確定．類型二元素與集合的關(guān)系例2(1)下列關(guān)系中，正確的有()①eq\f(1,2)∈R；②eq\r(2)?Q；③|－3|∈N；④|－eq\r(3)|∈Q.A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)(2)滿足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2個(gè)元素的集合A的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3【解析】(1)eq\f(1,2)是實(shí)數(shù)，eq\r(2)是無理數(shù)，|－3|＝3是非負(fù)整數(shù)，|－eq\r(3)|＝eq\r(3)是無理數(shù)．因此，①②③正確，④錯(cuò)誤．(2)∵a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，則4－a＝4，此時(shí)A＝{0,4}滿足要求；若a＝1，則4－a＝3，此時(shí)A＝{1,3}滿足要求；若a＝2，則4－a＝2，此時(shí)A＝{2}不滿足要求．故有且只有2個(gè)元素的集合A有2個(gè)，故選C.【答案】(1)C(2)Ca分類處理：①a＝0，a＝1，a＝2；②a＝3，a＝4還討論嗎？方法歸納判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出的，只要判斷該元素在已知集合中是否給出即可．此時(shí)應(yīng)首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的．(2)推理法：對(duì)于某些不便直接表示的集合，判斷元素與集合的關(guān)系時(shí)，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可．此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合的元素具有什么屬性，即該集合中元素要符合哪種表達(dá)式或滿足哪些條件．,跟蹤訓(xùn)練2下列說法正確的是()A．0?NB.eq\r(2)∈QC．π?RD.eq\r(4)∈Z解析：A.N為自然數(shù)集，0是自然數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.eq\r(2)是無理數(shù)，Q是有理數(shù)集合，eq\r(2)?Q，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.π是實(shí)數(shù)，即π∈R，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.eq\r(4)＝2,2是正整數(shù)，則eq\r(4)∈Z，故本選項(xiàng)正確．故選D.答案：DN自然數(shù)集；Z整數(shù)集；Q有理數(shù)集；R實(shí)數(shù)集．類型三集合元素的特性例3已知集合A含有兩個(gè)元素a－3和2a－1，若－3∈A，試求實(shí)數(shù)a【解析】因?yàn)椋?∈A，A＝{a－3,2a－1}，所以a－3＝－3或2若a－3＝－3，則a＝0，此時(shí)集合A＝{－3，－1}，符合題意．若2a－1＝－3，則a＝－1，此時(shí)集合A綜上可知，滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為0或－1.首先根據(jù)－3∈A，求a的所有可能取值，然后根據(jù)元素的互異性逐個(gè)檢驗(yàn)，最后確定實(shí)數(shù)a的值．方法歸納由集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的步驟跟蹤訓(xùn)練3(1)若集合M中的三個(gè)元素是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC一定不是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形(2)已知集合A含有兩個(gè)元素a和a2，若1∈A，則實(shí)數(shù)a的值為________．解析：(1)由集合中元素的互異性可知，集合中的任何兩個(gè)元素都不相同，故選D.(2)若1∈A，則a＝1或a2＝1，即a＝±1.當(dāng)a＝1時(shí)，集合A有重復(fù)元素．所以a≠1；當(dāng)a＝－1時(shí)，集合A含有兩個(gè)元素1，－1，符合元素的互異性，所以a＝－1.答案：(1)D(2)－1由元素互異性知邊不能相等．[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．下列能構(gòu)成集合的是()A．中央電視臺(tái)著名節(jié)目主持人B．我市跑得快的汽車C．上海市所有的生D．香港的高樓解析：A，B，D中研究的對(duì)象不確定，因此不能構(gòu)成集合．答案：C2．由形如x＝3k＋1，k∈Z的數(shù)組成集合A，則下列表示正確的是()A．－1∈AB．－11∈AC．15∈AD．32∈A解析：－11＝3×(－4)＋1，故選B.答案：B3．已知集合A中元素x滿足－eq\r(5)≤x≤eq\r(5)，且x∈N*，則必有()A．－1∈AB．0∈AC.eq\r(3)∈AD．1∈A解析：x∈N*，且－eq\r(5)≤x≤eq\r(5)，所以x＝1,2.所以1∈A.答案：D4．設(shè)A是方程x2－ax－5＝0的解集，且－5∈A，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－4B．4C．1D．－1解析：因?yàn)椋?∈A，所以(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4.故選A.答案：A5．若以集合A的四個(gè)元素a、b、c、d為邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形可能是()A．梯形B．平行四邊形C．菱形D．矩形解析：由集合中元素互異性可知，a，b，c，d互不相等，從而四邊形中沒有邊長(zhǎng)相等的邊．答案：A二、填空題(每小題5分，共15分)6．判斷下列說法正確的是________．(1)某個(gè)單位里的年輕人組成一個(gè)集合；(2)1，eq\f(3,2)，eq\f(6,4)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，eq\f(1,2)這些數(shù)組成的集合含有五個(gè)元素；(3)由a，b，c組成的集合與由b，a，c組成的集合是同一個(gè)集合；(4)方程(x－3)(x－2)2＝0的解組成的集合有3個(gè)元素．解析：(1)不正確．因?yàn)椤澳贻p人”沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，不具有確定性，不能組成集合．(2)不正確．根據(jù)互異性知，這個(gè)集合是由三個(gè)元素1，eq\f(3,2)，eq\f(1,2)組成的．(3)正確．集合中的元素相同，只是次序不同，它們表示同一個(gè)集合．(4)不正確．方程(x－3)(x－2)2＝0的解是x1＝3，x2＝x3＝2，因此寫成集合時(shí)只有3和2兩個(gè)元素．答案：(3)7．給出下列關(guān)系：(1)eq\f(1,3)∈R；(2)eq\r(5)∈Q；(3)－3?Z；(4)－eq\r(3)?N，其中正確的是________．解析：eq\f(1,3)是實(shí)數(shù)，(1)正確；eq\r(5)是無理數(shù)，(2)錯(cuò)誤；－3是整數(shù)，(3)錯(cuò)誤；－eq\r(3)是無理數(shù)，(4)正確．答案：(1)(4)8．已知集合A含有三個(gè)元素1,0，x，若x2∈A，則實(shí)數(shù)x＝________.解析：因?yàn)閤2∈A，所以x2＝1，或x2＝0，或x2＝x，所以x＝±1，或x＝0.當(dāng)x＝0，或x＝1時(shí)，不滿足集合中元素的互異性，所以x＝－1.答案：－1三、解答題(每小題10分，共20分)9．判斷下列說法是否正確？并說明理由．(1)大于3的所有自然數(shù)組成一個(gè)集合；(2)未來世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)集合；(3)1,0.5，eq\f(3,2)，eq\f(1,2)組成的集合含有四個(gè)元素；(4)接近于0的數(shù)的全體組成一個(gè)集合．解析：(1)中的對(duì)象是確定的，互異的，所以可構(gòu)成一個(gè)集合，故(1)正確；(2)和(4)中的“高科技”、“接近于0”都是標(biāo)準(zhǔn)不確定的，所以不能構(gòu)成集合，故(2)、(4)錯(cuò)誤；由于0.5＝eq\f(1,2)，所以1,0.5，eq\f(3,2)，eq\f(1,2)組成的集合含有3個(gè)元素，故(3)錯(cuò)誤．10．?dāng)?shù)集A滿足條件：若a∈A，則eq\f(1＋a,1－a)∈A(a≠1)．若eq\f(1,3)∈A，求集合中的其他元素．解析：因?yàn)閑q\f(1,3)∈A，所以eq\f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2∈A，所以eq\f(1＋2,1－2)＝－3∈A，所以eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2)∈A，所以eq\f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)∈A.故當(dāng)eq\f(1,3)∈A時(shí)，集合中的其他元素為2，－3，－eq\f(1,2).[能力提升](20分鐘，40分)11．已知集合A含有三個(gè)元素2,4,6，且當(dāng)a∈A，有6－a∈A，那么a為()A．2B．2或4C．4D．0解析：集合A含有三個(gè)元素2,4,6，且當(dāng)a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，綜上所述，a＝2或4.故選B.答案：B12．設(shè)直線y＝2x＋3上的點(diǎn)集為P，點(diǎn)(2,7)與點(diǎn)集P的關(guān)系為(2,7)________P(填“∈”或“?”)．解析：直線y＝2x＋3上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y具有y＝2x＋3的關(guān)系，即只要具備此關(guān)系的點(diǎn)就是集合P的元素．由于當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2×2＋3＝7，故(2,7)∈P.答案：∈13．設(shè)A是由滿足不等式x<6的自然數(shù)組成的集合，若a∈A且3a∈A，求a解析：因?yàn)閍∈A且3a∈A所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<6，,3a<6，))