高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)5 第5講　古典概型與幾何概型

第5講古典概型與幾何概型課標(biāo)要求考情分析1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式．2．會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．3．了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率．4．了解幾何概型的意義.古典概型是高考考查的熱點(diǎn)，常與分布列結(jié)合考查，幾何概型也是高考考查的熱點(diǎn)，題型仍將是選擇題或填空題．核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模、直觀想象1．古典概型(1)基本事件的特點(diǎn)①任何兩個(gè)基本事件是互斥的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．(2)古典概型的特點(diǎn)(3)古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù))．2．幾何概型(1)定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)幾何概型．(2)特點(diǎn)①無(wú)限性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)．②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．(3)幾何概型的概率公式P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）).【小題自測(cè)】1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在一次試驗(yàn)中，其基本事件的發(fā)生一定是等可能的．()(2)基本事件的概率都是eq\f(1,n).若某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，則P(A)＝eq\f(m,n).()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．()(4)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．(教材改編)如圖，矩形的長(zhǎng)為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機(jī)撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆數(shù)為96，以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)出橢圓的面積為()A．16.32 B．15.32C．8.68 D．7.68解析：選A.由題意，可估計(jì)橢圓的面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(96,300)))×6×4＝16.32.故選A.3．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)解析：選C.從A，B中任意取一個(gè)數(shù)，共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,3)＝6(種)情形，兩數(shù)和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)兩種，所以P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故選C.4．(不明概率類(lèi)型致誤)一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30s，黃燈的時(shí)間為5s，綠燈的時(shí)間為40s，當(dāng)某人到達(dá)路口時(shí)看見(jiàn)的是紅燈的概率為_(kāi)_______．解析：設(shè)事件A表示“某人到達(dá)路口時(shí)看見(jiàn)的是紅燈”，則事件A對(duì)應(yīng)30s的時(shí)間長(zhǎng)度，而路口紅綠燈亮的一個(gè)周期為30＋5＋40＝75(s)的時(shí)間長(zhǎng)度．根據(jù)幾何概型的概率公式可得，事件A發(fā)生的概率P(A)＝eq\f(30,75)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)5．某班有青年志愿者男生3人，女生2人，現(xiàn)需選出2名青年志愿者到社區(qū)做公益宣傳活動(dòng)，則選出的2名志愿者性別相同的概率為_(kāi)_______．解析：將3名男生記為M1，M2，M3，2名女生記為W1，W2，從這5名志愿者中選出2名的可能結(jié)果為(M1，M2)，(M1，M3)，(M1，W1)，(M1，W2)，(M2，M3)，(M2，W1)，(M2，W2)，(M3，W1)，(M3，W2)，(W1，W2)，共10種，其中所選的2名志愿者性別相同的結(jié)果為(M1，M2)，(M1，M3)，(M2，M3)，(W1，W2)，共有4種，因此選出的2名志愿者性別相同的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)考點(diǎn)一古典概型(自主練透)1．(2020·高考全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(4,5)解析：選A.根據(jù)題意作出圖形，如圖所示，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，有10種可能情況，分別為(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3點(diǎn)共線有(OAC)和(OBD)2種可能情況，所以在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，故選A.2．設(shè)平面向量a＝(m，1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1，2，3，4}，記“a⊥(a－b)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：選A.有序數(shù)對(duì)(m，n)的所有可能情況為(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16種，由a⊥(a－b)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.由于m，n∈{1，2，3，4}．故事件A包含的可能情況為(2，1)和(3，4)，共2種，所以P(A)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).3．(2022·普通學(xué)校全國(guó)統(tǒng)一模擬演練)在3張卡片上分別寫(xiě)上3位同學(xué)的學(xué)號(hào)后，把卡片隨機(jī)分給這3位同學(xué)，每人1張，則恰有1位同學(xué)分到寫(xiě)有自己學(xué)號(hào)的卡片的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：選C.方法一：記A，B，C3位同學(xué)的學(xué)號(hào)分別為a，b，c，用有序?qū)崝?shù)組表示3人拿到的卡片情況，如(a，b，c)表示A同學(xué)拿到a號(hào)，B同學(xué)拿到b號(hào)，C同學(xué)拿到c號(hào)，3人可能拿到的卡片情況有(a，b，c)，(a，c，b)，(b，a，c)，(b，c，a)，(c，a，b)，(c，b，a)，共6種，其中恰有1位同學(xué)分到寫(xiě)有自己學(xué)號(hào)的卡片的情況為(a，c，b)，(c，b，a)，(b，a，c)，共3種，所以恰有1位同學(xué)分到寫(xiě)有自己學(xué)號(hào)的卡片的概率P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，故選C.方法二：3位同學(xué)拿到的卡片的所有可能結(jié)果有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝6(種)，而恰有1位同學(xué)分到寫(xiě)有自己學(xué)號(hào)的卡片有3種結(jié)果，所以所求概率P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，故選C.4．(2021·高考全國(guó)卷甲)將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,5)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析：選C.方法一(將4個(gè)1和2個(gè)0視為完全不同的元素)4個(gè)1分別設(shè)為1A，1B，1C，1D，2個(gè)0分別設(shè)為0A，0B，將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行有Aeq\o\al(6,6)種排法，將1A，1B，1C，1D排成一行有Aeq\o\al(4,4)種排法，再將0A，0B插空有Aeq\o\al(2,5)種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率P＝eq\f(Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(2,3).方法二(含有相同元素的排列)將4個(gè)1和2個(gè)0安排在6個(gè)位置，則選擇2個(gè)位置安排0，共有Ceq\o\al(2,6)種排法；將4個(gè)1排成一行，把2個(gè)0插空，即在5個(gè)位置中選2個(gè)位置安排0，共有Ceq\o\al(2,5)種排法．所以2個(gè)0不相鄰的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(2,3).利用公式法求解古典概型問(wèn)題的步驟考點(diǎn)二幾何概型(多維探究)考向1與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型(2022·太原市模擬考試(一))在區(qū)間[－1，1]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)k，則使得直線y＝kx與圓(x－2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)的概率是()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,2)【解析】圓(x－2)2＋y2＝1的圓心為(2，0)，半徑為1，若要使得直線y＝kx與圓(x－2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離eq\f(|2k|,\r(1＋k2))≤1，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3)，而k是區(qū)間[－1，1]內(nèi)的實(shí)數(shù)，由幾何概型的概率計(jì)算公式知，直線y＝kx與圓(x－2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)的概率為eq\f(\f(\r(3),3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3))),1－（－1）)＝eq\f(\r(3),3)，故選C.【答案】C與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型(1)如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示，則其概率的計(jì)算公式為P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度).(2)與時(shí)間、不等式等有關(guān)的概率問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為幾何概型，利用幾何概型概率公式進(jìn)行求解．考向2與面積有關(guān)的幾何概型(1)(2022·安徽省名校實(shí)驗(yàn)班大聯(lián)考)已知邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，在正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則取到的點(diǎn)到正方形四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D的距離都大于1的概率為()A.eq\f(π,16) B.eq\f(π,4)C.eq\f(3－2\r(2),4)π D．1－eq\f(π,4)(2)(2021·高考全國(guó)卷乙)在區(qū)間(0，1)與(1，2)中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于eq\f(7,4)的概率為()A.eq\f(7,9) B.eq\f(23,32)C.eq\f(9,32) D.eq\f(2,9)【解析】(1)由題意，作出滿(mǎn)足條件的幾何圖形，如圖中陰影部分所示．所求概率P＝eq\f(S陰,S正)＝eq\f(S正－S圓,S正)＝eq\f(4－π,4)＝1－eq\f(π,4)，故選D.(2)在區(qū)間(0，1)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，記為x，在區(qū)間(1，2)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，記為y，兩數(shù)之和大于eq\f(7,4)，即x＋y>eq\f(7,4)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,1<y<2，,x＋y>\f(7,4).))在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(x，y)構(gòu)成的區(qū)域是邊長(zhǎng)為1的正方形區(qū)域(不含邊界)，事件A“兩數(shù)之和大于eq\f(7,4)”即x＋y>eq\f(7,4)中，點(diǎn)(x，y)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分(不含邊界)，由幾何概型的概率計(jì)算公式得P(A)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(2)×\f(1,2),1×1)＝eq\f(23,32)，故選B.【答案】(1)D(2)B求解與面積有關(guān)的幾何概型的方法求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，所求面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．考向3與體積有關(guān)的幾何概型(2022·太原市第一學(xué)期期末考試)如圖是某個(gè)四面體的三視圖，若在該四面體內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在該四面體內(nèi)切球內(nèi)部的概率為()A.eq\f(\r(2),9π) B.eq\f(\r(6)π,18)C.eq\f(3\r(2)π,16) D.eq\f(π,16)【解析】由題意可知，該四面體是一個(gè)三棱錐，底面是直角邊長(zhǎng)為2eq\r(2)的等腰直角三角形，棱錐的一條側(cè)棱垂直底面于三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，棱錐的高為4eq\r(2)，則四面體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×4eq\r(2)＝eq\f(16\r(2),3)，表面積S＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＋eq\f(1,2)×2eq\r(2)×4eq\r(2)×2＋eq\f(1,2)×4×eq\r(（4\r(2)）2＋（2\r(2)）2－22)＝32.設(shè)該四面體的內(nèi)切球半徑為r，則eq\f(1,3)S·r＝eq\f(16\r(2),3)，解得r＝eq\f(\r(2),2).V球＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(2)π,3)，所以點(diǎn)P落在該四面體內(nèi)切球內(nèi)部的概率P＝eq\f(V球,V)＝eq\f(\f(\r(2)π,3),\f(16\r(2),3))＝eq\f(π,16)，故選D.【答案】D對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.如圖所示，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△AED或△BEC內(nèi)部的概率等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,3)解析：選A.點(diǎn)Q取自△AED或△BEC內(nèi)部的概率P＝eq\f(S△AED＋S△BEC,S矩形ABCD)＝eq\f(1,2).故選A.2．(2022·洛陽(yáng)尖子生聯(lián)考)在[－6，9]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)m，設(shè)f(x)＝－x2＋mx＋m，則函數(shù)f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)的概率等于()A.eq\f(2,15) B.eq\f(7,15)C.eq\f(3,5) D.eq\f(11,15)解析：選D.記“函數(shù)f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)”為事件A，當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)時(shí)，對(duì)于方程－x2＋mx＋m＝0，Δ＝m2＋4m≥0，解得m≤－4或m≥0，又m∈[－6，9]，所以－6≤m≤－4或0≤m≤9.故P(A)＝eq\f(2＋9,15)＝eq\f(11,15)，故選D.[A級(jí)基礎(chǔ)練]1．(2022·安徽省四校適應(yīng)性測(cè)試)如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正三角形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域．在正三角形中隨機(jī)撒一粒豆子(豆子大小忽略不計(jì))，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為eq\f(3,4)，那么估計(jì)陰影區(qū)域的面積為()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D．4eq\r(3)解析：選C.設(shè)陰影區(qū)域的面積為S，根據(jù)幾何概型的概率公式知S＝eq\f(\r(3),4)×42×eq\f(3,4)＝3eq\r(3)，故選C.2．在區(qū)間[0，2]上任取兩個(gè)數(shù)m，n，若向量a＝(m，n)，b＝(1，1)，則|a－b|≤1的概率是()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,8)解析：選B.a－b＝(m－1，n－1)，故由|a－b|≤1可得(m－1)2＋(n－1)2≤1，依據(jù)幾何概型的概率公式可得P＝eq\f(π,2×2)＝eq\f(π,4).故選B.3．如圖，已知正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP-ABC<eq\f(1,2)VS-ABC的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(7,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：選B.由題意知，當(dāng)點(diǎn)P在三棱錐的中截面以下時(shí)，滿(mǎn)足VP-ABC<eq\f(1,2)VS-ABC，故使得VP-ABC<eq\f(1,2)VS-ABC的概率P＝eq\f(大三棱錐的體積－小三棱錐的體積,大三棱錐的體積)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(7,8).4．在中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)期間，有甲、乙、丙、丁4名游客準(zhǔn)備到貴州的黃果樹(shù)瀑布、梵凈山、萬(wàn)峰林三個(gè)景點(diǎn)旅游，其中每個(gè)人只能去一個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至少要去一個(gè)人，則游客甲去梵凈山旅游的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：選B.4名游客去三個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至少有一個(gè)人，可以先將其中2名游客“捆綁在一起”作為“一個(gè)人”，再將“三個(gè)人”安排到三個(gè)景點(diǎn)去旅游，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝6×6＝36(種)方案．游客甲去梵凈山旅游，若梵凈山再?zèng)]有其他3名游客去旅游，則有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝3×2＝6(種)方案，若“乙、丙、丁”中有1人也去了梵凈山旅游，則有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)方案，所以游客甲去梵凈山旅游共有12種方案．所以游客甲去梵凈山旅游的概率P＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).故選B.5．在5升水中有一條小金魚(yú)，現(xiàn)從中隨機(jī)地取出1升水，含有小金魚(yú)的概率是________．解析：“取出1升水，其中含有小金魚(yú)”這一事件記作事件A，則P(A)＝eq\f(取出的水的體積,所有水的體積)＝eq\f(1,5).從而所求的概率為eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)6．在區(qū)間[－4，1]上隨機(jī)地取一個(gè)實(shí)數(shù)x，若x滿(mǎn)足|x|<a的概率為eq\f(4,5)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．解析：設(shè)集合A＝{x||x|<a}＝(－a，a)(a>0)，若0<a≤1，則A?[－4，1]，由幾何概型的意義，得P(A)＝eq\f(a－（－a）,1－（－4）)＝eq\f(4,5)，解得a＝2，不符合題意．若a>1，則P(A)＝eq\f(1－（－a）,1－（－4）)＝eq\f(4,5)，解得a＝3，符合題意．答案：37．如圖，三行三列的方陣中有九個(gè)數(shù)aij(i＝1，2，3；j＝1，2，3)，從中任取三個(gè)數(shù)，則至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率為_(kāi)_______．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12a13,a21a22a23,a31a32a33))解析：從九個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)的不同取法共有Ceq\o\al(3,9)＝84種，取出的三個(gè)數(shù)分別位于不同的行與列的取法共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1)＝6種，所以至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率為1－eq\f(6,84)＝eq\f(13,14).答案：eq\f(13,14)8．(2022·太原市模擬考試)某地區(qū)為了實(shí)現(xiàn)產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型發(fā)展，利用當(dāng)?shù)芈糜钨Y源豐富多樣的特點(diǎn)，決定大力發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，一方面對(duì)現(xiàn)有旅游資源進(jìn)行升級(jí)改造，另一方面不斷提高旅游服務(wù)水平．為此該地區(qū)旅游部門(mén)對(duì)所推出的報(bào)團(tuán)游和自助游項(xiàng)目進(jìn)行了深入調(diào)查，下表是該部門(mén)從去年某月到該地區(qū)旅游的游客中，隨機(jī)抽取的100位游客的滿(mǎn)意度調(diào)查表．滿(mǎn)意度老年人中年人青年人報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游滿(mǎn)意121184156一般2164412不滿(mǎn)意116232(1)由上表中的數(shù)據(jù)分析，老年人、中年人和青年人這三類(lèi)人群中，哪一類(lèi)人群更傾向于選擇報(bào)團(tuán)游？(2)為了提高服務(wù)水平，該旅游部門(mén)要從上述樣本里滿(mǎn)意度為“不滿(mǎn)意”的自助游游客中，隨機(jī)抽取2人征集改造建議，求這2人中有老年人的概率；(3)若你朋友要到該地區(qū)旅游，根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，你會(huì)建議他選擇哪種旅游項(xiàng)目？解：(1)由題中表格數(shù)據(jù)可得老年人、中年人和青年人選擇報(bào)團(tuán)游的頻率分別為p1＝eq\f(15,18)＝eq\f(5,6)，p2＝eq\f(30,40)＝eq\f(3,4)，p3＝eq\f(22,42)＝eq\f(11,21)，因?yàn)閜1>p2>p3，所以老年人更傾向于選擇報(bào)團(tuán)游．(2)由題意得滿(mǎn)意度為“不滿(mǎn)意”的自助游人群中，老年人有1人，記為a；中年人有2人，分別記為b，c；青年人有2人，分別記為d，e.從中隨機(jī)選取2人，其可能情況為(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10種．其中所求事件“這2人中有老年人”包含的可能情況為(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，共4種，故這2人中有老年人的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(3)由題中表格數(shù)據(jù)可知，報(bào)團(tuán)游的滿(mǎn)意率為p4＝eq\f(12＋18＋15,15＋30＋22)＝eq\f(45,67)，自助游的滿(mǎn)意率為p5＝eq\f(1＋4＋6,3＋10＋20)＝eq\f(1,3).因?yàn)閜4>p5，故建議他選擇報(bào)團(tuán)游．(答案不唯一，言之有理即可給分)9．在某大型活動(dòng)中，甲、乙等五名志愿者被隨機(jī)地分到A，B，C，D四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率；(2)求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率；(3)求五名志愿者中僅有一人參加A崗位服務(wù)的概率．解：(1)記“甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)”為事件EA，那么P(EA)＝eq\f(Aeq\o\al(3,3),Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,40)，即甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率是eq\f(1,40).(2)記“甲、乙兩人同時(shí)參加同一崗位服務(wù)”為事件E，那么P(E)＝eq\f(Aeq\o\al(4,4),Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,10)，所以甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是P(E)＝1－P(E)＝eq\f(9,10).(3)有兩個(gè)人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率P2＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(3,3),Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，所以?xún)H有一人參加A崗位服務(wù)的概率P1＝1－P2＝eq\f(3,4).[B級(jí)綜合練]10．劉徽是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國(guó)寶貴的文化遺產(chǎn)，他提出的割圓術(shù)可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意的精度．割圓術(shù)的第一步是求圓的內(nèi)接正六邊形的面積．若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是()A.eq\f(3\r(3),4π) B.eq\f(3\r(3),2π)C.eq\f(1,2π) D.eq\f(1,4π)解析：選B.如圖所示，設(shè)圓的半徑為R，則圓的面積為πR2，圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為R，面積為6×eq\f(1,2)×R2×sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3)R2,2)，則所求的概率P＝eq\f(\f(3\r(3)R2,2),πR2)＝eq\f(3\r(3),2π).故選B.11.右圖由一個(gè)半圓和一個(gè)四分之一圓構(gòu)成，其中空白部分為二者的重合部分，兩個(gè)陰影部分分別標(biāo)記為A和M.在此圖內(nèi)任取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自A區(qū)域的概率記為P(A)，取自M區(qū)域的概率記為P(M)，則()A．P(A)>P(M)B．P(A)<P(M)C．P(A)＝P(M)D．P(A)與P(M)的大小關(guān)系與半徑長(zhǎng)度有關(guān)解析：選C.不妨設(shè)四分之一圓的半徑為1，則半圓的半徑為eq\f(\r(2),2).記A區(qū)域的面積為S1，M區(qū)域的面積為S2，則S2＝eq\f(1,2)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)π×12－S1))＝S1，所以P(A)＝P(M)，故選C.12．已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(1,x).(1)從區(qū)間(－2，2)內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)a，設(shè)事件A表示“函數(shù)y＝f(x)－2在區(qū)間(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)”，求事件A發(fā)生的概率；(2)若連續(xù)擲一枚均勻的骰子兩次(骰子六個(gè)面上標(biāo)注的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6)得到的點(diǎn)數(shù)分別為a和b，記事件B表示“f(x)>b在x∈(0，＋∞)上恒成立”，求事件B發(fā)生的概率．解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)－2在區(qū)間(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以f(x)－2＝0，即ax2－2x＋1＝0有兩個(gè)不同的正根x1和x2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠0,x1＋x2＝\f(2,a)>0,x1x2＝\f(1,a)>0,Δ＝4－