里程計算坐標(biāo)原理

關(guān)于交通建設(shè)中曲線坐標(biāo)、里程正反算的學(xué)習(xí)探究天下收藏2010-04-1715:39:25閱讀155評論0字號：大中小訂閱交通建設(shè)中曲線坐標(biāo)、里程正反算探究學(xué)習(xí)在公路，鐵路曲線橋梁和隧道測量中，有一些復(fù)雜的計算都與線路的線形有關(guān)，考慮到無論是公路還是鐵路，線路的線形都是由直線、圓曲線和緩和曲線等以不同的組合形式連接而成，為了使計算有規(guī)律，通用性強，適用于在計算機上計算，可以把任何一條線路的中線線形看作是由若干段圓曲線和緩和曲線兩種線段相間光滑連接而成。當(dāng)兩相鄰曲線段同為圓曲線或同為緩和曲線時，可以認(rèn)為其中夾了一段長度為零的緩和曲線或圓曲線以保持這兩種線段相間的性質(zhì)；同時把曲線中插入的直線段看作是半徑充分大的圓曲線。經(jīng)過這樣的處理后，線路中線的形狀就很有根據(jù)了。為了確定上述曲線，需要知道曲線起點坐標(biāo)和起點切線方位角作為計算的起算數(shù)據(jù)，此外還要知道各曲線段的長度和轉(zhuǎn)向及每個相接點的曲率半徑，為此設(shè)xi、yi、ai、Ri——第i段曲線起點處的坐標(biāo)，切線方位角和曲率半徑；Li、LRi——第i段曲線的長度和轉(zhuǎn)向，右轉(zhuǎn)LRi取值1,左轉(zhuǎn)則取值-1；Si——曲線起點到第i段曲線起點的弧長。顯然1=1（規(guī)定S：=0） （2-1）由此，若第i段中距曲線起點弧長為S處有一點J，則該點的曲率為（圓曲線段）' |關(guān)舍（廣，）+土!珥（緩和曲線段）C2-2）式中當(dāng)曲線段左轉(zhuǎn)時，曲率取的是負(fù)值，這樣便于計算。根據(jù)數(shù)學(xué)上給出的對一般曲線上一個點的切線方位角和坐標(biāo)計算公式x=十cosads』\ C2-3)pV=3+￡siiiff^'可以計算出J點的切線方位角a和坐標(biāo)（x,y）。為此，把式（22）代入式（23）得到實用計算公式如下:當(dāng)?shù)?段為圓曲線時x-x,+Rj(sina-sinat)LRtJ'=J?+RJCOS9—cosq)/^當(dāng)?shù)趇段為緩和曲線時。二Pl(.§+?),+#3牙二牌+&cosp~,-svsinp.v=J；+5Vsmp3+svcosp3式中P\==LR-z臭=亍逆3=%—Pl(明+L rtj其中k[=——k=—--hskg■&孔=7|^1（*+刀2）/2二7|^|（乩+#2）計算時按1=2,3,4,...順序代入式（24）中可求得各線段起點坐標(biāo)xi,yi和切線方位角a,然后對弧長為S的中樁J可求得其相應(yīng)值。在計算上述兩項積分Sx,Sy時，按級數(shù)展開式進(jìn)行，所取項數(shù)應(yīng)保證Sx,Sy精確到0.1mm。值得指出的是，在按式（24a）計算直線上點的坐標(biāo)時，由于所取半徑很大，由a和ai的舍入誤差將使坐標(biāo)計算產(chǎn)生相當(dāng)大的計算誤差。因此實際計算時，不能按式（24a）計算直線上點的坐標(biāo)，這時根據(jù)所取充分大的半徑判別出該段為直線，然后按下式計算直線上點的坐標(biāo)。IX=Xj+(s-sjcos/.v=v.+(s;-sina,時以上式（2-4a）、（2-4b）、（2-4c）是計算線路中線上任一中樁號的切線方位角和坐標(biāo)的通用計算公式。此外，過曲線外一點的直線與曲線相交的計算，也是橋隧控制測量中經(jīng)常遇見的問題。例如，曲線隧道進(jìn)洞關(guān)系的計算，就會出現(xiàn)這個問題。下面討論這一問題的計算方法。這類問題可分為兩種：一是過曲線外一點到曲線的垂距計算；二是直線和曲線的相交計算。由于曲線的線形很復(fù)雜，直接求解是困難的，但如果采用逐漸趨近法計算，則比較簡便，且更便于計算機計算。（1）、點到中線的垂距計算首先介紹一個公式，如圖2-1所示，A、B為已知點，aA、aB為由A、B出發(fā)的直線段的方位角，兩方向線交于C點，則兩相交線邊長為w二（土4——（JF—式中若取a=aA，則S=SB；取a=aB，則S=SA。且若aA（aB）的正向指向C點，則所求SA（SB）為正，反之為負(fù)。圖2-1中SA為正，SB為負(fù)。這個特性對于這種趨近計算是重要的。

如圖2-2所示，F(xiàn)為中線外一點，其坐標(biāo)xF,yF已知，現(xiàn)要計算F到中線的垂距FJ。為此，在中線上任取一初始樁號J1，按式（2-4）計算該樁號的切線方位角和坐標(biāo)aJ，xJ,yJ,過F作切線的垂線FG1，規(guī)定FG1的方向以指向切線的左方為正，反之為負(fù)。利用式（2-5）計算J1G1和FG1長，且若G1在切線前方則J1G1為正，反之為負(fù)；若F在切線右方，則FG1為正，反之為負(fù)。再在中線上取中樁號（2-6）J2=J1+J1G1（2-6）得J2點，重復(fù)以上計算過程，一般地有Ji+1=Ji+JiGi （2-7）得J1,J2，...Jm在計算終止得J=Jm，其坐標(biāo)等已相應(yīng)求得?！隇槿芜x的一充分小量，按所需精度取￡的值，通?？扇　?1mm。（￡得取值與Sx,Sy的計算精度有關(guān)，若取￡小于Sx,Sy的計算精度，則可能出現(xiàn)不收斂現(xiàn)象，這是要注意的）。同時根據(jù)FJm的符號可判斷F點在中線的左側(cè)或右側(cè)。關(guān)于該迭代計算的注釋：一、 （求中線外一點所對應(yīng)的中樁里程）因為中線外一點與其所對應(yīng)的里程中樁連線應(yīng)垂直于線路中線（垂足里程就是所求里程）。也就是說過該垂足關(guān)于線路中線的切線L1肯定是與垂足與中線外點的連線L2垂直的。反過來，當(dāng)中線上過某里程點的切線，該切點和上述過直線外點所做該切線垂線的垂足之間的距離（JmGm）小于某固定值（例如1mm）時，我們認(rèn)為該切點就近似是該垂足，該切點就是所求的對應(yīng)中樁點。這里我們把它暫時叫做切點與垂足趨近法。二、 如果連接FJ，那么當(dāng)FJ與FG的長度差值趨近于0時，J點即為所求對應(yīng)里程中樁。我們暫時把它叫做在以垂線為直角邊的三角形中直角邊和斜邊趨近法。值得注意的是，這兩種趨近的方式中，都應(yīng)當(dāng)以切點和垂足的連線長度做為推算里程的累加數(shù)。

（2）、直線與中線相交的計算如圖2-3,已知直線一端點F坐標(biāo)為xF,yF，過F的直線的方位角為aF,求該直線和中線交點J的樁號J和坐標(biāo)xJ，yJ及FJ長。（圖23）（圖23）4Ji+】=Ji+GiJi與前述趨近計算方法類似，在J點附近任取一樁號J1，按式（2-4）計算J1的切線方位角和坐標(biāo)aJ1、xJ1、yJ1，由J1出發(fā)的切線和過F點直線相交于G1,在^FJIGI中，按式（2-5）可計算出FG1和J1G1長，再在曲線上取樁號J2=J1+J1G1 （2-9）重復(fù)以上過程可得一系列點J1,J2，...Jm，當(dāng)時趨近過程結(jié)束，則J=Jm為交點樁號，F(xiàn)J為交線長，其它如交點坐標(biāo)等在計算過程中也已算出。以上兩種趨近算法基本類似，只要有式（2-4）的計算程序，編制以上趨近算法的程序是不難的。以上算法在計算曲線橋梁墩臺中心到線路中線的垂距計算、隧道進(jìn)洞關(guān)系計算及曲線測設(shè)中將會用到，它們比有關(guān)這方面的傳統(tǒng)算法要簡便得多。相關(guān)CASIO4800的完整曲線線形（直-緩-圓-緩-直）的坐標(biāo)-里程正反算程序如下，作為參考補充。（主程序） ZBZFSG"1=>XY:2=>KD”（輸入1表示由里程計算坐標(biāo)；輸入2表示有坐標(biāo)反算相應(yīng)里程）：A“PJ”（線路偏角）:R（半徑）：L“LH1”（第一段緩和曲線長）：V"LH2”（第二段緩和曲線長）：T“T1”（第一段切線長）：B“T2”（第二段切線長）：Z"ZHK”（直緩點里程）：F“FWJ”（線路的起算方位角）：Z[1]（直緩點X坐標(biāo)）=P"XJD”（交點的X坐標(biāo)）+TCos（F+180）:Z[2]（直緩點Y坐標(biāo)）=K"YJD”（交點的Y坐標(biāo)）+TSin（F+180）:U“R+1,L-1”（線路偏向，左負(fù)右正）：D"MAX”（隧道中相對于線路中的最大偏移量）:Z[3]=Z+L（緩圓點里程）：Z[4]（圓緩點里程）=Z+O（曲線總長）-V:Z[5]（緩直點里程）=Z+O（曲線總長）：G=1=>Goto0:#=>Goto1△；LbI0:{C}（輸入待求里程）:Z[7]=Abs（C-Z）（待求里程與直緩里程差值的絕對值）:Prog"KLT':XI=:X:Pause0:"YI=”:YAQ<0（該點對應(yīng)的切線方位角計算值）=>Q=Q+360:#=>Q>360=>Q=Q-360:#=>Qa“F=”:Q—DMSAGoto0；LbI1:{MN}:M"X”N"Y”（輸入待反算里程的散點縱橫坐標(biāo)）LbI5:C（假設(shè)的趨近起算里程點，離待求點越接近則計算程序運行時間越短）：Z[7]=Abs（C-Z）:Prog“KLT；（判斷該假設(shè)起算點在曲線上的位置，并計算出該點相應(yīng)的縱橫坐標(biāo)）S=-（（X-M）Sin（Q+90）-（Y-N）Cos（Q+90））（由公式 推導(dǎo)出切點至垂足的距離，因為分母=Sin（-90°）是-1，分子中xA,yA由以上假設(shè)起算點的x,y坐標(biāo)代替;xB,yB坐標(biāo)由上邊輸入的待求點的坐標(biāo)，即程序里的M，N變量的賦值代替，而角度a恰好是假設(shè)起算點的切線方位教+90度。）：AbsS<0.0001（當(dāng)切點和垂足之間的距離小于0.1毫米時，計算終止）=>“LC=”（所求的里程）：C:Pause0:“LP=”（隧道中和線路中線的偏距）W=（X-M）SinQ-（Y-N）CosQA“X=”：X：Pause0:“Y=”：YA“q=，，：Q—DMSA片>C=C+S（當(dāng)條件不滿足時，S作為累加數(shù)，繼續(xù)趨近計算）：Goto5aGoto1；（子程序） KL1C<Z（待求里程小于直緩里程）=>Prog"V1*=>*Z[3]（大于直緩點里程而小于緩圓點里程）=>Prog"V2”：#=>C<Z[4]（大于緩圓點里程而小于圓緩點里程）=>Prog"V3”#=>C<Z[5]（大于圓緩點里程而小于緩直點里程）=>Prog"V4”#=>（大于緩直點里程）Prog"V5”A；V1(第一段直線段上點坐標(biāo)計算程序)Z[8]=-Z[7]：Z[9]=0：Z[10]=0；Pol(Z[8],Z[9]):E=F+JU:Q=F+Z[10]U:X=Z[1]+ICosE:Y=Z[2]+ISinEV2(第一段緩和曲線上點坐標(biāo)計算程序)Z[8]=Z[7]-Z[7]A5-40-RA2-LA2:Z[9]=Z[7]A3-6-R-L-Z[7]A7-336-RA3-LA3:Z[10]=90Z[7]A2-R-L-n:Pol(Z[8],Z[9]):E=F+JU:Q=F+Z[10]U:Z[15]=Z[1]+ICosE:Z[16]=Z[2]+ISinE:X=Z[15]+(C-Z)-LxDCos(Q+90U):Y=Z[16]+(C-Z)-LxDsin(Q+90U)IV3(圓曲線上點坐標(biāo)的計算程序)Z[10]=90L+R+n+180(Z[7]-L)+R+n:Z[8]=RSinZ[10]+0.5L-LA3:240:RA2:Z[9]=R(1-CosZ[10])+LA2:24:R:Pol(Z[8],Z[9]):E=F+JU:Q=F+Z[10]U:Z[15]=Z[1]+ICosE:Z[16]=Z[2]+ISinE:X=Z[15]+DCos(Q+90U):Y=Z[16]+DSin(Q+90U)lV4(第二段緩和曲線上點坐標(biāo)的計算程序)Z[10]=90(O-Z[7])A2+R+V+n:Z[8]=(O-Z[7])-(O-Z[7])A5:40:RA2:VA2:Z[9]=(O-Z[7])A3:6:R:V-(O-Z[7])A7:336-RA3-VA3；Z[13]=F+UAlZ[13]<0=>Z[13]=Z[13]+360:#=>Z[13]>360=>Z[13]=Z[13]-360:#=>Z[13]A；Z[14]=Z[13]+180；Z[14]>360=>Z[14]=Z[14]-360:#=>Z[