固體物理第一二章習題解答

第一章習題畫出下列晶體的慣用原胞和布拉菲格子，指明各晶體的結構以及慣用原胞、初基原胞中的原子個數(shù)和配位數(shù)。氯化鉀；（2）氯化鈦；（3）硅；（4）砷化鎵；（5）碳化硅（6）鉭酸鋰；（7）鈹；（8）鉬；（9）鉑。解：名稱分子式結構慣用元胞布拉菲格子初基元胞中原子數(shù)慣用元胞中原子數(shù)配位數(shù)氯化鉀KClNaCl結構fcc286氯化鈦TiClCsCl結構sc228硅Si金剛石fcc284砷化鎵GaAs閃鋅礦fcc284碳化硅SiC閃鋅礦fcc284鉭酸鋰LiTaO3鈣鈦礦sc552、6、12O、Ta、Li鈹Behcp簡單六角2612鉬Mobccbcc128鉑Ptfccfcc1412試證明：理想六角密堆積結構的。如果實際的值比這個數(shù)值大得多，可以把晶體視為由原子密排平面所組成，這些面是疏松堆垛的。證明：如右圖所示，六角層內最近鄰原子間距為a，而相鄰兩層的最近鄰原子間距為：。當d=a時構成理想密堆積結構，此時有：，由此解出：。若時，則表示原子平面的層間距較理想結構的層間距大，因此層間堆積不夠緊密。畫出立方晶系中的下列晶向和晶面：[01]、[10]、[112]、[121]、（10）、（211）、（11）、（12）。解：鄰兩個平行晶面的間距為；(c)對于簡單立方晶格有。證明：（a）晶面（hkl）在基矢上的截距為。作矢量：，，顯然這三個矢量互不平行，均落在（hkl）晶面上（如右圖），且同理，有，所以，倒格矢晶面。（b）晶面族（hkl）的面間距為：（c）對于簡單立方晶格：用X光衍射對Al作結構分析時，測得從(111)面反射的波長為1.54?，反射角為=19.20，求面間距d111。解：由布拉格反射模型，認為入射角＝反射角，由布拉格公式：2dsin=，可得（對主極大取n=1）試證明：勞厄方程與布拉格公式是等效的。證明：由勞厄方程：與正倒格矢關系：比較可知：若成立，即入射波矢，衍射波矢之差為任意倒格矢，則方向產(chǎn)生衍射光，式稱為倒空間勞厄方程又稱衍射三角形。現(xiàn)由倒空間勞厄方程出發(fā)，推導Blagg公式。對彈性散射：。由倒格子性質，倒格矢垂直于該晶面族。所以，的垂直平分面必與該晶面族平行。由右圖可知：(A)又若為該方向的最短倒格矢，由倒格矢性質有：；若不是該方向最短倒格失，由倒格子周期性：（B）比較（A）、（B）二式可得：2dSin＝n即為Blagg公式。求金剛石的幾何結構因子，并討論衍射面指數(shù)與衍射強度的關系。解：每個慣用元胞中有八個同類原子，其坐標為：結構因子：前四項為fcc的結構因子，用Ff表示從后四項提出因子因為衍射強度，用尤拉公式整理后：討論：1、當h、k、l為奇異性數(shù)（奇偶混雜）時，，所以；2、當h、k、l為全奇數(shù)時，；3、當h、k、l全為偶數(shù)，且（n為任意整數(shù)）時，當h、k、l全為偶數(shù)，但，則時，證明第一布里淵區(qū)的體積為，其中Vc是正格子初基原胞的體積。證明：根據(jù)正、倒格子之間的關系：，；Vc是正格子初基原胞的體積，第一布里淵區(qū)的體積為就為倒格子原胞的體積，即第二章習題1、已知某晶體兩相鄰原子間的互作用能可表示成：，求：=1\*GB2⑴晶體平衡時兩原子間的距離；=2\*GB2⑵平衡時的二原子間的互作用能；=3\*GB2⑶若取m=2，n=10，兩原子間的平衡距離為3?，僅考慮二原子間互作用則離解能為4eV，計算a及b的值；=4\*GB2⑷若把互作用勢中排斥項改用玻恩－梅葉表達式，并認為在平衡時對互作用勢能具有相同的貢獻，求n和p間的關系。解：(1)由，平衡時：，得：，化簡后得：。(2)平衡時把r0表示式代入U(r)中：。（3）由r0表示式得：若理解為互作用勢能為二原子平衡時系統(tǒng)所具有的能量，由能量最小原理，平衡時系統(tǒng)能量具有極小值，且為負值；離解能和結合能為要把二原子拉開，外力所作的功，為正值，所以，離解能＝結合能＝－互作用勢能，由U(r)式的負值，得：化簡為：略去第二項計算可得：(4)由題意得：*，，則：又解：*式兩邊對r0求導，得：，與*式比較得：可解得：2、N對離子組成的Nacl晶體相互作用勢能為：。=1\*GB2⑴證明平衡原子間距為：；=2\*GB2⑵證明平衡時的互作用勢能為：；=3\*GB2⑶若試驗試驗測得Nacl晶體的結合能為765kJ/mol，晶格常數(shù)為5.6310-10m，計算Nacl晶體的排斥能的冪指數(shù)n，已知Nacl晶體的馬德隆常數(shù)是＝1.75。證明：（1）由：得：令：，即得：。（2）把以上結果代入U(R)式，并把R取為R0，則：若認為結合能與互作用能符號相反，則上式乘“－”。（3）由（2）之結論整理可得：式中：N，庫侖，法/米若題中R0為異種原子的間矩，則：；U（平衡時互作用勢能取極小值，且為負，而結合能為正值）馬德隆常數(shù)：，將這些一致數(shù)據(jù)代入n的表達式中，則：3、如果把晶體的體積寫成：V＝NR3，式中N是晶體中的粒子數(shù)；R是最近鄰粒子間距；是結構因子，試求下列結構的值：=1\*GB2⑴fcc；=2\*GB2⑵bcc；=3\*GB2⑶NaCl；=4\*GB2⑷金剛石。解：取一個慣用元胞來考慮：結構V0N0R0fcca34bcca32NaCla381金剛石a384、證明：由兩種離子組成的間距為R0的一維晶格的馬德隆常數(shù)。[已知]證明：由馬德隆常數(shù)的定義：，其中同號離子取“－”，異號離子取“＋”。若以一正離子為參考點，則：(A)又由已知，代入（A）式，則：5、假定由2N個交替帶電荷為的離子排布成一條線，其最近鄰之間的排斥勢為，試證明在平衡間距下有：。證明：由，得：令：，即得：。把該式代入U(R)式，并把R取為R0，則：(A)由馬德隆常數(shù)的定義：，其中同號離子取“－”，異號離子取“＋”。若以一正離子為參考點，則：(B)又由已知，代入（B）式，則：。將代入(A)式，得：。6、試說明為什么當正、負離子半徑比時不能形成氯化銫結構；當時不能形成氯化鈉結構。當時將形成什么結構？已知RbCl、AgBr及BeS中正、負離子半徑分別為：晶體r+/nmr-/nmRbClAgBrBeS0.1490.1130.0340.1810.1960.174若把它們看成是典型的離子晶體，試問它們具有什么晶體結構？若近似地把正、負離子都看成是硬小球，請計算這些晶體的晶格常數(shù)。解：通常，當組成晶體時，可以認為正、負離子球相互密接。對氯化銫結構，如圖（a）所示，8個正離子組成立方體，負離子處在立方體的中心，所以立方體的對角線，立方體的邊長為：為了能構成氯化銫結構晶體，負離子的直徑必須小于立方體的邊長a，即，由此可得：。即為了能構成氯化銫結構晶體，必須小于1.37。（a）（b）（c）對于氯化鈉結構，如圖（b）所示為氯化鈉結構的一個慣用原胞（100）面的離子分布情況，這里設正離子處在頂角，由圖可見，，則。所以，構成氯化鈉結構必須小于2.41。對于閃鋅礦結構，如圖（c）所示為閃鋅礦結構的一個慣用原胞（110）面的離子分布，這