第三章3.23.2.2第1課時雙曲線的簡單幾何性質課件高中數(shù)學人教A版選擇性

第1課時雙曲線的簡單幾何性質第三章

雙曲線的簡單幾何性質本資料分享自千人教師QQ群323031380期待你的加入與分享1.掌握雙曲線的簡單幾何性質.2.理解雙曲線離心率的定義、取值范圍和漸近線方程.學習目標在研究橢圓的幾何性質時，我們從圖形、方程、范圍、頂點、軸長、焦點、對稱性、離心率等多方面進行了研究，下面我們類比研究橢圓性質的方法研究雙曲線的性質.導語隨堂演練課時對點練一、雙曲線的幾何性質二、由雙曲線的幾何性質求標準方程三、求雙曲線的離心率內容索引一、雙曲線的幾何性質提示1.范圍所以x≥a

或x≤－a;y∈R.2.對稱性x軸、y軸是雙曲線的對稱軸，原點是對稱中心，又叫做雙曲線的中心.3.頂點(1)雙曲線與對稱軸的交點，叫做雙曲線的頂點.頂點是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有兩個.(2)如圖，線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長為2a，a叫做實半軸長；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長為2b，b叫做雙曲線的虛半軸長.(3)實軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線.方程為x2－y2＝m(m≠0).4.漸近線(2)利用漸近線可以較準確的畫出雙曲線的草圖.5.離心率(2)e的范圍：e>1.(3)e的含義：因為c>a>0，所以可以看出e>1，焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程_________________________________________圖形

知識梳理性質范圍_______________________________對稱性對稱軸：

；對稱中心：_____頂點坐標________________________________________漸近線_______________________離心率e＝

，e∈

，其中c＝

a，b，c間的關系c2＝

(c>a>0，c>b>0)x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a坐標軸原點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)(1，＋∞)a2＋b2注意點：(1)雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“張口”大小，e越大，開口越大.(2)等軸雙曲線的離心率為

漸近線方程為y＝±x.(3)雙曲線的漸近線方程要注意焦點所在軸的位置.(4)焦點到漸近線的距離為b.例1

(教材P124例3改編)求雙曲線9y2－4x2＝－36的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率、漸近線方程.因此頂點坐標為A1(－3,0)，A2(3,0)，實軸長2a＝6，虛軸長2b＝4，延伸探究

若將雙曲線的方程變?yōu)閚x2－my2＝mn(m>0，n>0)，求雙曲線的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程.反思感悟由雙曲線的方程研究幾何性質(1)把雙曲線方程化為標準形式是解決此類題的關鍵.(2)由標準方程確定焦點位置，確定a，b的值.(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質.跟蹤訓練1

求雙曲線25y2－16x2＝400的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程.由此可知，實半軸長a＝4，虛半軸長b＝5；二、由雙曲線的幾何性質求標準方程例2

求滿足下列條件的雙曲線的方程：①②聯(lián)立，無解.聯(lián)立③④，解得a2＝8，b2＝32.反思感悟由雙曲線的性質求雙曲線的標準方程(1)根據(jù)雙曲線的某些幾何性質求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉化為解方程(組)，但要注意焦點的位置，從而正確選擇方程的形式.(2)巧設雙曲線方程的技巧③漸近線方程為ax±by＝0的雙曲線方程可設為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).跟蹤訓練2

求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，解當所求雙曲線的焦點在x軸上時，當所求雙曲線的焦點在y軸上時，三、求雙曲線的離心率√又由圓C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圓心為C(0,5)，半徑r＝2，反思感悟求雙曲線離心率的方法(1)直接法：若可求得a，c，則直接利用e＝

得解.(2)解方程法：若得到的是關于a，c的齊次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，則轉化為關于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，所以c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0，1.知識清單：(1)雙曲線的幾何性質.(2)等軸雙曲線.(3)雙曲線的離心率.2.方法歸納：待定系數(shù)法、直接法、解方程法.3.常見誤區(qū)：求雙曲線方程時位置關系考慮不全面致錯.課堂小結隨堂演練1.(多選)已知雙曲線方程為x2－8y2＝32，則A.實軸長為 B.虛軸長為4C.焦距為6 D.離心率為√1234√√2.雙曲線

的左焦點與右頂點之間的距離等于√1234解析由已知得左焦點的坐標為(－5,0)，右頂點的坐標為(3,0)，所以左焦點與右頂點之間的距離等于8.3.中心在原點，焦點在x軸上，且一個焦點在直線3x－4y＋12＝0上的等軸雙曲線的方程是A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4√1234解析令y＝0，得x＝－4，∴等軸雙曲線的一個焦點為(－4,0)，12341234課時對點練√基礎鞏固123456789101112131415162.已知雙曲線的實軸和虛軸等長，且過點(5,3)，則雙曲線方程為√解析由題意知，所求雙曲線是等軸雙曲線，設其方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，將點(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，12345678910111213141516√123456789101112131415164.設雙曲線

(a>0)的漸近線方程為3x±2y＝0，則a的值為√解析由雙曲線的幾何性質可得，12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516|PF|的最小值為c－a＝2，D正確.√12345678910111213141516123456789101112131415168.若一雙曲線與橢圓4x2＋y2＝64有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該雙曲線的方程為____________.12345678910111213141516a2＝64，c2＝64－16＝48，從而a′＝6，b′2＝12，9.求適合下列條件的雙曲線的標準方程.(1)兩頂點間的距離是6，兩焦點所連線段被兩頂點和中心四等分；解由兩頂點間的距離是6，得2a＝6，即a＝3.由兩焦點所連線段被兩頂點和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.12345678910111213141516(2)漸近線方程為2x±3y＝0，且兩頂點間的距離是6.解設雙曲線方程為4x2－9y2＝λ(λ≠0)，1234567891011121314151612345678910111213141516又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，兩邊同時除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，12345678910111213141516于是雙曲線的離心率為2.√12345678910111213141516綜合運用又2c＝10，∴c＝5.由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.1234567891011121314151612.若雙曲線與橢圓

有相同的焦點，它的一條漸近線方程為y＝－x，則雙曲線的方程為A.y2－x2＝96 B.y2－x2＝160C.y2－x2＝80 D.y2－x2＝24√解析設雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，1234567891011121314151612345678910111213141516√解析由題意得|PF2|＝|F1F2|＝2c，設直線PF1與圓(x－c)2＋y2＝c2相切于點T，則PF1⊥TF2，|TF2|＝c，123456789101112131415161234567891011121314151632所以|PQ|＝12.雙曲線圖象如圖.|PF|－|AP|＝2a＝4，

①|QF|－|QA|＝2a＝4，

②①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝8，∴周長為|PF|＋|QF|＋|PQ|＝8＋2|PQ|＝32.12345678910111213141516√拓廣探究12345678910111213141516√√△APF1的周長不小于14，即周長的最小值不小于14，可得|PA|＋|PF1|的最小值不小于9，又F2為雙曲線的左焦點，可得|PF1|＝|PF2|＋2a，|PA|＋|PF1|＝|PA|＋|PF2|＋2a

，當A，P，F(xiàn)2三點共線時，|PA|＋|PF2|＋2a取最小值5＋2