201X-202x學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章集合1.2集合的基本關(guān)系北師大版必修1

§2集合的根本關(guān)系1.2.一二三四五一、子集

符號(hào)“∈〞與“?〞的區(qū)別(1)“∈〞是表示元素與集合之間的關(guān)系,比方1∈N,-1?N.(2)“?〞是表示集合與集合之間的關(guān)系,比方N?R,{1,2,3}?{3,2,1}.(3)“∈〞的左邊是元素,右邊是集合,而“?〞的兩邊均為集合.3.一二三四五二、Venn圖為了直觀地表示集合間的關(guān)系,我們常用封閉曲線的內(nèi)部表示集合,稱為Venn圖.如下圖,集合A是集合B的子集.4.一二三四五三、集合相等

【做一做1】以下說(shuō)法不正確的選項(xiàng)是()A.{0,1,2}={2,1,0}B.?={x∈R|x2+1=0}C.{(1,2)}={1,2}D.假設(shè)M,N,Q表示集合,且M=Q,N=Q,那么M=N解析:根據(jù)集合相等的定義可知A,B,D正確,C錯(cuò)誤,應(yīng)選C.答案:C5.一二三四五四、真子集

【做一做2】

用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空(?,=,?).(1){0,1}

N;

(2){2}

{x|x2=x};

(3){2,1}

{x|x2-3x+2=0}.

答案:(1)?

(2)?

(3)=6.一二三四五五、兩個(gè)規(guī)定(1)空集是任何集合的子集,即??A.(2)空集是任何非空集合的真子集,即??A(A≠?).【做一做3】以下表述正確的有()①空集沒(méi)有子集;②任何集合都有至少兩個(gè)子集;③空集是任何集合的真子集;④假設(shè)A≠?,那么??A.A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)解析:???,故①錯(cuò)誤;?只有一個(gè)子集,即它本身,故②錯(cuò)誤;空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,故③錯(cuò)誤;④正確,應(yīng)選B.答案:B【做一做4】集合A={-1,1}的所有子集有.

答案:?,{-1},{1},{-1,1}7.一二三四五思考辨析判斷以下說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√〞,錯(cuò)誤的打“×〞.(1)假設(shè)一個(gè)集合中含有n個(gè)元素,那么該集合的非空子集個(gè)數(shù)為2n.()(2)空集是任意集合的子集.()(3)?與{?}的關(guān)系為?={?}.()答案:(1)×(2)√(3)×8.探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析判斷集合間的關(guān)系【例1】

判斷以下給出的各對(duì)集合之間的關(guān)系.(1)A={x|x是矩形},B={x|x是平面四邊形};(2)A={x|x2-x=0},B={x|x2-x+1=0};(3)A={x|0<x<1},B={x|0<x<3};(4)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z}.分析:對(duì)于(1)(4),可分析集合中元素的特征性質(zhì)判斷兩集合的關(guān)系;對(duì)于(2),要注意空集的特殊性;對(duì)于(3),可借助數(shù)軸進(jìn)行判斷.9.探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析解:(1)由于矩形一定是平面四邊形,但平面四邊形不一定是矩形,由真子集定義知,集合A是集合B的真子集,即A?B.(2)由于A={x|x2-x=0}={0,1},而集合B中的方程x2-x+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解,即B=?,所以B?A.(3)由數(shù)軸(如下圖)可知A?B.(4)當(dāng)k∈Z時(shí),2k-1是奇數(shù),且能取到所有的奇數(shù);當(dāng)k∈Z時(shí),2k+1也是奇數(shù),也能取到所有的奇數(shù),因此集合A和集合B都表示所有奇數(shù)的集合,即A=B.10.探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系的方法(1)對(duì)于有限集合,特別是元素個(gè)數(shù)較少時(shí),可將元素一一列舉出來(lái)進(jìn)行判斷;(2)對(duì)于無(wú)限集合,特別是用描述法表示的集合,應(yīng)從特征性質(zhì)入手進(jìn)行分析判斷,看其元素之間具備什么關(guān)系,從而得到集合間的關(guān)系;(3)當(dāng)集合是不等式的解集時(shí),可借助數(shù)軸分析判斷集合間的關(guān)系.11.探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析A.M?N B.M?NC.N?M D.N?M解析:設(shè)n=2m或n=2m+1,m∈Z,答案:B12.探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析確定給定集合的子集、真子集【例2】

寫(xiě)出集合M={x|x(x-1)2(x-2)=0}的所有子集,并指明哪些是集合M的真子集.分析:先解方程x(x-1)2(x-2)=0,求出其所有的根,從而確定集合M中的元素,再按照子集、真子集的定義寫(xiě)出子集,并判斷哪些是真子集.解:解方程x(x-1)2(x-2)=0,可得x=0或x=1或x=2,故集合M={0,1,2}.由0個(gè)元素構(gòu)成的子集為?;由1個(gè)元素構(gòu)成的子集為{0},{1},{2};由2個(gè)元素構(gòu)成的子集為{0,1},{0,2},{1,2};由3個(gè)元素構(gòu)成的子集為{0,1,2}.因此集合M的所有子集為?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.其中除集合{0,1,2}以外,其余的子集全是集合M的真子集.13.探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析1.求一個(gè)有限集合的子集(真子集)時(shí),首先要確定該集合的全部元素,然后按照子集中所含元素的個(gè)數(shù)分類(lèi),分別寫(xiě)出符合要求的子集(真子集).在寫(xiě)子集時(shí),注意不能忘記空集和集合本身.2.與子集、真子集個(gè)數(shù)有關(guān)的四個(gè)結(jié)論假設(shè)集合A中含有n個(gè)元素,那么有:(1)A的子集的個(gè)數(shù)為2n;(2)A的真子集的個(gè)數(shù)為2n-1;(3)A的非空子集的個(gè)數(shù)為2n-1;(4)A的非空真子集的個(gè)數(shù)為2n-2.14.探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練2假設(shè){1,2,3}?A?{1,2,3,4,5},那么集合A的個(gè)數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.5解析:集合{1,2,3}是集合A的真子集,同時(shí)集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.答案:B15.探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析集合相等及其應(yīng)用【例3】集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},假設(shè)A=B,求x,y的值.分析:A=B→列方程組→解方程組求x,y解:∵A=B,∴集合A與集合B中的元素相同.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)x=0,y=0時(shí),A={2,0,0},這與集合元素的互異性相矛盾,舍去.16.探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析1.判斷兩個(gè)集合相等可以看兩個(gè)集合中的元素是否相同,有兩種方法:(1)將兩個(gè)集合的元素一一列舉出來(lái),進(jìn)行比較;(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素滿足的條件是否一致,假設(shè)均一致,那么兩個(gè)集合相等.2.兩個(gè)集合相等的問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為解方程(組),但要注意最后需檢驗(yàn),看是否滿足集合元素的互異性.3.找好問(wèn)題的切入點(diǎn)是解決集合相等問(wèn)題的關(guān)鍵.17.探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析答案:118.探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析根據(jù)子集關(guān)系確定參數(shù)范圍【例4】集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.(1)假設(shè)a=-1,試判斷集合A,B之間是否存在子集關(guān)系;(2)假設(shè)A?B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析:(1)令a=-1,寫(xiě)出集合B,分析兩個(gè)集合中元素之間的關(guān)系,判斷其子集關(guān)系;(2)根據(jù)集合B是否為空集進(jìn)行分類(lèi)討論,然后把兩集合在數(shù)軸上標(biāo)出,根據(jù)子集關(guān)系確定端點(diǎn)值之間的大小關(guān)系,進(jìn)而列出參數(shù)a所滿足的條件.19.探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析解:(1)假設(shè)a=-1,那么B={x|-5<x<-3}.如圖在數(shù)軸上標(biāo)出集合A,B.

由圖可知,B?A.(2)由A?B.①當(dāng)B=?時(shí),2a-3≥a-2,解得a≥1.顯然成立.②當(dāng)B≠?時(shí),2a-3<a-2,解得a<1.由A?B,如圖在數(shù)軸上表示出兩個(gè)集合,

又因?yàn)閍<1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為-1≤a<1.20.探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析1.兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)的值(或范圍)時(shí),要明確集合中的元素,通常依據(jù)相關(guān)的定義,把這兩個(gè)集合中元素的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解方程(組)或解不等式(組).2.對(duì)于給定的集合是不等式的解集時(shí),這類(lèi)問(wèn)題通常借助數(shù)軸,利用數(shù)軸分析法,將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來(lái),以形定數(shù),還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值,做到準(zhǔn)確無(wú)誤,一般含“=〞用實(shí)心點(diǎn)表示,不含“=〞用空心圓圈表示.21.探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練4(1)【例4】(2)中,是否存在實(shí)數(shù)a,使得A?B?假設(shè)存在,求出實(shí)數(shù)a的取值范圍;假設(shè)不存在,試說(shuō)明理由.(2)假設(shè)集合A={x|x<-5,或x>2},且A?B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)因?yàn)锳={x|-5<x<2},所以假設(shè)A?B,那么B一定不是空集.(2)①當(dāng)B=?時(shí),2a-3≥a-2,解得a≥1.顯然成立.②當(dāng)B≠?時(shí),2a-3<a-2,解得a<1.由A?B,如圖在數(shù)軸上表示出兩個(gè)集合,

由圖可知2a-3≥2或a-2≤-5,解得a≥或a≤-7.又因?yàn)閍<1,所以a≤-7.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥1或a≤-7.22.探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析無(wú)視空集這一情況而致誤【典例】集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|mx-1=0},假設(shè)Q?P,那么實(shí)數(shù)m的值為.

錯(cuò)解:由P={x|x2+x-6=0},得P={-3,2};錯(cuò)因分析:當(dāng)集合Q=?,即m=0時(shí),顯然也滿足Q?P,錯(cuò)解中少了這種情況.23.探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析24.探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析空集是一種特殊的集合,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,當(dāng)Q?P時(shí),Q為空集的情況容易被忽略,因此,當(dāng)條件不明確時(shí),要注意分情況來(lái)討論,此題中假設(shè)不考慮Q為空集的情況,將會(huì)丟掉m=0這個(gè)解.25.123451.如下圖,對(duì)A,B,C,D的關(guān)系描述正確的選項(xiàng)是()A.B?C B.D?AC.A?B D.A?C解析:結(jié)合圖示及子集的概念可知,A中的任一元素,都是C中的元素,且C中存在元素不在A中,故A?C.答案:D26.123452.集合A={x|x2=x,x∈R},滿足條件B?A的所有集合B的個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析:∵A={0,1},B?A,∴集合B的個(gè)數(shù)為22=4.答案:D27.123453.在以下各式中:①1∈{0,1,2};②{1}?{