等差數(shù)列概念

等差數(shù)列等差數(shù)列的定義：一般地，如果一數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。1．觀察以下幾個數(shù)列：①4，5，6，7，8，9，10；②3，0，-3，-6，…；③1/10，2/10，3/10，4/10，…2．判斷題：①數(shù)列３，３，３，3，…是等差數(shù)列。（）②若an－an+1=3(n∈N*)，則{an}是公差為3的等差數(shù)列。（）③若a2－a1=a3－a2,則數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列（）

1、等差數(shù)列要求從第2項起，后一項與前一項作差。不能顛倒。

2、作差的結(jié)果要求是同一個常數(shù)?？梢允钦龜?shù)，也可以是０和負數(shù)。對等差數(shù)列的定義的理解1．如果一個數(shù)列，不是從第2項起，而是從第3項起或第4項起，每一項與它前一項的差是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列不是等差數(shù)列．2．一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差盡管等于常數(shù)，這個數(shù)列也不一定是等差數(shù)列，因為這些常數(shù)不一定相同．當這些常數(shù)不同時，此數(shù)列不是等差數(shù)3．求公差時，要注意相鄰兩項相減的順序d=an+1-an(n≥1)或d=an-an-1(n≥2)4.要判斷一個數(shù)列是不是等差數(shù)列，只要看對于任意正整數(shù)n，an-an-1，是不是通一個常數(shù)，切記不可通過計算a2-a1,a3-a2等有限的幾個式子的值后，發(fā)現(xiàn)它一個常數(shù)，就得出該數(shù)列為等差數(shù)列的結(jié)論3、由定義歸納通項公式a2－a1=d，a3－a2=d，a4－a3=d，……則a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d……由此得到an=a1+(n－1)dan－1－an－2=d,an

－an－1=d.這（n－1）個式子迭加an－a1=(n－1)d當n=1時，上式兩邊均等于a1，即等式也成立的。這表明當n∈N*時上式都成立，因而它就是等差數(shù)列{an}的通項公式。等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d

中，an,a1,n，d這四個變量，知道其中三個量就可以求余下的一個量。探究:如果等差不知道首項a1，

而已知am，d,通項公式an怎么表示等差數(shù)列的變形公式：an=am+（n—m）·d1.定義：an-an-1=d（d為常數(shù)）（n≥2）3.等差數(shù)列的變形公式：an=am+（n—m）·d2.等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d

小結(jié)1.求等差數(shù)列3，7，11······的第4項與第10項。答案：a4=15a10=392.100是不是等差數(shù)列2，9，16······的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由。答案：是第15項。3.-20是不是等差數(shù)列0,-3.5,-7···的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由。解：a1=0,d=-3.5∴-20不是這個數(shù)列中的項。n=47/7-20=0+(n-1)×(-3.5)例2

某市出租車的計價標準為1.2元/千米，起步價為10元，即最初的4千米（不含4千米）計費10元。如果某人乘坐該市的出租車去往14千米處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少車費？解：根據(jù)題意，當該市的出租車的行程大于或等于4千米時，每增加1千米，乘客需要支付1.2元。所以，我們可以建立一個等差數(shù)列來計算車費。令，表示4千米處的車費，公差d=1.2，那么，當出租車行至14千米處時，n=11,此時需要支付車費

（元）答：需要支付車費23.2元。例3已知數(shù)列的通項公式為，其中p,q為常數(shù)，且，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？分析：判斷是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)解：取數(shù)列中的任意相鄰兩項求差得它是一個與n無關(guān)的數(shù)，所以是等差數(shù)列上面的命題中的等式兩邊有相同數(shù)目的項，如a1+a2=a3成立嗎？【說明】3.更一般的情形，an=，d=等差數(shù)列的性質(zhì)1.{an}為等差數(shù)列

2.a、b、c成等差數(shù)列

an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b為常數(shù)）am+(n-m)db為a、c的等差中項AA2b=a+c4.在等差數(shù)列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq

若1,b,15成等差數(shù)列，則b=___練;在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________．

解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.

2.在等差數(shù)列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20例題分析(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a84.已知等差數(shù)列{an}的公差是正數(shù),并且a3a7=-12,a4+a6=-4,求數(shù)列{an}的通項公式.名師導(dǎo)引:先由等差數(shù)列的性質(zhì)得a3+a7=a4+a6=-4,再聯(lián)立a3a7=-12求出a3,a7,進而求a1和d.解:由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)知,a3+a7=a4+a6,從而a3a7=-12,a3+a7=-4,故a3,a7是方程x2+4x-12=0的兩根,又d>0,解之,得a3=-6,a7=2.則an=a1+(n-1)d=-10+(n-1)×2=2n-12,即an=2n-12.3．等差數(shù)列通項的設(shè)法(1)通項法：設(shè)數(shù)列的通項公式，即設(shè)an=a1+(n-1)d

(2)對稱項設(shè)法：當?shù)炔顢?shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)時，可設(shè)

中間一項為a，再以公差為d向兩邊分別設(shè)項為：…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…

當?shù)炔顢?shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)時，可設(shè)中間兩項分別為a-d，a+d，再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項為，…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…

對稱項設(shè)法的優(yōu)點：若有n個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列．利用對稱項設(shè)出這個數(shù)列，則其各項和為na．5.(1)三個數(shù)成等差數(shù)列,和為6,積為-24,求這三個數(shù);(2)四個數(shù)成遞增等差數(shù)列,中間兩數(shù)的和為2,首末兩項的積為-8,求這四個數(shù).6.一個首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，如果前六項均為正數(shù)，第七項起為負數(shù)，則它的公差是多少？解：由題意得，a6=a1+5d＞0a7=a1+6d＜07.已知等差數(shù)列{an}的首項為30，這個數(shù)列從第12項起為負數(shù)，求公差d的范圍。解：a12=30+11d＜0a11=30+10d≥0∵d∈Z∴d=-4∴-23/5＜d＜-23/6∴-3≤d＜-30/11即公差d的范圍為：-3≤d＜-30/118.直角三角形的三邊a,b,c成等差數(shù)列（c為斜邊），則a:b:c=___9．(2014·福建卷)等差數(shù)列{an}，若a1＝2，a1+a2+a3＝12，則a6等于

A．8 B．10 C．12 D．1410．(2014·北京卷)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當n＝________時，{an}的前n項和最大．

解析因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.∴當n＝8時，其前n項和最大3.(1)若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列的項數(shù)為 (

) A．13 B．12 C．11 D．1(2)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37等(

) A．0 B．37C．100D．－37總結(jié)等差數(shù)列的常見性質(zhì)(1)對稱性:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=am+

(n>m);(2)若m,n,p,q均為正整數(shù),則m+n=p+q?

;(3)若m,p,n均為正整數(shù)且m,p,n成等差數(shù)列,則am,ap,an也成等差數(shù)列;(4)an=a1+(n-1)d=a2+(n-2)d=…=am+

;(5)若數(shù)列{an}成等差數(shù)列,則數(shù)列{λan+b}(λ,b為常數(shù))仍為等差數(shù)列;(6){an}和{bn}均為等差數(shù)列,則{an±bn}也是等差數(shù)列;(7){an}的公差為d,①d>0?{an}為遞增數(shù)列;②d<0?{an}為遞減數(shù)列;③d=0?{an}為常數(shù)列.an-m+1am+an=ap+aq(n-m)d2.三數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為12，首尾二數(shù)的積為12，求此三數(shù).1.已知{an}為等差數(shù)列且a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d.[思想方法]1．判斷數(shù)列為等差數(shù)列的方法 (1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列. (3)通項公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (4)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．2．方程思想和化歸思想：在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過建立方程(組)獲得解．3．在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時，可設(shè)三個數(shù)為(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a