2023-2024學(xué)年浙江省杭州市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年浙江省杭州市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)給定的條件，利用交集的定義求解作答.【詳解】集合，，則.故選：D2．的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．或【正確答案】C【分析】解不等式，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】解不等式可得或，因?yàn)榛?，故只有C選項(xiàng)中的條件才是“”的充分不必要條件.故選：C.3．在中，點(diǎn)D滿足，則（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量的線性運(yùn)算求解作答.【詳解】在中，點(diǎn)D滿足，則.故選：A4．已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為20，則當(dāng)該扇形的面積最大時(shí)，其圓心角的弧度為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【正確答案】B【分析】設(shè)扇形所在圓的半徑為r，結(jié)合已知，用r表示出扇形面積，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解作答.【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為r，則扇形弧長(zhǎng)，，于是扇形的面積，即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以所求圓心角的弧度為.故選：B5．在直角坐標(biāo)系中，若角的終邊繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角.已知角的終邊經(jīng)過(guò)，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】利用三角函數(shù)定義求出，再利用差角的余弦公式求解作答.【詳解】依題意，，因此，又角的終邊繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角，則，所以.故選：B6．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，2小時(shí)后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【正確答案】A【分析】由題設(shè)作示意圖，應(yīng)用正弦定理求B，C兩點(diǎn)間的距離即可.【詳解】由題設(shè)可得如下示意圖，且，即，由圖知：，則，又，所以，則海里.故選：A7．函數(shù)，將圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像，若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則a的值為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】先求出的解析式，在結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性性質(zhì)列方程求a的值，并對(duì)結(jié)論加以檢驗(yàn)即可.【詳解】依題意，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，取可得，，所以，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，其對(duì)稱軸方程為，即，取可得，即為函數(shù)的對(duì)稱軸，所以；故選：A.8．已知，若有三個(gè)不同的解，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】探討函數(shù)的性質(zhì)，求出的取值范圍，再結(jié)合方程解的意義把表示成的函數(shù)，求出函數(shù)的值域作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，函數(shù)的取值集合為，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，于是當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取值集合為，且當(dāng)時(shí)，恒有，由有三個(gè)不同的解，且，得，且，是方程的不等實(shí)根，由得：，則有，而因此，由對(duì)勾函數(shù)知函數(shù)在上單調(diào)遞減，即有，所以的取值范圍是.故選：D關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及用分段函數(shù)零點(diǎn)特性求參數(shù)范圍問(wèn)題，可以先獨(dú)立分析各段上的零點(diǎn)，再綜合考查所有零點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.二、多選題9．已知平面向量，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若與的夾角為銳角，則 D．若，則在上的投影向量為【正確答案】BD【分析】利用向量模及共線向量的坐標(biāo)表示，計(jì)算判斷AB；利用向量夾角公式計(jì)算判斷C；求出投影向量判斷D作答.【詳解】平面向量，，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，因此，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則有，解得，B正確；對(duì)于C，與的夾角為銳角，則且與不共線，當(dāng)時(shí)，，解得，由B選項(xiàng)知，當(dāng)時(shí)，與不共線，因此，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，而，因此在上的投影向量為，D正確.故選：BD10．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則一定是鈍角三角形B．若，則C．若中，則為等腰三角形D．若為銳角三角形，則【正確答案】AB【分析】利用余弦定理可判斷A選項(xiàng)；利用正弦定理可判斷B選項(xiàng)；利用余弦定理判斷的形狀，可判斷C選項(xiàng)；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，故角為鈍角，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，即，整理可得，所以，或，故為等腰三角形或直角三角形，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若為銳角三角形，則、均為銳角，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，但、的大小關(guān)系不確定，故、大小關(guān)系不確定，D錯(cuò).故選：AB.11．在平行四邊形中，是上一點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，且，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．在上的投影向量是C． D．【正確答案】BD【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義可判斷A選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷B選項(xiàng)；利用平面向量的線性運(yùn)算可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由平面向量數(shù)量積的定義可得，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，在上的投影向量，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，可得，①又因?yàn)椋?，可得，②又①②可得，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由可得，故，D錯(cuò).故選：C.12．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，的平分線交AC于點(diǎn)D，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．a(chǎn)c的最小值是2 B．的最小值是C．b的最小值是4 D．的最小值是【正確答案】BD【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式建立的關(guān)系，再利用均值不等式逐項(xiàng)計(jì)算、判斷作答.【詳解】在中，，的平分線交AC于點(diǎn)D，且，由，得，即，整理得，即，，對(duì)于A，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，由選項(xiàng)A知，，因此，所以的最小值是，D正確.故選：BD思路點(diǎn)睛：求三角形中線段長(zhǎng)的最值問(wèn)題，主要方法有兩種，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.三、填空題13．青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為_(kāi)______．（精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：）【正確答案】0.8【分析】根據(jù)給定條件，把代入進(jìn)行計(jì)算即可作答.【詳解】在中，當(dāng)時(shí)，，則，所以視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為0.8.故0.814．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則________.【正確答案】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，求出函數(shù)的解析式，即可代入求值.【詳解】觀察圖象知，，函數(shù)的最小正周期，則，由得：，即，而，則，因此，所以.故15．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意，都有，則m的取值范圍是________.【正確答案】【分析】由，得，分段求解析式，結(jié)合圖象可得m的取值范圍．【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)闀r(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，；觀察圖象可得，當(dāng)，時(shí)，不存在，，當(dāng)時(shí)，，觀察圖象可得，不存在，滿足，所以，時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，令，可得或，觀察圖象可得，若對(duì)任意，都有，則．所以m的取值范圍是故答案為．16．已知奇函數(shù)在上有2個(gè)最值點(diǎn)和1個(gè)零點(diǎn)，則的范圍是________.【正確答案】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)并結(jié)合函數(shù)奇偶性求得，確定函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的最值和零點(diǎn)情況，列出不等式，即可求得答案.【詳解】函數(shù)，因?yàn)樵摵瘮?shù)為奇函數(shù)，故，又，所以，即，因?yàn)樵谏嫌?個(gè)最值點(diǎn)和1個(gè)零點(diǎn)，故，即的范圍是，故四、解答題17．已知向量，滿足，，且，的夾角為.(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)求與的夾角.【正確答案】(1)0(2)【分析】（1）根據(jù)向量的垂直的數(shù)量積表示即可求解；（2）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算律和夾角公式求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，也即，所以，解?（2），，所以，所以18．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題的橫線上，并加以解答.問(wèn)題：的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足________.(1)求A；(2)若，且，求的面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）選擇①，由正弦定理邊化角可得，求得答案；選擇②，由正弦定理邊化角，再結(jié)合余弦定理求得答案；選擇③，由正弦定理邊化角，再結(jié)合兩角和的正弦公式求得答案；（2）利用正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理即可求得，利用三角形面積公式即得答案.【詳解】（1）選擇①，,由正弦定理，得,而,故,.選擇②，,由正弦定理，得，整理得，又而.選擇③，，由正弦定理，得，即，即,又，所以,故.（2）由若，且，可得，故，即，故.19．設(shè)函數(shù)（且）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)，，求的最小值.【正確答案】(1)單調(diào)性見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）按和結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性作答.（2）由求出a值，利用配方法、換元法，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則函數(shù)在R上單調(diào)遞減，而函數(shù)在R上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在R上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增.（2）由得：，又且，解得，令，，由（1）知在上單調(diào)遞增，有，，因此，當(dāng)，即時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.20．已知函數(shù)的圖象相鄰對(duì)稱中心之間的距離為.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)，且在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)題意可得出函數(shù)的最小正周期，結(jié)合正弦型函數(shù)的周期公式可求得的值，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）分析函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式組，解之即可.【詳解】（1）解：因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)圖象相鄰對(duì)稱中心之間的距離為，故函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)?，則，則，故.由可得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）解：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，由可得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，，要使得函?shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.21．的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是、、，已知.(1)求；(2)若是銳角三角形，，求周長(zhǎng)的取值范圍.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得出，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）由正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)得出，根據(jù)為銳角三角形求出角的取值范圍，結(jié)合正切函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)?，由正弦定理可得，即，因?yàn)椋瑒t，所以，，則，因?yàn)?，則，所以，，解得.（2）解：由正弦定理可得，即，所以，，，易知，所以，，因?yàn)闉殇J角三角形，且，則，解得，所以，，因?yàn)?，所以，，所以?22．如圖.某小區(qū)有一塊空地，其中米，米，，小區(qū)物業(yè)擬在中間挖個(gè)小池塘，、在邊上（、不與、重合，且在、之間），且，設(shè).(1)若，求的值；(2)為節(jié)省投入資金，小池塘的面積需要盡可能的小，試確定的值，使得的面積取最小值，并求出面積的最小值.【正確答案】(1)平方米(2)當(dāng)時(shí)，的面積取最小值為平方米【分析】（1）利用正弦定理求出、的長(zhǎng)，作差后可得出的長(zhǎng)；（2）用正弦定理用表示、，再結(jié)合條件得到，最后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【詳解】（1）解：因?yàn)?，，故為等腰直角三角形，若，則，且，在中，由正弦定理得，在中，，則，且，由正弦定理可得，因此，（米）.（2）解：因?yàn)椋瑒t，，在中，由正弦定理，可得，在中，由正弦定理，可得，故的面積，因?yàn)?，所以，，所以，，則（平方米），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最小值平方米.2023-2024學(xué)年浙江省杭州市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題1．已知全集，集合，，則等于（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算，求得，結(jié)合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】解：由集合，可得，又由合，可得.故選：A.2．已知平面向量，，且，則（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)向量垂直得數(shù)量積為0，求出m，由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求解.【詳解】由可得，解得，所以，故選：C3．若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由不等式，可得，可得，即充分性成立；反之：由，可得，又因?yàn)椋?，所以必要性不成立，所以是的充分不必要條件.故選：A.4．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，代入求解即可.【詳解】解：由函數(shù)表達(dá)式可得，故選：D.本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)分段函數(shù)表達(dá)式中自變量的范圍進(jìn)行代入是關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).5．已知，且，則的最小值為A． B． C． D．【正確答案】C【分析】運(yùn)用乘1法，可得由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]?（）﹣1，化簡(jiǎn)整理再由基本不等式即可得到最小值．【詳解】由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]?1﹣1＝[（x+1）+y]?2（）﹣1＝2（21≥3+47．當(dāng)且僅當(dāng)x，y＝4取得最小值7．故選C．本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意乘1法和滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．6．在中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為，已知，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．B．外接圓的半徑為C．的面積為D．內(nèi)切圓的半徑為【正確答案】B【分析】根據(jù)正弦定理求出外接圓半徑判斷B，再求角由正弦定理得判斷A，根據(jù)三角形面積公式求面積判斷C，再由面積等積法求內(nèi)切圓的半徑判斷D.【詳解】，，即，又，，故B正確；，由可得，故A錯(cuò)誤；所以，故C錯(cuò)誤；設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則由面積等積法可知，解得，故D錯(cuò)誤.故選：B7．一個(gè)表面積為的圓錐，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)中心角為的扇形，設(shè)該扇形面積為，則為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】由弧長(zhǎng)公式可求出圓錐母線與底面圓半徑的關(guān)系，再由圓錐表面積公式可解.【詳解】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)，底面圓半徑，，所以，圓錐表面積，扇形面積，所以.故選：D8．已知球的半徑為，平面截球所得的截面的半徑均為4，若，則平面與平面的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)截面的夾角與互補(bǔ)，再根據(jù)余弦定理求解即可【詳解】由題意，，故，又平面與的夾角與互補(bǔ)，故平面與的夾角的余弦值為故選：C二、多選題9．下列命題中正確的是（

）A．如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合B．過(guò)直線外一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面與該直線平行C．分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線D．若兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線一定平行【正確答案】AB【分析】利用線面之間的關(guān)系一一進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面，則兩平交于一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面必重合，故A正確；對(duì)于B，只需將滿足題意的一個(gè)平面繞該直線進(jìn)行一定旋轉(zhuǎn)，同時(shí)保證過(guò)直線外的定點(diǎn)，所得的平面均與該直線平行，故B正確；對(duì)于C，分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線可能異面，也可能相交或平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等,則這兩條直線相交、平行或異面,例如圓錐的兩條母線.與底面所成角相等，但是母線是相交直線.故選：AB.10．記函數(shù)的最小正周期為T(mén)，若，且在上單調(diào)遞增，則的值可以是（

）A． B． C． D．1【正確答案】ABC【分析】由已知可知，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可知，求解即可.【詳解】由已知，，又，，，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，解得所以的取值范圍是故選：ABC11．在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），若，則下面哪些值可能是線段的長(zhǎng)度（

）A． B．C． D．【正確答案】CD【分析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段長(zhǎng)度取最小值、最大值即可得解．【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，，2，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，設(shè)，2，，，，則，2，，平行于平面，，整理得，線段長(zhǎng)度，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度取最小值，當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度取最大值3．故選：CD．12．已知向量滿足，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【正確答案】BD【分析】根據(jù)所給向量的模平方后做差可求，判斷A，再由向量模的三角絕對(duì)值不等式求出的范圍判斷BC，根據(jù)模的關(guān)系利用的模的范圍求出模的范圍判斷D.【詳解】，，，故A錯(cuò)誤；，，即，，故C錯(cuò)誤；又，，故B正確；，，，，故D正確.故選：BD三、填空題13．計(jì)算：________.【正確答案】/【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式、兩角差的正弦公式求得正確答案.【詳解】.故14．已知，則________．【正確答案】1【分析】本題先求出、，再化簡(jiǎn)代入求值即可.【詳解】解：∵，，，∴

或①當(dāng)且時(shí)，；②當(dāng)且時(shí)，.故1.本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，二倍角公式，是基礎(chǔ)題.15．若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【正確答案】【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義，轉(zhuǎn)化為與在上有交點(diǎn)，求出值域即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，即與在上有交點(diǎn)，又，在上單調(diào)遞增，故時(shí)，則，設(shè)，則，由可得，即與在上有交點(diǎn)，則.故16．在中，，.以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的內(nèi)切球的表面積為_(kāi)__________.【正確答案】【分析】作出幾何體的直觀圖，可知該幾何體是以為底面圓半徑，、為母線的兩個(gè)圓錐拼接而成的組合體，利用等面積法計(jì)算出該幾何體內(nèi)切球的半徑，再利用球體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，將以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體是以為底面圓半徑，、為母線的兩個(gè)圓錐拼接而成的組合體，設(shè)該組合體的內(nèi)切球球心為點(diǎn)，則點(diǎn)在線段上，點(diǎn)到、的距離相等，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，即，所以，，因此，該幾何體的內(nèi)切球的表面積為.故答案為.四、解答題17．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)．求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1平面BCHG.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用中位線定理與空間平行線的傳遞性，推得，由此得證；（2）利用線面平行的判定定理證得EF平面BCHG，A1E平面BCHG，從而利用面面平行的判定定理即可得證.【詳解】（1）∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)∴GH是的中位線，∴GHB1C1，又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．（2）∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EFBC，∵平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF平面BCHG，∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，，∴A1GEB，，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1EGB，∵平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E平面BCHG，∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1平面BCHG.18．在中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求證：；(2)求的最小值.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)最小值為【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化和兩角和差正弦化簡(jiǎn)即可證明.（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，根據(jù)第一問(wèn)解得，然后結(jié)合不等式求解.【詳解】（1）在中，，由正弦定理得，又，因?yàn)?所以,所以,又,所以，且,所以，故.（2）由（1）得，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即，且，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.19．如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，且，，8，.(1)求證：；(2)求二面角的余弦值.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取CD中點(diǎn)O，連接PO，AO，BO，證明平面POA即可得證；（2）證明是二面角的平面角，利用余弦定理求解.【詳解】（1）取CD中點(diǎn)O，連接PO，AO，BO，證明因?yàn)?，所以，又平面平面ABCD，平面PCD，平面平面，所以平面ABCD，而平面ABCD，所以；因?yàn)?且，所以四邊形ABOD為平行四邊形，又4，所以平行四邊形ABOD為菱形