課時(shí)跟蹤檢測(cè)(三十六)　動(dòng)態(tài)圓、磁聚焦和磁發(fā)散問(wèn)題

課時(shí)跟蹤檢測(cè)(三十六)動(dòng)態(tài)圓、磁聚焦和磁發(fā)散問(wèn)題A級(jí)——全員必做1.(2023·延安模擬)如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy中，y＞0區(qū)域有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，很多質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q的相同粒子在紙面內(nèi)從O點(diǎn)沿與豎直方向成60°角方向從第一象限以不同速率射入磁場(chǎng)，關(guān)于這些粒子的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是()A．所有粒子在整個(gè)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度都相同B．所有粒子在整個(gè)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間都相同，均為eq\f(πm,3qB)C．所有粒子經(jīng)過(guò)y軸時(shí)速度的方向可能不同D．所有粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸所用時(shí)間都相同，均為eq\f(2πm,3qB)解析：選D速度不同，在整個(gè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑不同，軌跡長(zhǎng)度不同，故A錯(cuò)誤；由T＝eq\f(2πm,qB)可知，所有粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期都相同，根據(jù)對(duì)稱性可知，所有從x軸離開(kāi)的粒子運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的圓心角為300°，故粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝eq\f(5,6)T＝eq\f(5πm,3qB)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)單邊界磁場(chǎng)特點(diǎn)，進(jìn)出邊界時(shí)粒子與邊界的夾角相同，可知粒子經(jīng)過(guò)y軸時(shí)速度方向相同，與y軸夾角均為60°，故C錯(cuò)誤；粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸所用時(shí)間相同，所對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t′＝eq\f(1,3)T＝eq\f(2πm,3qB)，故D正確。2.如圖所示，一束不計(jì)重力的帶電粒子沿水平方向向左飛入圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域后發(fā)生偏轉(zhuǎn)，都恰好能從磁場(chǎng)區(qū)域的最下端P孔飛出磁場(chǎng)，則這些粒子()A．運(yùn)動(dòng)速率相同B．運(yùn)動(dòng)半徑相同C．比荷相同D．從P孔射出時(shí)的速度方向相同解析：選B畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如從A點(diǎn)射入的粒子，其圓心為O1，因初始速度方向水平，則AO1豎直，因AO1＝PO1＝r，可知平行四邊形OPO1A為菱形，可知r＝R，則這些粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑都等于磁場(chǎng)區(qū)域圓的半徑R，根據(jù)r＝R＝eq\f(mv,qB)可知，粒子的速率、比荷不一定相同；由圖中所示運(yùn)動(dòng)軌跡知，粒子從P孔射出時(shí)的速度方向也不相同，故只有B正確。3.如圖所示，水平放置的平行板長(zhǎng)度為L(zhǎng)、兩板間距也為L(zhǎng)，兩板之間存在垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在兩板正中央P點(diǎn)有一個(gè)不計(jì)重力的電子(質(zhì)量為m、電荷量為－e)，現(xiàn)在給電子一水平向右的瞬時(shí)初速度v0，欲使電子不與平行板相碰撞，則()A．v0>eq\f(eBL,2m)或v0<eq\f(eBL,4m) B.eq\f(eBL,4m)<v0<eq\f(eBL,2m)C．v0>eq\f(eBL,2m) D．v0<eq\f(eBL,4m)解析：選A電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為R＝eq\f(mv0,eB)，如圖所示。當(dāng)R1＝eq\f(L,4)時(shí)，電子恰好與下板相切；當(dāng)R2＝eq\f(L,2)時(shí)，電子恰好從下板邊緣飛出兩平行板(即飛出磁場(chǎng))。由R1＝eq\f(mv1,eB)，解得v1＝eq\f(eBL,4m)，由R2＝eq\f(mv2,eB)，解得v2＝eq\f(eBL,2m)，所以欲使電子不與平行板相碰撞，電子初速度v0應(yīng)滿足v0>eq\f(eBL,2m)或v0<eq\f(eBL,4m)，故A正確。4．(多選)如圖所示，有一個(gè)正方形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域abcd，e是ad的中點(diǎn)，f是cd的中點(diǎn)，如果在a點(diǎn)沿對(duì)角線方向以速度v射入一帶負(fù)電的粒子，恰好從e點(diǎn)射出，不計(jì)粒子重力，則()A．如果粒子的速度增大為原來(lái)的2倍，將從d點(diǎn)射出B．如果粒子的速度增大為原來(lái)的3倍，將從f點(diǎn)射出C．如果粒子的速度不變，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，將從d點(diǎn)射出D．只改變粒子的速度使其分別從e、d、f點(diǎn)射出，則從f點(diǎn)射出所用時(shí)間最短解析：選AD如果粒子的速度增大為原來(lái)的2倍，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度不變，由半徑公式r＝eq\f(mv,qB)可知，半徑將變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，根據(jù)幾何知識(shí)可知，粒子將從d點(diǎn)射出，故A正確；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則粒子從e點(diǎn)射出時(shí)，軌跡半徑為eq\f(\r(2),2)a，如果磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度不變，粒子的速度變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，由半徑公式r＝eq\f(mv,qB)可知，半徑將變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，為eq\f(3\r(2),2)a，由幾何關(guān)系可知，粒子將從f、d之間射出磁場(chǎng)，故B錯(cuò)誤；如果粒子的速度不變，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，由半徑公式r＝eq\f(mv,qB)可知，半徑減小為原來(lái)的eq\f(1,2)，因此粒子不可能從d點(diǎn)射出，故C錯(cuò)誤；只改變粒子的速度使其分別從e、d、f三點(diǎn)射出，從f點(diǎn)射出時(shí)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，故D正確。5.如圖所示為一圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在O點(diǎn)處有一放射源，沿半徑方向射出速率為v的不同帶電粒子，其中帶電粒子1從A點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，帶電粒子2從B點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，不考慮帶電粒子的重力，則()A．帶電粒子1的比荷與帶電粒子2的比荷的比為3∶1B．帶電粒子1的比荷與帶電粒子2的比荷的比為eq\r(3)∶1C．帶電粒子1與帶電粒子2在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的比為2∶1D．帶電粒子1與帶電粒子2在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的比為1∶2解析：選A設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)圓形區(qū)域的半徑為R，由qBv＝eq\f(mv2,R′)，得R′＝eq\f(mv,qB)，可知帶電粒子1從A點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，帶電粒子2從B點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，半徑分別為R1′＝Rtan30°，R2′＝Rtan60°，所以R1′∶R2′＝1∶3，則帶電粒子1的比荷與帶電粒子2的比荷的比為3∶1；由T＝eq\f(2πm,qB)知，帶電粒子1和2的周期之比為1∶3，所以帶電粒子1與帶電粒子2在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的比為eq\f(t1,t2)＝eq\f(2,3)。綜上本題選A。6.如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B＝0.15T、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在半徑為R＝0.10m的圓形區(qū)域內(nèi)，圓的左端跟y軸相切于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O，右端跟很大的熒光屏MN相切于x軸上的A點(diǎn)。置于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源可沿x軸正方向射出速度不同的帶正電的粒子流，粒子的重力不計(jì)，比荷eq\f(q,m)＝1.0×108C/kg。(1)請(qǐng)判斷當(dāng)粒子分別以v1＝1.5eq\r(3)×106m/s和v2＝0.5eq\r(3)×106m/s的速度射入磁場(chǎng)時(shí)，能否打到熒光屏上；(2)要使粒子能打在熒光屏上，求粒子的速度v0的大小應(yīng)滿足的條件；(3)若粒子的速度v0＝3.0×106m/s，且以過(guò)O點(diǎn)并垂直于紙面的直線為軸，將圓形磁場(chǎng)逆時(shí)針緩慢旋轉(zhuǎn)90°，求此過(guò)程中粒子打在熒光屏上離A點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離。解析：(1)粒子以不同速度射入磁場(chǎng)的軌跡示例如圖甲所示，由幾何知識(shí)得當(dāng)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r>R時(shí)，粒子沿圖中①方向射出磁場(chǎng)，能打到熒光屏上；當(dāng)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r≤R時(shí)，將沿圖中②、③方向射出磁場(chǎng)，不能打到熒光屏上。當(dāng)粒子速度為v1時(shí)，由洛倫茲力提供向心力，得qv1B＝meq\f(v12,r1)，解得r1＝eq\r(3)R>R，故能打到熒光屏上；同理，當(dāng)粒子的速度為v2時(shí)，解得r2＝eq\f(\r(3),3)R<R，故不能打到熒光屏上。(2)設(shè)當(dāng)v0＝v3時(shí)，粒子恰好打不到熒光屏上，則這時(shí)粒子沿圖甲中②方向從磁場(chǎng)的最高點(diǎn)豎直向上射出磁場(chǎng)。由幾何關(guān)系可知，粒子在磁場(chǎng)中的軌跡半徑r3＝R，由洛倫茲力提供向心力，得qv3B＝meq\f(v32,r3)，解得v3＝1.5×106m/s。由分析可知，當(dāng)v0>1.5×106m/s時(shí)，粒子能打到熒光屏上。(3)設(shè)速度v0＝v4＝3.0×106m/s時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r4，由洛倫茲力提供向心力，得qv4B＝meq\f(v42,r4)，解得r4＝2R，如圖乙所示，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡是以E點(diǎn)為圓心，以r4為半徑的一段圓弧。因圓形磁場(chǎng)以O(shè)為軸緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，故磁場(chǎng)邊界變?yōu)橐設(shè)為圓心，以2R為半徑的圓弧ABE，粒子軌跡圓弧與其交點(diǎn)為B，當(dāng)A點(diǎn)恰轉(zhuǎn)至B點(diǎn)，此時(shí)粒子的出射點(diǎn)為B，在磁場(chǎng)中的偏角α最大為60°，射到熒光屏上P點(diǎn)離A點(diǎn)最遠(yuǎn)，由幾何知識(shí)得AP＝CAtanα＝(2R－r4tan30°)tan60°＝eq\f(\r(3)－1,5)m≈0.15m。答案：(1)速度為v1時(shí)，能打到熒光屏上；速度為v2時(shí)，不能打到熒光屏上(2)v0>1.5×106m/s(3)0.15mB級(jí)——重點(diǎn)選做7.如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN是一豎直放置的感光板。從圓形磁場(chǎng)最高點(diǎn)P以速度v垂直磁場(chǎng)射入大量帶正電的粒子，且粒子所帶電荷量為q、質(zhì)量為m。不考慮粒子間的相互作用及粒子的重力，關(guān)于這些粒子的運(yùn)動(dòng)，以下說(shuō)法正確的是()A．射出磁場(chǎng)的粒子一定能垂直打在MN上B．粒子在磁場(chǎng)中通過(guò)的弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間也越長(zhǎng)C．射出磁場(chǎng)的粒子其出射方向的反向延長(zhǎng)線不可能過(guò)圓心OD．當(dāng)入射速度v＝eq\f(qBR,m)時(shí)，粒子射出磁場(chǎng)后一定垂直打在MN上解析：選D對(duì)著圓心入射的粒子，出射后不一定垂直打在MN上，與粒子的速度有關(guān)，故A錯(cuò)誤；對(duì)著圓心入射的粒子，速度越大在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡半徑越大，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角越小，由t＝eq\f(θ,2π)T知，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t越小，故B錯(cuò)誤；帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，根據(jù)幾何知識(shí)可知，對(duì)著圓心入射的粒子，其出射方向的反向延長(zhǎng)線也一定過(guò)圓心O，故C錯(cuò)誤；當(dāng)入射速度v＝eq\f(qBR,m)時(shí)，由洛倫茲力充當(dāng)向心力有Bqv＝meq\f(v2,r)，解得r＝R，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，射出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與MN垂直，故粒子一定垂直打在MN上，故D正確。8.(多選)如圖所示，垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在正方形abcd區(qū)域內(nèi)，O點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn)。一個(gè)帶正電的粒子從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，僅在磁場(chǎng)力的作用下，經(jīng)過(guò)時(shí)間t0后剛好從c點(diǎn)射出磁場(chǎng)?，F(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面以與Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，下列說(shuō)法中正確的是()A．若該帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間是eq\f(5,3)t0，則它一定從cd邊射出磁場(chǎng)B．若該帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間是eq\f(2,3)t0，則它一定從ad邊射出磁場(chǎng)C．若該帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間是eq\f(5,4)t0，則它一定從bc邊射出磁場(chǎng)D．若該帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間是t0，則它一定從ab邊射出磁場(chǎng)解析：選AC如圖所示，作出帶電粒子以與Od成30°角的方向的速度射入正方形內(nèi)時(shí)，剛好從ab邊射出的軌跡①、剛好從bc邊射出的軌跡②、從cd邊射出的軌跡③和剛好從ad邊射出的軌跡④。由從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t0后剛好從c點(diǎn)射出磁場(chǎng)可知，帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期是2t0。由圖中幾何關(guān)系可知，從ad邊射出磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間一定小于eq\f(1,3)t0；從ab邊射出磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間一定大于eq\f(1,3)t0，小于eq\f(5,6)t0；從bc邊射出磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間一定大于eq\f(5,6)t0，小于eq\f(4,3)t0；從cd邊射出磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間一定是eq\f(5,3)t0。綜上所述，A、C正確。9．(2021·湖南高考)帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關(guān)鍵技術(shù)之一。帶電粒子流(每個(gè)粒子的質(zhì)量為m、電荷量為＋q)以初速度v垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用。對(duì)處在xOy平面內(nèi)的粒子，求解以下問(wèn)題。(1)如圖(a)，寬度為2r1的帶電粒子流沿x軸正方向射入圓心為A(0，r1)、半徑為r1的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，若帶電粒子流經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)后都匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)O。求該磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的大小。(2)如圖(a)，虛線框?yàn)檫呴L(zhǎng)等于2r2的正方形，其幾何中心位于C(0，－r2)。在虛線框內(nèi)設(shè)計(jì)一個(gè)區(qū)域面積最小的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使匯聚到O點(diǎn)的帶電粒子流經(jīng)過(guò)該區(qū)域后寬度變?yōu)?r2，并沿x軸正方向射出。求該磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B2的大小和方向，以及該磁場(chǎng)區(qū)域的面積(無(wú)需寫(xiě)出面積最小的證明過(guò)程)。(3)如圖(b)，虛線框Ⅰ和Ⅱ均為邊長(zhǎng)等于r3的正方形，虛線框Ⅲ和Ⅳ均為邊長(zhǎng)等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分別設(shè)計(jì)一個(gè)區(qū)域面積最小的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使寬度為2r3的帶電粒子流沿x軸正方向射入Ⅰ和Ⅱ后匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)O，再經(jīng)過(guò)Ⅲ和Ⅳ后寬度變?yōu)?r4，并沿x軸正方向射出，從而實(shí)現(xiàn)帶電粒子流的同軸控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的面積(無(wú)需寫(xiě)出面積最小的證明過(guò)程)。解析：(1)粒子垂直磁場(chǎng)方向進(jìn)入圓形磁場(chǎng)，在坐標(biāo)原點(diǎn)O匯聚，滿足磁聚焦的條件，即粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑等于圓形磁場(chǎng)的半徑r1，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力qvB1＝meq\f(v2,r1)，解得B1＝eq\f(mv,qr1)。(2)粒子從O點(diǎn)進(jìn)入下方虛線區(qū)域，若要從聚焦的O點(diǎn)飛入然后都沿x軸正方向飛出，為磁發(fā)散的過(guò)程，即粒子在下方圓形磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑等于磁場(chǎng)半徑，粒子軌跡最大的邊界如圖甲所示，圖中圓形磁場(chǎng)即為最小的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域。磁場(chǎng)半徑為r2，根據(jù)qvB2＝meq\f(v2,r2)，可知磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2＝eq\f(mv,qr2)，根據(jù)左手定則可知磁場(chǎng)的方向?yàn)榇怪奔埫嫦蚶铮?/p>