點(diǎn)和圓直線和圓的位置關(guān)系（一）（原卷版）

24.2點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系（一）1、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系符號(hào)表示設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，點(diǎn)P在圓外?d>r；點(diǎn)P在圓上?d=r；點(diǎn)P在圓內(nèi)?d<r。注：符號(hào)“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“?”的左端可以推出右端，從右端也可以推出左端。2、經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)作圓（1）經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)A作圓：以點(diǎn)A以外任意一點(diǎn)為圓心，以這一點(diǎn)與點(diǎn)A的距離為半徑就可以作出，這樣的圓有無(wú)數(shù)個(gè)（圖1）；（2）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A、B作圓：由于所作圓的圓心到A、B兩點(diǎn)的距離相等，所以圓心在線段AB的垂直平分線上，這樣的圓可以作出無(wú)數(shù)個(gè)（圖2）；（3）經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)作圓：所求的圓要經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)，所以圓心到這三點(diǎn)的距離要相等。因此，這個(gè)點(diǎn)既要在線段AB的垂直平分線上，又要在線段BC的垂直平分線上。作圓步驟：①分別作出線段AB的垂直平分線l1和線段BC的垂直平分線l2，設(shè)它們的交點(diǎn)為O②以點(diǎn)O為圓心，OA(或OB、OC)為半徑，作出經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓。因?yàn)檫^(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓的圓心只能是點(diǎn)O，半徑等于OA，這樣的圓只有一個(gè)（圖3），即不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。3、三角形的外接圓和外心：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓；外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。4、反證法：不直接從命題的已知得出結(jié)論，而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由此經(jīng)過(guò)推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立。這種方法叫做反證法。題型一判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【例1】已知⊙O的半徑為4cm，A為線段OP的中點(diǎn)，當(dāng)OP=7cm時(shí)，點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（A．點(diǎn)A在⊙O內(nèi) B．點(diǎn)A在⊙O上C．點(diǎn)A在⊙O外 D．不能確定【變式11】在平面直角坐標(biāo)系中，將平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A置于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為-10,0，點(diǎn)D坐標(biāo)為2,4，以AB為直徑畫(huà)圓，則頂點(diǎn)C與這個(gè)圓的位置關(guān)系是()A．點(diǎn)C在圓內(nèi) B．點(diǎn)C在圓上 C．點(diǎn)C在圓外 D．不能確定【變式12】在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P是以點(diǎn)P(3,4)為圓心，5為半徑的圓．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．原點(diǎn)O在⊙P外 B．原點(diǎn)O在⊙P內(nèi)C．原點(diǎn)O在⊙P上 D．無(wú)法確定【變式13】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，作以原點(diǎn)O為圓心，半徑為4的⊙O，則點(diǎn)4,2與圓的位置關(guān)系是：在圓．【變式14】已知⊙O的半徑r=4，點(diǎn)A到圓的最近距離為1.5，則點(diǎn)A到圓的最遠(yuǎn)距離為；若點(diǎn)A到⊙O的最近距離為4.3，則點(diǎn)A與圓的位置關(guān)系是（填“在圓外、在圓上或在圓內(nèi)”）．題型二利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解【例2】已知點(diǎn)P在半徑為5cm的圓內(nèi)，則點(diǎn)P到圓心的距離可以是（

）A．2cm B．5cm C．6cm D．7cm【變式21】已知點(diǎn)P到圓心O的距離為3，若點(diǎn)P在圓外，則⊙O的半徑可能為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式22】若⊙O所在平面內(nèi)一點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為5，最近距離為3，則此圓的半徑為．【變式23】已知⊙O的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，半徑為r，若點(diǎn)A(2,0)在⊙O內(nèi)，點(diǎn)P(2,2)在⊙O外，則r的取值范圍是．【變式24】已知點(diǎn)P到⊙O上所有點(diǎn)的距離中，最大距離為7厘米，最小距離為3厘米，那么⊙O的半徑長(zhǎng)等于厘米．題型三三角形外接圓的認(rèn)識(shí)【例3】三角形的外接圓：經(jīng)過(guò)三角形的的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形的交點(diǎn)，叫做三角形的，三角形的外心到三角形的距離相等．【變式31】已知∠A=90°，作出△ABC的外接圓⊙M（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．【變式32】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，則點(diǎn)O是△ABC的（

）A．三條高線的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三角形三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)【變式33】如圖，O為銳角三角形ABC的外心，四邊形OCDE為正方形，其中E點(diǎn)在△ABC的外部，判斷下列敘述不正確的是（

）A．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 B．O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心C．O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心 D．O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心【變式34】如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若∠OAC=20°，則∠B=（

）A．40° B．60° C．70° D．80°題型四求三角形外心坐標(biāo)【例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，3）、（5，3）、（1，－1），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【變式41】如圖，△ABC，A(-1,3)，B(-2,-2)，C(4,-2)，則△ABC外心的坐標(biāo)為（

）A．(0,0) B．(1,1) C．(1,0) D．(1,-2)【變式42】如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是．【變式43】△ABC中，A1,5、B1,1、C4,1，則△ABC【變式44】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(2,0)，(3,3)，⊙M是△OAB的外接圓，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為．題型五求三角形外接圓的半徑【例5】直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是12cm，5A．5cm B．6.5cm C．12cm【變式51】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，則這個(gè)三角形的外接圓的半徑是【變式52】△ABC的三邊為2，3，13，則外接圓的半徑長(zhǎng)為．【變式53】如圖所示，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A-1,3、B-2,-2、C4,-2，則△ABC外接圓半徑的長(zhǎng)為（A．32 B．23 C．10 D【變式54】一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)是方程x2-8x+12=0的兩個(gè)根，則此直角三角形的外接圓的直徑為題型六已知外心的位置求解【例6】點(diǎn)I是△ABC的外心，則點(diǎn)I是△ABC的（

）A．三條垂直平分線交點(diǎn) B．三條角平分線交點(diǎn)C．三條中線交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)【變式61】△ABC的外心在三角形的一邊上，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無(wú)法判斷【變式62】如圖，點(diǎn)O是△ABC的外心，連接OA、OB，若∠OBA=20°，則∠AOB的度數(shù)為．【變式63】設(shè)I為△ABC的外心，若∠BIC=100°，則∠A的度數(shù)為．【變式64】已知△ABC和△ABD有相同的外心，∠D=70°，則∠C的度數(shù)是（

）A．70° B．110° C．70°或110° D．不能確定題型七判斷三角形外接圓的圓心【例7】如圖中△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（）A．(5,1) B．(4,2) C．(5,2) D．(5,3)【變式71】如圖，在Rt△ABC中，OB是斜邊AC上的中線，以O(shè)為圓心，OB為半徑畫(huà)圓，則下列各點(diǎn)中，在⊙O內(nèi)的是（

A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)O【變式72】如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在格點(diǎn)上．下列三角形中，外心不是點(diǎn)O的是（

）A．△ABC B．△ABD C．△ABE D．△ABF【變式73】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC=2，∠BAC=30°，則⊙O的直徑等于．【變式74】如圖，在單位長(zhǎng)度為1的8×8的正方形網(wǎng)格中建立一直角坐標(biāo)系，△ABC的頂點(diǎn)A、B(1)在圖中利用網(wǎng)格畫(huà)出△ABC外接圓的圓心點(diǎn)D的位置；并寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2)在圖中找出一格點(diǎn)E，畫(huà)出∠AEC，使得∠題型八求能確定的圓的個(gè)數(shù)【例8】過(guò)一點(diǎn)可以作個(gè)圓；過(guò)兩點(diǎn)可以作個(gè)圓，這些圓的圓心在兩點(diǎn)所連線段的上；過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作個(gè)圓．【變式81】如圖，點(diǎn)A，B，C，D均在直線l上，點(diǎn)P在直線l外，則經(jīng)過(guò)其中任意三個(gè)點(diǎn)，最多可畫(huà)出圓的個(gè)數(shù)為（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【變式82】已知：A，B，C，D，E五個(gè)點(diǎn)中無(wú)任何三點(diǎn)共線，無(wú)任何四點(diǎn)共圓，那么過(guò)其中的三點(diǎn)作圓，最多能作出(

)．A．5個(gè)圓 B．8個(gè)圓 C．10個(gè)圓 D．12個(gè)圓【變式83】平面上不共線的四點(diǎn)，可以確定圓的個(gè)數(shù)為．【變式84】如圖①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜邊，則A、B、C、D在以BC為直徑的圓上，則叫它們“四點(diǎn)共圓”．如圖②，△ABC的三條高AD、BE、CF相交于點(diǎn)H，則圖②中“四點(diǎn)共圓”的組數(shù)為題型九舉反例與反證法【例9】能說(shuō)明命題“若x為無(wú)理數(shù)，則x2也是無(wú)理數(shù)”A．x=2-1 B．x=2+1 C．x=3【變式91】用反證法證明時(shí)，假設(shè)結(jié)論“點(diǎn)在圓上”不成立，那么點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可能是（）A．點(diǎn)在圓內(nèi) B．點(diǎn)在圓上 C．點(diǎn)在圓外 D．點(diǎn)在圓內(nèi)或圓外【變式