可測函數(shù)列常見的幾種收斂

可測函數(shù)列常見的幾種收斂摘要：本文介紹了可測函數(shù)列常見的幾種收斂：一致收斂、幾乎一致收斂、幾乎處處收斂、依測度收斂等以及它們之間的關(guān)系．關(guān)鍵字：可測函數(shù)列；一致收斂；幾乎一致收斂；幾乎處處收斂；依測度收斂前言在數(shù)學(xué)分析中我們知道一致收斂是函數(shù)列很重要的性質(zhì)，比如它能保證函數(shù)列的極限過程和(R)積分過程可交換次序等．可是一般而言函數(shù)列的一致收斂性是不方便證明的，而且有些函數(shù)列在其收斂域內(nèi)也不一定是一致收斂的，如文中所給的例2函數(shù)在收斂域內(nèi)不一致收斂，但對于一個(gè)當(dāng)時(shí)在內(nèi)一致收斂，這不見說明了一致收斂的特殊性，也驗(yàn)證了我們平時(shí)常說的“矛盾的同一性和矛盾的斗爭性是相聯(lián)系的、相輔相成的”[1]1可測函數(shù)列幾種收斂的定義一致收斂[3]設(shè)是定義在點(diǎn)集上的實(shí)值函數(shù)．若對于存在使得對于都有則稱在上一致收斂到．記作：(其中u表示一致uniform)．點(diǎn)點(diǎn)收斂若函數(shù)列在點(diǎn)集上每一點(diǎn)都收斂，則稱它在上點(diǎn)點(diǎn)收斂．例1定義在上的函數(shù)列則在上點(diǎn)點(diǎn)收斂到函數(shù)而且還能看出在上不一致收斂到，但對于在上一致收斂到．幾乎一致收斂[3]設(shè)是可測集，若使得在上有則稱在上幾乎一致收斂與，并記作(其中．表示幾乎一致almostuniform)．例2定義在上的函數(shù)在上收斂卻不一致收斂．但是只要從的右端點(diǎn)去掉任一小的一段使之成為則在此區(qū)間上就一致收斂，像這樣的收斂我們就可以稱之為在上幾乎一致收斂與0．幾乎處處收斂[3]設(shè)是定義在點(diǎn)集上的廣義實(shí)值函數(shù)．若存在中點(diǎn)集，有及對于每一個(gè)元素，有則稱在上幾乎處處收斂與，并簡記為或若上文的例1也可以稱之為在上幾乎處處收斂與．依測度收斂例3在上構(gòu)造函數(shù)列如下：對于，存在唯一的自然數(shù)和，使得其中令任意給定的對于每一個(gè)自然數(shù)，有且僅有一個(gè)，使得．?dāng)?shù)列中有無窮多項(xiàng)為1，有無窮多項(xiàng)為0．由此可知，函數(shù)列在上點(diǎn)點(diǎn)不收斂．因此僅考慮點(diǎn)收斂將得不到任何信息．然而仔細(xì)觀察數(shù)列雖然有無窮多個(gè)1出現(xiàn)，但是在“頻率”意義下，0卻也大量出現(xiàn)．這一事實(shí)可以用點(diǎn)集測度語言來刻畫．只要足夠大，對于點(diǎn)集的測度非常小．事實(shí)上．這樣對于任給的總可以取到也就是取到使得當(dāng)時(shí)，有其中．這個(gè)不等式說明，對于充分大的，出現(xiàn)0的“頻率”接近1．我們將把這樣一種現(xiàn)象稱為函數(shù)列在區(qū)間上依測度收斂到零函數(shù)，并將抽象出以下定義[3]：設(shè)是可測集上幾乎處處有限的可測函數(shù)．若對于任意給定的有則稱在上依測度收斂到函數(shù)，記為2可測函數(shù)列幾種收斂的關(guān)系點(diǎn)點(diǎn)收斂與一致收斂的關(guān)系由上述定義我們可以知道，必有點(diǎn)點(diǎn)收斂于．如例1．反之則不一定成立，如例2．而且還可以得到若是可測集上的可測函數(shù)列，則也是可測函數(shù)．幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系由定義可知有一致收斂必幾乎處處收斂．反之則不然，如例2．而且還可以得到若是可測集上的可測函數(shù)列，則極限函數(shù)也是可測函數(shù)．應(yīng)用：從數(shù)學(xué)分析我們知道一致收斂的函數(shù)列對于求極限運(yùn)算和(R)積分運(yùn)算、微分運(yùn)算與(R)積分運(yùn)算等可以交換次序．幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系葉果洛夫(EopoB)定理[5]：設(shè)是上一列．收斂于一個(gè)．有限的函數(shù)的可測函數(shù)，則對于任意的，存在子集，使在上一致收斂，且．注定理中“”不可去掉如：例4定義在的函數(shù)列則在上處處收斂于1，但對于任何正數(shù)及任何可測集，當(dāng)時(shí)時(shí)，在上不一致收斂于1．這是因?yàn)?，?dāng)時(shí)時(shí)，不能全部含于中，必有，于是有．所以在上不一致收斂與1，也即定理中“”不可去掉[4]．由定義我們知道一致收斂必是幾乎處處收斂的，反之則不成立．但它們又有密切的關(guān)系，即使上述定理告訴我們幾乎處處收斂“基本上”是一致收斂的(在除去一個(gè)測度為任意小集合的子集上)．應(yīng)用由上述定理我們還可以得到“魯津定理”：設(shè)是上．有限的可測函數(shù)，則對于任意的，存在閉子集，使在上是連續(xù)函數(shù)，且．也就是說：在上．有限的可測函數(shù)“基本上”是連續(xù)的(在除去一個(gè)測度為任意小集合的子集上)．也即我們可以用連續(xù)函數(shù)來逼近．有限的可測函數(shù)．幾乎處處收斂與依測度收斂的關(guān)系例5取，將等分，定義兩個(gè)函數(shù)：，．然后將四等分、八等分等等．一般的，對于每個(gè)，作個(gè)函數(shù)：．我們把，先按后按的順序逐個(gè)的排成一列：在這個(gè)序列中是第個(gè)函數(shù)．可以證明這個(gè)函數(shù)列是依測度收斂于零的．這是因?yàn)閷τ谌魏蔚?，或是空?當(dāng))，或是(當(dāng))，所以(當(dāng)時(shí)時(shí)，左端為0)．由于當(dāng)趨于時(shí)，由此可見，也即．但是函數(shù)列(1)在上的任何一點(diǎn)都不收斂．事實(shí)上，對于任何點(diǎn)，無論多么大，總存在，使，因而，然而或，換言之，對于任何，在中必有兩子列，一個(gè)恒為1，另一個(gè)恒為0．所以序列(1)在上任何點(diǎn)都是發(fā)散的．這也就說明依測度收斂的函數(shù)列不一定處處收斂，也就是說依測度收斂不能包含幾乎處處收斂，但仍有：黎斯(F．Riesz)[5]設(shè)在上測度收斂于，則存在子列在上．收斂于．例6如例4，當(dāng)當(dāng)．但是當(dāng)時(shí)，且．這說明不依測度收斂于1．這個(gè)例子又說明了幾乎處處收斂也不包含依測度收斂，但是有下述關(guān)系：勒貝格(Lebesgue)[5]設(shè)，是上．有限的可測函數(shù)列，在上．收斂于．有限的函數(shù)，則．此定理中的“”不可去掉，原因參看例1．定理也說明在的在的條件下，依測度收斂弱于幾乎處處收斂．有以上定理黎斯又給出了一個(gè)用幾乎處處收斂來判斷依測度收斂的充要條件：設(shè)，是上的可測函數(shù)列，那么依測度收斂于的充要條件是：的任何子列中必可找到一個(gè)幾乎處處收斂于的子序列．證明（必要性）由于依測度收斂于，由定義知道這時(shí)的的任何子序列必也依測度收斂于，由黎斯定理可知中必存在幾乎處處收斂于的子序列．（充分性）如果不依測度收斂于，即存在一個(gè)，使得不趨于0．因此必有子序列，使得這樣就不可能再有子序列幾乎處處收斂于了，否則由勒貝格定理知將有依測度收斂于，即這與上式矛盾，所以依測度收斂于．應(yīng)用依測度收斂在概率統(tǒng)計(jì)中有重要的意義，如例3；它也是證明中心極限定理的重要依據(jù)，由中心極限定理我們可以知道用一個(gè)正態(tài)分布來模擬一個(gè)樣本容量較大的樣本的概率分布，從而簡化了大樣本概率分布的處理和計(jì)算[7]．結(jié)束語：上述定義中的各種收斂的極限函數(shù)都是唯一的，而且從本文還可以知道一致收斂是最強(qiáng)的收斂，它蘊(yùn)含了點(diǎn)點(diǎn)收斂、幾乎處處收斂、依測度收斂等上述幾種收斂．各種收斂都有不同的意義，在各種實(shí)踐中作用也各不同．參考文獻(xiàn)：[1]馬克思主義基本原理概論教材編寫課題組．馬克思主義基本原理概論[M]．高等教育出版社，2009,7[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析(第三版)[M]．高等教育出版社，2001,6．[3]郭懋正．實(shí)變函數(shù)與泛函分析[M]．北京大學(xué)出版社，2005,2[4]柳藩，錢佩玲．實(shí)變函數(shù)論與泛函分析[M]．北京師范大學(xué)出版社，1987．[5