空間向量及其運算練習(xí)題

空間向量及其運算基礎(chǔ)知識梳理1.空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有________和________的量叫做空間向量.(2)相等向量：方向________且模________的向量.(3)共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相______________的向量.(4)共面向量：________________________________的向量.2.共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理(1)共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是________________________.推論如圖所示，點P在l上的充要條件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①其中a叫直線l的方向向量，t∈R，在l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，則①可化為eq\o(OP,\s\up6(→))＝________或eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→)).(2)共面向量定理的向量表達(dá)式：p＝____________，其中x，y∈R，a，b為不共線向量，推論的表達(dá)式為eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))或?qū)臻g任意一點O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝____________或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x＋y＋z＝______.(3)空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝____________，把{a，b，c}叫做空間的一個基底.3.空間向量的數(shù)量積及運算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念①兩向量的夾角已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作____________，其范圍是____________，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱a與b__________，記作a⊥b.②兩向量的數(shù)量積已知空間兩個非零向量a，b，則____________叫做向量a，b的數(shù)量積，記作__________，即__________________.(2)空間向量數(shù)量積的運算律①結(jié)合律：(λa)·b＝____________；②交換律：a·b＝__________；③分配律：a·(b＋c)＝__________.4.空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a·b＝________________.(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a∥b?______________?____________，____________，______________，a⊥b?__________?________________________(a，b均為非零向量).(3)模、夾角和距離公式設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則|a|＝eq\r(a·a)＝__________________，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝____________________________________________________.設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則dAB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝________________________.典例探究題型一空間向量的線性運算例1、如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).變式：在例1的條件下，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))，試用a，b，c表示eq\o(EF,\s\up6(→)).題型二共線、共面向量定理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，(1)求證：E、F、G、H四點共面；(2)求證：BD∥平面EFGH；(3)設(shè)M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))).題型三空間向量性質(zhì)的應(yīng)用例2、已知空間中三點A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))，(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求向量c；(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值；(3)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求實數(shù)k的值；(4)若λ(a＋b)＋μ(a－b)與z軸垂直，求λ，μ應(yīng)滿足的關(guān)系.跟蹤測試一、選擇題1．以下四個命題中正確的是 ()．A．空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示B．若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}構(gòu)成空間向量的另一組基底C．△ABC為直角三角形的充要條件是eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0D．任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底解析若a＋b、b＋c、c＋a為共面向量，則a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同時為1，設(shè)μ≠1，則a＝eq\f(λ－1,1－μ)b＋eq\f(λ＋μ,1－μ)c，則a、b、c為共面向量，此與{a，b，c}為空間向量基底矛盾．答案B2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝()．A．－4 B．－2 C．4 D．2解析∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.答案D3．若{a，b，c}為空間的一組基底，則下列各項中，能構(gòu)成基底的一組向量是()．A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析若c、a＋b、a－b共面，則c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，則a、b、c為共面向量，此與{a，b，c}為空間向量的一組基底矛盾，故c，a＋b，a－b可構(gòu)成空間向量的一組基底．答案C4.如圖所示，已知空間四邊形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，則cos〈eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))〉的值為()．A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(2),2)解析設(shè)eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，由已知條件〈a，b〉＝〈a，c〉＝eq\f(π,3)，且|b|＝|c|，eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝eq\f(1,2)|a||c|－eq\f(1,2)|a||b|＝0，∴cos〈eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))〉＝0.答案A5．如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，則下列向量中與eq\o(BM,\s\up8(→))相等的向量是 ()．A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c解析eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\o(BB1,\s\up8(→))＋eq\o(B1M,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝c＋eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.答案A6．如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點間的距離是()A.eq\r(3)B.eq\r(2)C．1D.eq\r(3－\r(2))解析eq\a\vs4\al(∵\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BF,\s\up6(→))|2＋|eq\o(FE,\s\up6(→))|2＋|eq\o(ED,\s\up6(→))|2＋2eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＋2eq\o(FE,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＋2eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝1＋1＋1－eq\r(2)＝3－eq\r(2)，故|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(3－\r(2)).答案D二、填空題7.設(shè)R，向量，且，則解析.答案8.在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝________.解析如圖，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(AD,\s\up8(→))＝c，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0.答案09．已知ABCD－A1B1C1D1為正方體，①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量與向量的夾角是60°；④正方體ABCD－A1B1C1D1的體積為|··|.其中正確命題的序號是________．解析由⊥，⊥，⊥⊥，得(＋＋)2＝3()2，故①正確；②中－＝，由于AB1⊥A1C，故②正確；③中A1B與AD1兩異面直線所成角為60°，但與的夾角為120°，故③不正確；④中|··|＝0.故④也不正確．答案①②10．如圖，空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，則OA與BC所成角的余弦值等于________．解析設(shè)eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c.OA與BC所成的角為θ，eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝a(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋eq\o(AC,\s\up8(→)))－a·(a＋eq\o(AB,\s\up8(→)))＝a2＋a·eq\o(AC,\s\up8(→))－a2－a·eq\o(AB,\s\up8(→))＝24－16eq\r(2).∴cosθ＝eq\f(|\o(OA,\s\up8(→))·\o(BC,\s\up8(→))|,|\o(OA,\s\up8(→))|·|\o(BC,\s\up8(→))|)＝eq\f(24－16\r(2),8×5)＝eq\f(3－2\r(2),5).答案eq\f(3－2\r(2),5)三、解答題11．已知A、B、C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))．(1)判斷eq\o(MA,\s\up8(→))、eq\o(MB,\s\up8(→))、eq\o(MC,\s\up8(→))三個向量是否共面；(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi)．解(1)由已知eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝3eq\o(OM,\s\up8(→))，∴eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OM,\s\up8(→))＝(eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))＋(eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))，即eq\o(MA,\s\up8(→))＝eq\o(BM,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→))＝－eq\o(MB,\s\up8(→))－eq\o(MC,\s\up8(→))，∴eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))共面．(2)由(1)知，eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))共面且基線過同一點M，∴四點M，A，B，C共面，從而點M在平面ABC內(nèi)．12．把邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起成直二面角，點E、F分別是AD、BC的中點，點O是原正方形的中心，求：(1)EF的長；(2)折起后∠EOF的大?。馊鐖D，以O(shè)點為原點建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則A（0，－eq\f(\r(2),2)a,0），B（eq\f(\r(2),2)a,0,0），C（0，eq\f(\r(2),2)a,0），D（0,0，eq\f(\r(2),2)a），E（0，－eq\f(\r(2),4)a，eq\f(\r(2),4)a），F(xiàn)（eq\f(\r(2),4)a，eq\f(\r(2),4)a,0）.(1)|eq\o(EF,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)a－0))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)a＋\f(\r(2),4)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(\r(2),4)a))2＝eq\f(3,4)a2，∴|EF|＝eq\f(\r(3),2)a.(2)eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(2),4)a，\f(\r(2),4)a))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)a，\f(\r(2),4)a，0))，eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(OF,\s\up6(→))＝0×eq\f(\r(2),4)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),4)a))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)a))＋eq\f(\r(2),4)a×0＝－eq\f(a2,8)，|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2)，|eq\o(OF,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2)，cos〈eq\o(OE,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(OE,\s\up6(→))·\o(OF,\s\up6(→)),|\o(OE,\s\up6(→))||\o(OF,\s\up6(→))|)＝－eq\f(1,2)，∴∠EOF＝120°.13．如圖，已知M、N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點，且GM∶GA＝1∶3.求證：B、G、N三點共線．證明設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(AD,\s\up8(→))＝c，則eq\o(BG,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AM,\s\up8(→))＝－a＋eq\f(1,4)(a＋b＋c)＝－eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c，eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＝－a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c＝eq\f(4,3)eq\o(BG,\s\up8(→)).∴eq\o(BN,\s\up8(→))∥eq\o(BG,\s\up8(→))，即B、G、N三點共線．14．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB、AD、CD的中點，計算：(1)eq\o(EF,\s\up8(→))·eq\o(BA,\s\up8(→))；(2)eq\o(EF,\s\up8(→))·eq\o(DC,\s\up8(→))；(3)EG的長；(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值．解設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(AD,\s\up8(→))＝c.則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(1)eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)c－eq