《概率論公式》word版

hhh第一章隨機(jī)事件和概率1、概念網(wǎng)絡(luò)圖2、重要公式和結(jié)論（1）排列組合公式從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。（2）加法和乘法原理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來(lái)完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來(lái)完成，則這件事可由m+n種方法來(lái)完成。乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：m×n某件事由兩個(gè)步驟來(lái)完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n種方法來(lái)完成，則這件事可由m×n種方法來(lái)完成。（3）一些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）對(duì)立事件（至少有一個(gè)）順序問(wèn)題（4）隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。（5）基本事件、樣本空間和事件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：①每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來(lái)表示?；臼录娜w，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，…表示事件，它們是的子集。為必然事件，?為不可能事件。不可能事件（?）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。hhh（6）事件的關(guān)系與運(yùn)算①關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：如果同時(shí)有，，則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：AB，或者AB。AB=?，則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸摹?A稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。②運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：，（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對(duì)每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿足下列三個(gè)條件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°對(duì)于兩兩互不相容的事件，，…有常稱為可列（完全）可加性。則稱P(A)為事件的概率。（8）古典概型1°，2°。設(shè)任一事件，它是由組成的，則有P(A)==（9）幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無(wú)限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來(lái)描述，則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件A，。其中L為幾何度量（長(zhǎng)度、面積、體積）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)＝0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)hhh當(dāng)BA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=Ω時(shí)，P()=1-P(B)（12）條件概率定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0，則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，對(duì)事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0…………。（14）獨(dú)立性①兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨(dú)立的。若事件、相互獨(dú)立，且，則有若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。②多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類似。（15）全概公式設(shè)事件滿足1°兩兩互不相容，，2°，則有。（16）貝葉斯公式設(shè)事件，，…，及滿足1°，，…，兩兩互不相容，>0，1，2，…，，2°，，則，i=1，2，…n。此公式即為貝葉斯公式。，（，，…，），通常叫先驗(yàn)概率。，（，，…，），通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。hhh（17）伯努利概型我們作了次試驗(yàn)，且滿足每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗(yàn)。用表示每次試驗(yàn)發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)次的概率，，。第二章隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)基本概念1、概念網(wǎng)絡(luò)圖hhh2、重要公式和結(jié)論（1）離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為Xk(k=1,2,…)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,…，則稱上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1），，（2）。（2）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：1°。2°。（3）離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系積分元在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。hhh（4）分布函數(shù)設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)?？梢缘玫絏落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（–∞，x]內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1°；2°是單調(diào)不減的函數(shù)，即時(shí)，有；3°，；4°，即是右連續(xù)的；5°。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二項(xiàng)分布在重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為，則可能取值為。，其中，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布。記為。當(dāng)時(shí)，，，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項(xiàng)分布的特例。hhh泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，，，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=λ，n→∞）。超幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布，其中p≥0，q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù)在[a，b]上為常數(shù)，即

a≤xa≤x≤b則稱隨機(jī)變量在[a，b]上服從均勻分布，記為X~U(a，b)。分布函數(shù)為

a≤x≤ba≤x≤b0，x<a，

1，1，x>b。

當(dāng)a≤x1<x2≤b時(shí)，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為。hhh指數(shù)分布,

0,,0,,

其中，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為,x<0。

x<0。

記住積分公式：hhh正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，，其中、為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為。具有如下性質(zhì)：1°的圖形是關(guān)于對(duì)稱的；2°當(dāng)時(shí)，為最大值；若，則的分布函數(shù)為。。參數(shù)、時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為，，分布函數(shù)為。是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。如果~，則~。。（6）分位數(shù)下分位數(shù)：；上分位數(shù)：。（7）函數(shù)分布離散型已知的分布列為

，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的相加作為的概率。hhh連續(xù)型先利用X的概率密度f(wàn)X(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。第三章二維隨機(jī)變量及其分布1、概念網(wǎng)絡(luò)圖hhh2、重要公式和結(jié)論（1）聯(lián)合分布離散型如果二維隨機(jī)向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)Γ▁,y），則稱為離散型隨機(jī)量。設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件{=}的概率為pij,,稱為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來(lái)表示：YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…xipi1……這里pij具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；（2）連續(xù)型對(duì)于二維隨機(jī)向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。 分布密度f(wàn)(x,y)具有下面兩個(gè)性質(zhì)：f(x,y)≥0;（2）hhh（2）二維隨機(jī)變量的本質(zhì)（3）聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。 分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（1）（2）F（x,y）分別對(duì)x和y是非減的，即當(dāng)x2>x1時(shí)，有F（x2,y）≥F(x1,y);當(dāng)y2>y1時(shí)，有F(x,y2)≥F(x,y1);（3）F（x,y）分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即（4）（5）對(duì)于.（4）離散型與連續(xù)型的關(guān)系（5）邊緣分布離散型X的邊緣分布為；Y的邊緣分布為。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為hhh（6）條件分布離散型在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為；在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為（7）獨(dú)立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)離散型有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：①可分離變量②正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布＝0隨機(jī)變量的函數(shù)若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互獨(dú)立。特例：若X與Y獨(dú)立，則：h（X）和g（Y）獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。hhh（8）二維均勻分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中SD為區(qū)域D的面積，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）～U（D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y1D1O1 x圖3.1yD2D21 O 2x圖3.2yD3dD3cOabx圖3.3hhh（9）二維正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中是5個(gè)參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）～N（由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，即X～N（但是若X～N（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。（10）函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：對(duì)于連續(xù)型，fZ(z)＝兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。，Z=max,min(X1,X2,…Xn)若相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為，則Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函數(shù)為：hhh分布設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和的分布密度為我們稱隨機(jī)變量W服從自由度為n的分布，記為W～，其中所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個(gè)重要參數(shù)。分布滿足可加性：設(shè)則t分布設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為 我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為t分布，記為T～t(n)。hhhF分布設(shè)，且X與Y獨(dú)立，可以證明的概率密度函數(shù)為我們稱隨機(jī)變量F服從第一個(gè)自由度為n1，第二個(gè)自由度為n2的F分布，記為F～f(n1,n2).第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié)基本概念1、概念網(wǎng)絡(luò)圖2、重要公式和結(jié)論（1）一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型hhh期望期望就是平均值設(shè)是離散型隨機(jī)變量，其分布律為，，（要求絕對(duì)收斂）設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為,（要求絕對(duì)收斂）函數(shù)的期望方差,標(biāo)準(zhǔn)差,矩①對(duì)于正整數(shù)，稱隨機(jī)變量的次冪的數(shù)學(xué)期望為的階原點(diǎn)矩，記為，即，。②對(duì)于正整數(shù)，稱隨機(jī)變量與差的次冪的數(shù)學(xué)期望為的階中心矩，記為，即。①對(duì)于正整數(shù)，稱隨機(jī)變量的次冪的數(shù)學(xué)期望為的階原點(diǎn)矩，記為，即=，。②對(duì)于正整數(shù)，稱隨機(jī)變量與差的次冪的數(shù)學(xué)期望為的階中心矩，記為，即hhh。切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量具有數(shù)學(xué)期望，方差，則對(duì)于任意正數(shù)，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知的分布的情況下，對(duì)概率的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。（2）期望的性質(zhì)（1）;（2）（3），（4），充分條件：和獨(dú)立；充要條件：和不相關(guān)。hhh（3）方差的性質(zhì)（1）；（2）；（3）；（4）（5），充分條件：和獨(dú)立；充要條件：和不相關(guān)。，無(wú)條件成立。而，無(wú)條件成立。（4）常見分布的期望和方差期望方差分布二項(xiàng)分布泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布分布分布0（5）二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望hhh函數(shù)的期望方差協(xié)方差對(duì)于隨機(jī)變量與，稱它們的二階混合中心矩為與的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為或，即。與記號(hào)相對(duì)應(yīng)，與的方差與也可分別記為與。hhh相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量與，如果，，則稱為與的相關(guān)系數(shù)，記作（有時(shí)可簡(jiǎn)記為）。，當(dāng)時(shí)，稱與完全相關(guān)：而當(dāng)時(shí)，稱與不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的：①；②；③；④；⑤。協(xié)方差矩陣混合矩對(duì)于隨機(jī)變量與，如果有存在，則稱之為與的階混合原點(diǎn)矩，記為；階混合中心矩記為：（6）協(xié)方差的性質(zhì)（i）；（ii）；（iii）；（iv）。hhh（7）獨(dú)立和不相關(guān)（i）若隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，則；反之不真。（ii）若，則與相互獨(dú)立的充要條件是和不相關(guān)。第五章大數(shù)定律和中心極限定理1、概念網(wǎng)絡(luò)圖2、重要公式和結(jié)論（1）大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D（Xi）<C(i=1,2,…),則對(duì)于任意的正數(shù)ε，有 特殊情形：若X1，X2，…具有相同的數(shù)學(xué)期望E（XI）=μ，則上式成為hhh伯努利大數(shù)定律設(shè)μ是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的正數(shù)ε，有 伯努利大數(shù)定律說(shuō)明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律設(shè)X1，X2，…，Xn，…是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E（Xn）=μ，則對(duì)于任意的正數(shù)ε有（2）中心極限定理列維－林德伯格定理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗－拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量為具有參數(shù)n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有（3）二項(xiàng)定理若當(dāng)，則 超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。hhh（4）泊松定理若當(dāng)，則 其中k=0，1，2，…，n，…。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念1、概念網(wǎng)絡(luò)圖2、重要公式和結(jié)論（1）數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對(duì)象的某一個(gè)（或多個(gè)）指標(biāo)的全體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。個(gè)體總體中的每一個(gè)單元稱為樣品（或個(gè)體）。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時(shí)，表示n個(gè)隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，表示n個(gè)具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和統(tǒng)計(jì)量設(shè)為總體的一個(gè)樣本，稱 （）為樣本函數(shù)，其中為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱（）為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。hhh常見統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)樣本均值 樣本方差 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 樣本k階原點(diǎn)矩 樣本k階中心矩，，，,其中，為二階中心矩。（2）正態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)t分布設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。hhh設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中表示自由度為n-1的分布。F分布設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，而為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中 表示第一自由度為，第二自由度為的F分布。（3）正態(tài)總體下分布的性質(zhì)與獨(dú)立。第七章參數(shù)估計(jì)1、概念網(wǎng)絡(luò)圖hhh2、重要公式和結(jié)論（1）點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)，則其分布函數(shù)可以表成它的k階原點(diǎn)矩中也包含了未知參數(shù)，即。又設(shè)為總體X的n個(gè)樣本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為 這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有由上面的m個(gè)方程中，解出的m個(gè)未知參數(shù)即為參數(shù)（）的矩估計(jì)量。若為的矩估計(jì)，為連續(xù)函數(shù)，則為的矩估計(jì)。hhh極大似然估計(jì)當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為，其中為未知參數(shù)。又設(shè)為總體的一個(gè)樣本，稱為樣本的似然函數(shù)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)n. 當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為，則稱為樣本的似然函數(shù)。 若似然函數(shù)在處取到最大值，則稱分別為的最大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估計(jì)量。若為的極大似然估計(jì)，為單調(diào)函數(shù)，則為的極大似然估計(jì)。（2）估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性設(shè)為求知參數(shù)的估計(jì)量。若E（）=，則稱為的無(wú)偏估計(jì)量。E（）=E（X），E（S2）=D（X）有效性設(shè)和是未知參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。若，則稱有效。hhh一致性設(shè)是的一串估計(jì)量，如果對(duì)于任意的正數(shù)，都有則稱為的一致估計(jì)量（或相合估計(jì)量）。若為的無(wú)偏估計(jì)，且則為的一致估計(jì)。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計(jì)量。（3）區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間和置信度設(shè)總體X含有一個(gè)待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本出發(fā)，找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量與，使得區(qū)間以的概率包含這個(gè)待估參數(shù)，即那么稱區(qū)間為的置信區(qū)間，為該區(qū)間的置信度（或置信水平）。單正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間估計(jì) 設(shè)為總體的一個(gè)樣本，在置信度為下，我們來(lái)確定的置信區(qū)間。具體步驟如下：（i）選擇樣本函數(shù)；（ii）由置信度，查表找分位數(shù)；（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間。已知方差，估計(jì)均值（i）選擇樣本函數(shù)(ii)查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間hhh未知方差，估計(jì)均值（i）選擇樣本函數(shù) (ii)查表找分位數(shù)