各向異性單軸和雙軸參變光的相位匹配

各向異性單軸和雙軸參變光的相位匹配

1非共線相位匹配利用非線性光學(xué)晶體的光參數(shù)過程是人們熟悉的創(chuàng)造高功率、高信噪比的重要手段。近年來，一些新型線性光學(xué)晶體的出現(xiàn)促進(jìn)了激光參數(shù)技術(shù)的快速發(fā)展。相位匹配是光參變過程中一個(gè)非常重要的概念,為保證參變過程有效地產(chǎn)生,必須使參與互作用的光波在介質(zhì)中傳播時(shí)具有相同的相速度,即實(shí)現(xiàn)相位匹配,通常利用非線性晶體的雙折射與色散特性可以實(shí)現(xiàn)相位匹配。非共線參變過程早在1969年就被報(bào)道,但非共線相位匹配光學(xué)參變過程(NOPG)也只是作為一種產(chǎn)生超短脈沖的新方法在最近才引起人們的極大注意。理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果已表明非共線參變過程有如下特點(diǎn):擴(kuò)展共線參變過程的可調(diào)諧性;使參變過程中的互作用光波更容易分離;通過引入非共線角可以有效地補(bǔ)償坡印廷矢量離分,從而增加參變光的有效互作用長(zhǎng)度;特別在超短脈沖的光參變過程中,非共線互作用能有效地減小參變光之間的群速失配,從而增大參變轉(zhuǎn)換效率;在超短脈沖的參變放大過程中,采用非共線互作用的方式可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)光和閑頻光的群速匹配,并且能夠大大地增加參變光的接受角,因此可以獲得極寬的增益帶寬和實(shí)現(xiàn)高增益;在參變振蕩器中非共線相位匹配可以獲得高轉(zhuǎn)換效率、雙通單諧振振蕩和較低的運(yùn)行閾值。非共線三波互作用在選擇最佳非共線角后,就必須計(jì)算最佳相位匹配角。由于非共線相位匹配較共線相位匹配復(fù)雜,特別是雙軸晶體非共線相位匹配固有的復(fù)雜性,有關(guān)單軸和雙軸晶體的非共線相位匹配迄今未見有系統(tǒng)的分析研究,根據(jù)不同的參變過程計(jì)算非共線相位匹配角是很難的一件事。本文針對(duì)單軸和雙軸晶體所有可能的非共線相位匹配類型進(jìn)行詳細(xì)系統(tǒng)的分析討論,并推導(dǎo)出不同匹配類型相位匹配角的數(shù)值計(jì)算表達(dá)式,只要選擇好最佳非共線角,并知道晶體的折射率表達(dá)式,即可根據(jù)本文給出的結(jié)果很快地計(jì)算出最佳相位匹配角。因此本文對(duì)于選擇合適的非線性晶體和準(zhǔn)確計(jì)算最佳相位匹配方向具有重要的實(shí)際意義。2單軸晶體受射力的相速見表3參變相互作用作為典型的三波耦合非線性過程,必須滿足能量和動(dòng)量守恒條件:ˉhω3=ˉhω2+ˉhω1,ˉhk3=ˉhk2+ˉhk1,(1)其中下標(biāo)1、2、3分別表示參與相互作用的三光波,其相位匹配條件的波矢表達(dá)式為Δk=k3-k2-k1=0.(2)所謂非共線相位匹配是指光波1、光波2和光波3分別沿不同方向傳播并滿足(2)式的要求。圖1是三波非共線相互作用的波矢關(guān)系圖,其中α和β分別為光波3與光波2、光波1的非共線夾角。由圖1及(2)式可推得三波非共線相互作用相位匹配條件的數(shù)值方程基本表達(dá)式為:n3(λ3)λ3=n2(λ2)λ2cosα+n1(λ1)λ1cosβ,β=arcsin[n2(λ2)n1(λ1)λ1λ2sinα],}(3)n3(λ3)λ3cosα=n2(λ2)λ2+n1(λ1)λ1cos(α+β),β=arcsin[n3(λ3)n1(λ1)λ1λ3sinα]-α,}(4)n3(λ3)λ3cosβ=n2(λ2)λ2cos(α+β)+n1(λ1)λ1,β=arctan{[n2(λ2)/λ2]sinαn3(λ3)/λ3-[n2(λ2)/λ2]cosα}.}(5)以上三種基本形式在實(shí)質(zhì)上是一致的,不同的形式主要是為下面方便地推導(dǎo)出不同相位匹配類型相位匹配角的顯式表達(dá)式。本文中為推導(dǎo)方便還設(shè)定:ω3>ω2≥ω1.(6)光在非線性晶體中傳播時(shí)的相速取決于光波在傳播方向的折射率,它與光波的偏振態(tài)及傳播方向有關(guān)。傳播方向確定后,一般說,存在兩個(gè)具有確定的特征相速和偏振方向的本征光波,且它們的偏振方向互相垂直。如果一個(gè)光的偏振方向與這兩個(gè)偏振方向中的任一個(gè)平行,則這個(gè)光波通過晶體時(shí),它的偏振方向?qū)⒈３植蛔儭９庠趩屋S晶體中傳播時(shí)按偏振態(tài)和折射率分為o(尋常光)和e(異常光),ne和no分別表示e光和o光在單軸晶體中傳播時(shí)的折射率。對(duì)于負(fù)單軸晶體ne<no,對(duì)于正單軸晶體ne>no。光在單軸晶體中傳播可用單軸晶體折射率曲面方程來分析:1n2e(θ)=cos2θn2o+sin2θn2e,(7)其中θ是e光傳播方向與光軸之間的夾角。而雙軸晶體有三個(gè)不相等的主折射率,即nx≠ny≠nz,因此光在雙軸晶體中傳播情況較為復(fù)雜,但可用雙軸晶體折射率曲面方程來分析:sin2θcos2φn-2-n-2x+sin2θsin2φn-2-n-2y+cos2θn-2-n-2z=0.(8)式中n表示光在雙軸晶體中傳播時(shí)的折射率。設(shè)定nz>ny>nx,x、y、z分別為沿雙軸晶體三條光軸方向的主坐標(biāo)軸,其中θ角和φ角是光在晶體內(nèi)傳播方向的極坐標(biāo)角,θ是該傳播方向與z軸的夾角,φ是該傳播方向在x-y平面內(nèi)的投影與x軸的夾角。3種類型的定義在本文中我們采用類似于參考文獻(xiàn)中經(jīng)典的相位匹配歸類方法,將滿足非共線相位匹配條件的光波1、光波2與光波3不同偏振狀態(tài)的組合分為三種類型,分別將它們定義為類型Ⅰ、類型Ⅱ、類型Ⅲ。在類型Ⅰ中,光波1與光波2的偏振態(tài)平行,與光波3的偏振態(tài)正交;在類型Ⅱ中,光波2與光波1的偏振態(tài)正交,與光波3的偏振態(tài)平行;在類型Ⅲ中,光波1與光波2的偏振態(tài)正交,與光波3的偏振態(tài)平行。為簡(jiǎn)化符號(hào)表達(dá)式,特定義ηh(λi)≡nh(λi)λi,(i=1,2,3)(9)其中在單軸晶體中h=o,e,雙軸晶體中h=x,y,z。3.1相位匹配角解析對(duì)于負(fù)單軸晶體,所有可能的非共線相位匹配類型、條件和匹配角計(jì)算表達(dá)式歸結(jié)起來推導(dǎo)結(jié)果如下:類型Ⅰ(o+o→e):ηo(λ2)cosα+ηo(λ1)cosβ≥ηe(λ3),sinθpm=ne(λ3)ηo(λ2)cosα+ηo(λ1)cosβ×{η2o(λ3)-[ηo(λ2)cosα+ηo(λ1)cosβ]2n2o(λ3)-n2e(λ3)}1/2β=arcsin[ηo(λ2)ηo(λ1)sinα].}(10)類型Ⅱ(o+e→e):ηo(λ2)cosα+ηe(λ1)cosβ≥ηe(λ3).(11)匹配角θpm無法用簡(jiǎn)單的解析式表示,可參照(3)式～(5)式和圖1并利用三波非共線之間的三角矢量關(guān)系建立相位匹配計(jì)算表達(dá)式,然后通過計(jì)算機(jī)求數(shù)值解而獲得。在下文中凡是沒有給出相位匹配角的顯式表達(dá)式的類型,都用類似的方法求解。類型Ⅲ(e+o→e):ηe(λ2)cosα+ηo(λ1)cosβ≥ηe(λ3).(12)對(duì)于正單軸晶體,可能的非共線相位匹配類型、條件和相位匹配角的表達(dá)式歸結(jié)起來推導(dǎo)結(jié)果如下:類型Ⅰ(e+e→o):ηe(λ2)cosα+ηe(λ1)cosβ≥ηo(λ3).(13)類型Ⅱ(e+o→o):ηe(λ2)cosα+ηo(λ1)cosβ≥ηo(λ3),sinθpm=ne(λ2)ηo(λ3)cosα-ηo(λ1)cos(α+β)×{ηo2(λ2)-[ηo(λ3)cosα-ηo(λ1)cos(α+β)]2no2(λ2)-ne2(λ2)}1/2β=arcsin[ηo(λ3)ηo(λ1)sinα]-α.}(14)類型Ⅲ(o+e→o):ηo(λ2)cosα+ηe(λ1)cosβ≥ηe(λ3),sinθpm=ne(λ1)ηo(λ3)cosβ-ηo(λ2)cos(α+β)×{ηo2(λ1)-[ηo(λ3)cosβ-ηo(λ2)cos(α+β)]2no2(λ1)-ne2(λ1)}1/2β=arctan[ηo(λ2)sinαηo(λ3)-ηo(λ2)cosα].}(15)3.2共線相位匹配的類型對(duì)于雙軸晶體,所有可能的非共線相位匹配類型、條件和相位匹配角的表達(dá)式歸結(jié)起來推導(dǎo)結(jié)果如下:三光波在x-y主平面內(nèi)相互作用,即在θ=90°條件下:類型Ⅰ(o+o→e):ηz(λ2)cosα+ηz(λ1)cosβ≤ηy(λ3),ηz(λ2)cosα+ηz(λ1)cosβ≥ηx(λ3),sinφpm=nx(λ3)ηz(λ2)cosα+ηz(λ1)cosβ×{ηy2(λ3)-[ηz(λ2)cosα+ηz(λ1)cosβ]2ny2(λ3)-nx2(λ3)}1/2?β=arcsin[ηz(λ2)ηz(λ1)sinα].}(16)類型Ⅱ(o+e→e):ηz(λ2)cosα+ηy(λ1)cosβ≤ηy(λ3),ηz(λ2)cosα+ηx(λ1)cosβ≥ηx(λ3),}(17)類型Ⅲ(e+o→e):ηy(λ2)cosα+ηz(λ1)cosβ≤ηy(λ3),ηx(λ2)cosα+ηz(λ1)cosβ≥ηx(λ3),}(18)y-z面內(nèi),即φ=90°條件下:類型I(e+e→o):ηy(λ2)cosα+ηy(λ1)cosβ≤ηx(λ3),ηz(λ2)cosα+ηz(λ1)cosβ≥ηx(λ3).}(19)類型Ⅱ(e+o→o):ηy(λ2)cosα+ηx(λ1)cosβ≤ηx(λ3),ηz(λ2)cosα+ηx(λ1)cosβ≥ηx(λ3),sinθpm=nz(λ2)ηx(λ3)cosα-ηx(λ1)cos(α+β)×{ηy2(λ2)-[ηx(λ3)cosα-ηx(λ1)cos(α+β)]2ny2(λ2)-nz2(λ2)}1/2β=arcsin[ηx(λ3)ηx(λ1)sinα]-α.}(20)類型Ⅲ(o+e→o):ηx(λ2)cosα+ηy(λ1)cosβ≤ηx(λ3),ηx(λ2)cosα+ηz(λ1)cosβ≥ηx(λ3),sinθpm=nz(λ1)ηx(λ3)cosβ-ηx(λ2)cos(α+β)×{ηy2(λ1)-[ηx(λ3)cosβ-ηx(λ2)cos(α+β)]2ny2(λ1)-nz2(λ1)}1/2,β=arctan[ηx(λ2)sinαηx(λ3)-ηx(λ2)cosα].}(21)x-z平面內(nèi),即φ=0°條件下:類型Ⅰ(o+o→e):ηy(λ2)cosα+ηy(λ1)cosβ≥ηx(λ3),sinθpm=nz(λ3)ηy(λ2)cosα+ηy(λ1)cosβ×{ηx2(λ3)-[ηy(λ2)cosα+ηy(λ1)cosβ]2nx2(λ3)-nz2(λ3)}1/2,β=arcsin[ηy(λ2)ηy(λ1)sinα].}(22)類型Ⅱ(o+e→e):ηy(λ2)cosα+ηx(λ1)cosβ≥ηx(λ3).(23)類型Ⅲ(e+o→e):ηx(λ2)cosα+ηy(λ1)cosβ≥ηx(λ3).(24)類型Ⅰ(e+e→o):ηz(λ2)cosα+ηz(λ1)cosβ≥ηy(λ3).(25)類型Ⅱ(e+o→o):ηz(λ2)cosα+ηy(λ1)cosβ≥ηy(λ3),sinθpm=nz(λ2)ηy(λ3)cosα-ηy(λ1)cos(α+β)×{ηx2(λ2)-[ηy(λ3)cosα-ηy(λ1)cos(α+β)]2nx2(λ2)-nz2(λ2)}1/2,β=arcsin[ηy(λ3)ηy(λ1)sinα]-α.}(26)類型Ⅲ(o+e→o):ηy(λ2)cosα+ηz(λ1)cosβ≥ηy(λ3),sinθpm=nz(λ1)ηy(λ3)cosβ-ηy(λ2)cos(α+β)×{ηx2(λ1)-[ηy(λ3)cosβ-ηy(λ2)cos(α+β)]2nx2(λ1)-nz2(λ1)}1/2,β=arctan[ηy(λ2)sinαηy(λ3)-ηy(λ2)cosα].}(27)上面推導(dǎo)的結(jié)果具有普遍意義,當(dāng)非共線角α取為零時(shí)即成為共線相位匹配時(shí)的情況。對(duì)于雙軸晶體,若參變過程發(fā)生在主平面之外,則相位匹配十分復(fù)雜,可借助計(jì)算機(jī)求解(3)式來獲得相位匹配角的數(shù)值解(θpm,φpm)。需要注意的是本文中對(duì)于雙軸晶體的主軸nz>ny>nx的設(shè)定是為推導(dǎo)方便,不同的文獻(xiàn)可能對(duì)晶體主軸的坐標(biāo)設(shè)定不同,但這并不影響本文結(jié)果的普遍意義,在使用本文的結(jié)果時(shí),若引用的折射率下標(biāo)與本文的坐標(biāo)不一致,只需將相應(yīng)的下標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)換即可。圖2至圖7是利用上面推導(dǎo)的結(jié)果計(jì)算出的幾個(gè)實(shí)例。對(duì)各向異性晶體中非共線參變過程的相位匹配進(jìn)行了詳細(xì)的討論,給出了在單軸和雙軸晶體的主平面內(nèi)非共線三波互作用的所有可能的相位匹配類型、條件及匹配角的數(shù)值計(jì)算表達(dá)式。對(duì)于任何一非共線參變過程,在選擇合適的非線性晶體后,可根據(jù)本文中的相位匹配角表達(dá)式很快地確