函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)2

1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(2)

高二數(shù)學(xué)選修2-2

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一般地，函數(shù)y＝f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)：如果

，則f(x)在該區(qū)間是增函數(shù)。如果

，則f(x)在該區(qū)間是減函數(shù)。

求單調(diào)區(qū)間的步驟:（1）求函數(shù)的定義域（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自變量x的取值范圍，即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。f’(x)>0f’(x)<0知識(shí)回顧：

1.用“導(dǎo)數(shù)法”求單調(diào)區(qū)間的步驟:一、方法:(1)確定函數(shù)的定義域(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x)(3)求方程f'(x)

=0的全部解(4)檢查f'(x)在f'(x)

=0的根左.右兩邊值的符號(hào),如果左正右負(fù)(或左負(fù)右正),那么f(x)在這個(gè)根取得極大值或極小值

2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值二.求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟:知識(shí)回顧：

1.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y'與函數(shù)值和極值之間的關(guān)系為()A、導(dǎo)數(shù)y'由負(fù)變正,則函數(shù)y由減變?yōu)樵?且有極大值B、導(dǎo)數(shù)y'由負(fù)變正,則函數(shù)y由增變?yōu)闇p,且有極大值C、導(dǎo)數(shù)y'由正變負(fù),則函數(shù)y由增變?yōu)闇p,且有極小值D、導(dǎo)數(shù)y'由正變負(fù),則函數(shù)y由增變?yōu)闇p,且有極大值D課堂練習(xí)2.下圖是導(dǎo)函數(shù)的圖象,在標(biāo)記的點(diǎn)中,在哪一點(diǎn)處(1)導(dǎo)函數(shù)有極大值?(2)導(dǎo)函數(shù)有極小值?(3)函數(shù)有極大值?(4)函數(shù)有極小值?或課堂練習(xí)3.（06年天津卷)函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有（）個(gè)極小值點(diǎn)。A.1B.2C.3

D.4Af

(x)<0f

(x)>0f

(x)=0注意：數(shù)形結(jié)合以及原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像的區(qū)別隨堂練習(xí)：

例1.已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1處的極大值為4，極小值為0，試確定a、b、c的值．[分析]

本題的關(guān)鍵是理解“f(x)在x＝±1處的極大值為4，極小值為0”的含義．即x＝±1是方程f′(x)＝0的兩個(gè)根且在根x＝±1處f′(x)取值左右異號(hào)．例題分析：

[解析]

f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由題意，f′(x)＝0應(yīng)有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)(1)當(dāng)a＞0時(shí)，x(－∞，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1，＋∞)y′＋0－0－0＋y

極大值

無極值

極小值

例題分析：

[點(diǎn)評(píng)]緊扣導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系對題目語言進(jìn)行恰當(dāng)合理的翻譯、轉(zhuǎn)化是解決這類問題的關(guān)鍵．例題分析：

已知函數(shù)在處取得極值。（1）求函數(shù)的解析式（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：（1）∵在取得極值,∴

即解得

∴

（2）∵，由得

∴的單調(diào)增區(qū)間為由得

的單調(diào)減區(qū)間為例2：

1.函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有極大值，又有極小值，則a的取值范圍為

。注意：導(dǎo)數(shù)與方程、不等式的結(jié)合應(yīng)用隨堂練習(xí)：

2.（2007全國）設(shè)函數(shù)注意：函數(shù)與方程思想的應(yīng)用在及時(shí)取得極值,求a、b的值。a=-3,b=4隨堂練習(xí)：

[例3]求函數(shù)f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)內(nèi)的極值(a>0)解.由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

極大值

極小值

例題分析：

由此可得：當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極大值f(0)＝－2，無極小值；當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)無極值；當(dāng)1<a<3時(shí)，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極小值f(2)＝－6，無極大值；當(dāng)a≥3時(shí)，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)無極值．綜上得：當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)有極大值－2，無極小值；當(dāng)1<a<3時(shí)，f(x)有極小值－6，無極大值；當(dāng)a＝1或a≥3時(shí)，f(x)無極值．3.(2009·陜西文，20)已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在x＝－1處取得極大值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．練習(xí)：

[解析]

(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，當(dāng)a<0時(shí)，對x∈R，有f′(x)>0，∴當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)．∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1，在x＝1處取得極小值f(1)＝－3.∵直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1，結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，m的取值范圍是(－3,1)．4．若x＝2是函數(shù)f(x)＝x(x－m)2的極大值點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的極大值為________．[答案]

32[解析]

f′(x)＝(x－m)2＋2x(x－m)＝3x2－4mx＋m2＝(x－m)(3x－m)練習(xí)：

5.(2006年北京卷)已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù)的圖像(如圖)過點(diǎn)（1,0）,（2,0）,求：（1）的值；（2）a,b,c的值；.略解：(1)由圖像可知：(2)注意：數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用練習(xí)：

一、求參數(shù)的取值范圍函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)例2：求參數(shù)解：由已知得因?yàn)楹瘮?shù)在（0，1]上單調(diào)遞增函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)例2：在某個(gè)區(qū)間上，，f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）；但由f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而僅僅得到是不夠的。還有可能導(dǎo)數(shù)等于0也能使f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)，所以對于能否取到等號(hào)的問題需要單獨(dú)驗(yàn)證例2：本題用到一個(gè)重要的轉(zhuǎn)化：一、方法:(1)確定函數(shù)的定義域(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x)(3)求方程f'(x)

=0的全部解(4)檢查f'(x)在f'(x)

=0的根左.右兩邊值的符號(hào),如果左正右負(fù)(或左