二次函數(shù)y=axC的圖象和性質(zhì) 省賽獲獎

九年級數(shù)學(xué)(下)第2章

二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+c圖象和性質(zhì)主講：肖科夫溫故知新y=ax2(a≠0)a>0a<0圖象開口方向頂點坐標對稱軸增減性極值xyOyxO向上向下(0,0)(0,0)y軸y軸當x<0時，y隨著x的增大而減小。當x>0時，y隨著x的增大而增大。當x<0時,y隨著x的增大而增大。當x>0時，y隨著x的增大而減小。

x=0時,y最小=0x=0時,y最大=0拋物線y=ax2(a≠0)的形狀是由|a|來確定的,一般說來,|a|越大,拋物線的開口就越小.請在同一坐標系中畫出函數(shù)y=2x2

和y=2x2+1的圖象。

畫一畫xy=2x2y=2x2+1………-2-1.5-1-0.500.511.52………84.520.500.524.5895.531.511.535.59yoy=2x2-4-3-2-11234123456789xy=2x2+1

想一想yoy=2x2-2-11234123456789xy=2x2+1

函數(shù)y=2x2+1的圖象是什么形狀?它的開口方向,對稱軸和頂點坐標分別是什么?它與y=2x2的圖象有什么相同和不同?不同點：頂點不同,分別是原點(0,0)和(0,1).相同點：二次函數(shù)y=2x2+1的圖象形狀與y=2x2一樣,仍是拋物線.二次函數(shù)y=2x2+1的圖象是什么形狀?它與二次函數(shù)y=2x2的圖象有什么相同和不同?它的開口方向、對稱軸和頂點坐標分別是什么?

不同點：位置不同;最大值不同:分別是0和-1.想一想,在同一坐標系中作二次函數(shù)y=-2x2+1和y=-2x2的圖象,會是什么樣?

理一理相同點：①二次項系數(shù)為正數(shù)2,②開口向上;③開口大小相同;④對稱軸都是y軸;⑤增減性與也相同.0.25.0.5.0.75.-0.25-0.5.-0.75.0.x-110.25.0.5.0.75.1.y-0.25.-0.5.-0.75.-1.y=3x2

想一想已知函數(shù)y=3x2的圖像，你知道函數(shù)y=3x2-1的大致圖象和位置嗎?

0.25.0.25.0.5.0.75.-0.25-0.5.-0.75.0.x-11-0.25.-0.5.-0.75.-1.y=3x2-1二次函數(shù)y=3x2-1圖像可以由y=3x2

的圖象向下平移1個單位得到。

看一看相同點：①二次項系數(shù)為負數(shù)-3,②開口向下;③開口大小相同;④對稱軸都是y軸;⑤增減性與也相同.不同點：頂點不同,分別是原點(0,0)和(0,-1).相同點：二次函數(shù)y=-3x2－1的圖象形狀與y=-3x2一樣,仍是拋物線.二次函數(shù)y=-3x2-1的圖象是什么形狀?它與二次函數(shù)y=-3x2的圖象有什么相同和不同?它的開口方向、對稱軸和頂點坐標分別是什么?

不同點：位置不同;最大值不同:分別是0和-1.請你總結(jié)二次函數(shù)y=ax2+c的圖象和性質(zhì).

比一比

函數(shù)y=ax2(a≠0)和函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象形狀

，只是位置不同；當c>0時，函數(shù)y=ax2+c的圖象可由y=ax2的圖象向

平移

個單位得到，當c〈0時，函數(shù)y=ax2+c的圖象可由y=ax2的圖象向

平移

個單位得到。y=-x2-2y=-x2+3y=-x2函數(shù)y=-x2-2的圖象可由y=-x2的圖象沿y軸向下平移2個單位長度得到.函數(shù)y=-x2+3的圖象可由y=-x2的圖象沿y軸向上平移3個單位長度得到.圖象向上移還是向下移,移多少個單位長度,有什么規(guī)律嗎?上加下減相同上c下|c|1、拋物線y=-3x2+5的開口

，對稱軸是

，頂點坐標是

，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而

，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而

，當x=

時，取得最

值，這個值等于

。3、二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點A（1，-1），B（2，5），則函數(shù)y=ax2+c的表達式為

。若點C(-2,m),D（n,7）也在函數(shù)的圖象上，則點C的坐標為

點D的坐標為

.2、拋物線y=7x2-3的開口

，對稱軸是

，頂點坐標是

，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而

，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而

，當x=

時，取得最

值，這個值等于

。下y軸(0,5)減小增大0大5上y軸(0,-3)減小增大0小-3y=2x2-3(-2,5)或

試一試二次函數(shù)y=ax2與y=ax2+c的圖象有什么關(guān)系？二次函數(shù)y=ax2+c的圖象可以由y=ax2

的圖象當c>0時向上平移c個單位得到.當c<0時向下平移│c│個單位得到.函數(shù)y=ax2+cy=ax2開口方向a>0時,向上a<0時,向下對稱軸y軸y軸頂點坐標（0,0）（0,c）a>0時,向上a<0時,向下上＋下-+上-下

總一總1.函數(shù)y=x2-1的圖象，可由y=x2的圖象向平___

移

個單位。2.函數(shù)y=-5x2的圖象向上平移3個單位，則得到的圖像的解析式為

。3.把函數(shù)y=3x2+2的圖象沿x軸對折，得到的圖象的函數(shù)解析式為_______。4.已知（m,n)在y=ax2+a的圖象上,(-m,n),_____（在，不在）y=ax2+a的圖象上。5.若y=x2+（2k-1）的頂點位于x軸上方，則K____填空題下1

y=-3x2-2在＞0.5y=-5x2+31.已知拋物線y=3x2+4,點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)在其圖象上,且x2<x4<0,0<x3<x1,|x2|>|x1|,|x3|>|x4|,則()選擇題A.y1>y2>y3>y4B.y2>y1>y3>y4C.y3>y2>y4>y1D.y4>y2>y3>y1x1x2x3x4y1y4y3y2By=ax2-b由圖知a＜0，-b＞0，∴a＜0，

b＜02.一次函數(shù)y=ax+b與y=ax2-b在同一坐標系中的大致圖象是（）y=ax2-b由圖知a＜0，-b＞0，∴a＜0，

b＜0選擇題x0yx0x0x0xxyyyB.A.C.D.By=ax+b由圖知a＞0，b＞0y=ax+b由圖知a＞0，b＞0y=ax2-b由圖知a>0，-b＜0，∴a＞0，

b＞0y=ax+b由由圖知a＞0，b＜0y=ax+b由圖知a＜0，b＜0y=ax2-b由圖知a＜0，-b＜0，∴a＜0，

b＞02.函數(shù)y=ax2+a與y=（a≠0)在同一坐標系中的大致圖象是（）選擇題yx0x0yx0yA.xy0B.C.D.Dy=ax2+a由圖知a＞0，a＜0，∴互相矛盾反比例函數(shù)由圖知a＞0y=ax2+a由圖知a＜0，a＜0，∴a＜0反比例函數(shù)由圖知a＞0y=ax2+a由圖知a＞0，a=0，∴互相矛盾反比例函數(shù)由圖知a＞0y=ax2+a由圖知a＜0，a＜0，∴a＜0反比例函數(shù)由圖知a＜04.已知二次函數(shù)y=ax2+c，當x取x1,x2(x1≠x2,x1,x2分別是A,B兩點的橫坐標)時，函數(shù)值相等，則當x取x1+x2時，函數(shù)值為（）

A.a+cB.a-cC.–cD.c選擇題D選擇題5.函數(shù)y=ax2-a與y=在同一直角坐標系中的圖象可能是（）Ay=ax2-a由圖知a＜0，-a＞0，得a＜0反比例函數(shù)由圖知a＜0y=ax2-a由圖知a＜0，-a＞0，得a＜0反比例函數(shù)由圖知a＞0y=ax2-a由圖知a＜0，-a＜0，得a＞0反比例函數(shù)由圖知a＜0y=ax2-a由圖知a＜0，-a＜0，得a＞0反比例函數(shù)由圖知a＞01.某涵洞是拋物線形,它的截面如圖所示.現(xiàn)測得水面寬AB=1.6m,涵洞頂點C到水面的距離為2.4m.在圖中直角坐標系內(nèi).求涵洞所在拋物線的函數(shù)解析式.

解答題xyABOC解:設(shè)涵洞所在拋物線的函數(shù)解析式為y=ax2+2.4根據(jù)題意有A(-0.8,0)，B(0.8,0)將x=0.8,y=0代入y=ax2+2.4得

0=0.64a+2.4∴a=-設(shè)涵洞所在拋物線的函數(shù)解析式為y=-x2+2.4

試一試拋物線頂點不是原點，但關(guān)于y軸對稱應(yīng)設(shè)為y=ax2+c將C(0,8)、B(12,0)代入ED∴此船剛好能開到橋下。2.一位籃球運動員跳起投籃，球沿拋物線運行，然后準確落入藍筐內(nèi)，已知藍筐的中心離地面的距離為3.05m。

(1)球在空中運行的最大高度是多少米？

(2)如果運動員跳投時，球出手離地面的高度為2.25m，則他離籃筐中心的水平距離AB是多少？

試一試二次函數(shù)y=ax2+c的圖象和性質(zhì)１.頂點坐標與對稱軸２.位置與開口方向３.增減性與最值拋物線頂點坐標對稱軸位置開口方向增減性最值y=ax2+c(a>0)y=ax2+c(a<0)（0，c）（0，c）y軸或（直線x=0）y軸或（直線x=0）當c>0時,在x軸的上方(經(jīng)過一,二象限);當c<0時,與x軸相交(經(jīng)過一,二三四象限).當c<0時,在x軸的下方(經(jīng)過三,四象限);當c>0時,與x軸相交(經(jīng)過一,二三四象限).開口向上開口向下當x=0時,