-1課件3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)--圖文

第3

章導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用3

.

3

.

1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間從導(dǎo)數(shù)的角度解釋增減及增

減快慢

的情

況有關(guān)含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題內(nèi)容：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)大致圖象函數(shù)的

單

調(diào)

性

與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)應(yīng)

用本課主要學(xué)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.利用動(dòng)畫剪紙之對稱性引入新課，接著復(fù)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)問題，通過探

究跳水運(yùn)動(dòng)中高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)的圖象，討論運(yùn)動(dòng)員的

速度v隨時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系，再結(jié)合具體函數(shù)，探究函數(shù)在

某個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)在該點(diǎn)處的單調(diào)性問題。結(jié)合具體例

子探索函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)

性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、從導(dǎo)數(shù)的角度解釋增減及增減快慢的

情況及含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題.

重點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.采用例題與變式練習(xí)相結(jié)合的方法，通過4個(gè)例題探討利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題

。隨后是5道課堂檢測，

通

過

設(shè)

置

難易不同的必做和選做試題，對不同的學(xué)生進(jìn)行因材施教。設(shè)計(jì)思路新課導(dǎo)入動(dòng)畫剪紙之對稱性創(chuàng)

設(shè)

情

景

：函數(shù)是客觀

描

述

世界

變

化

規(guī)

律的重要數(shù)

學(xué)

模型，

研究函

數(shù)

時(shí)，了

解

函

數(shù)

的

增

與

減

、

增

減

的

快

與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等

性

質(zhì)是

非

常

重

要的

.通

過

研究函

數(shù)的

這

些

性

質(zhì)

，

我

們

可以

對

數(shù)

量的變化

規(guī)

律

有

一

個(gè)

基

本的了

解.函

數(shù)的

單

調(diào)

性

與函

數(shù)的導(dǎo)數(shù)一樣都是反映函數(shù)變化情況的，那么函

數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否有著某種內(nèi)在的

聯(lián)系呢?復(fù)

習(xí)

引

入

：問題1:

函數(shù)單調(diào)性的定義怎樣描述的?一般

地，對

于

給

定區(qū)間D上

的

函數(shù)f(x),若對于屬于區(qū)間D的任意兩個(gè)自變量的值x?,x?,

當(dāng)x?<x?

時(shí)，有(1)若f(×?)<f

(x?),

那么f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù).(2)若f(x?)>f(x?)

,那么f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).2.

用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：(1)任取X?

、X?∈D,且x?

<x?

.(2)作差f(x?)—f(x?)

(作商)(3)變形(因式分解、配方、通分、提取公因式)(4)定號(hào)(判斷差f(x?)

一f(x?)的正負(fù))(與O比較)(5)結(jié)論3.

研

究

函

數(shù)

的

單

調(diào)

區(qū)

間

你

有

哪

些

方

法

?(1)

觀

察

法：

觀

察圖

象的

變

化

趨

勢

；(2)

定

義

法：4.討論函數(shù)y=x2—4x+3

的單調(diào)性.圖象法定義法單

增區(qū)間

：

(2,+0).單

減區(qū)間：

(

一

～

,

2).5.確定函數(shù)f(x)=xlnx

在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)?哪個(gè)區(qū)間

內(nèi)

是

減

函

數(shù)

?提出問題：(1)你能畫出函數(shù)的圖象嗎?(

2

)

能

用

單

調(diào)

性的

定

義嗎

?試

一

試，

提問

一

個(gè)

學(xué)

生：

解

決了

嗎

?

到

哪

一

步

解

決

不

了

?(產(chǎn)生

認(rèn)知

沖突)發(fā)現(xiàn)問題：定義是解決單調(diào)性最根本的工具，但有時(shí)很

麻煩，甚至解決不了.尤其是在不知道函數(shù)的圖象的時(shí)

候，如該例，這就需要我們尋求一個(gè)新的方法來解決.新

課

講

授探究

如圖(1),它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10

的圖象，圖(2)表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度v隨時(shí)間t變化的函數(shù)

v(t)=h'(t)=-9.8t+6.5

的圖象.運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別?引導(dǎo)：隨著時(shí)間的變化，運(yùn)動(dòng)員離

水面的高度的變化有什么趨勢?是

逐漸增大還是逐步減小?(1)通過觀察圖象

，

我們可以發(fā)現(xiàn)

：(1

)

運(yùn)

動(dòng)員

從

起

點(diǎn)

到

最

高

點(diǎn)，

離

水

面的

高

度h

隨

時(shí)

間t的增加而增加，即h(t)是增函數(shù).相應(yīng)地，v(t)=h'(t)>

0

·(

2

)

從

最高

點(diǎn)

到

入

水，

運(yùn)

動(dòng)

員

離

水

面的

高

度h

隨

時(shí)

間t的

增

加

而

減

少

，即h(t)是減函數(shù).相應(yīng)地，v(t)=h'(t)<0函數(shù)的單調(diào)性可簡單的認(rèn)為是

：

,則函數(shù)f(x)

為

增函

數(shù)說明函數(shù)的變化率

可以

反映函

數(shù)的單

調(diào)

性

，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單

調(diào)

性

有

著

密

切的

聯(lián)系.想一想上

述

情

況

是

否

具

有

一

般

性呢

?

導(dǎo)

數(shù)的

幾

何

意

義是函數(shù)在該點(diǎn)處的切線的斜率，函數(shù)圖象

上每個(gè)點(diǎn)處的切線的斜率都是變化的，那么

函

數(shù)的

單

調(diào)

性

與

導(dǎo)

數(shù)

有

什

么

關(guān)

系呢

?(1)函數(shù)y=x的定義域

為R,

并

且

在

定

義

域

上

是

增函

數(shù)，其導(dǎo)

數(shù)y1

=1>0(2)函數(shù)y=x2

的

定

義

域

為R,

并且在(

-o,0)上

單

調(diào)

遞

減

，在(0,+o)

上單調(diào)遞增，其導(dǎo)數(shù)

y'=2

x當(dāng)

x<0時(shí)，y'<0;當(dāng)

x>0時(shí)，y'>0;當(dāng)

x=0時(shí)，y'=0.觀察下面函數(shù)的圖象

，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)

的

關(guān)

系(3)函數(shù)y=x3的定義域?yàn)镽,

并且在定義域上是增函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)

y'=3x22若x≠0,則其導(dǎo)數(shù)3x2>0;

當(dāng)x=0,

則其導(dǎo)數(shù)3x2=0.(4)函數(shù)y=

的定義域?yàn)?一0)U(0,42),并且在(-o,O)上單調(diào)遞減，在(0,+o)上單調(diào)遞減..因?yàn)閤≠0.

所以y<0.該

函數(shù)在

區(qū)

間

(

一

～

,2)

上單減，切線斜率小于0,即其導(dǎo)數(shù)為負(fù)；在

區(qū)

間

(2

,

+

～

)

上單增，切線斜率大于0,即

X其導(dǎo)數(shù)為正.而當(dāng)x=2時(shí)其切線斜率

為0,即導(dǎo)數(shù)為0.函

數(shù)

在

該

點(diǎn)

單

調(diào)

性

發(fā)

生

改

變

.再觀察函數(shù)y=x2—4x+3

的圖象：小

結(jié)結(jié)論：在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)，如

果那么

函數(shù)

在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如

果(0,那么

函

數(shù)

在這個(gè)

區(qū)

間

內(nèi)單

調(diào)

遞

減.如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0

,則f(x)為常數(shù)函數(shù).規(guī)

律函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)在該點(diǎn)處的單調(diào)性的關(guān)系是

：在x=x?處，f'(x?)>0,

切線是左下右上，

函數(shù)f(x)

在x?

附近單調(diào)遞增在x=x?處，f'(x?)<0,切線是左上右下，

函數(shù)f(x)

在x;附近單調(diào)遞減函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)

在某個(gè)區(qū)間(a,b)

內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)在該區(qū)間如果f′(x)>0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間為增函數(shù)；如果f′(x)<0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間為減函數(shù).如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0,

則f(x)為常數(shù)函數(shù)若

f(x)在

區(qū)

間(a,b)

上

是

減函

數(shù)

，則轉(zhuǎn)化為

f(x)

≤0

在(a,b)上恒成立.請

注

意若

f(x)

在

區(qū)

間(a,b)則轉(zhuǎn)化為f(x)≥O上

是

增函

數(shù)

，在

(a,b)

上恒成立；探究問題一利用導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)大致圖象典

例

探

究例1、已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：試畫出

函數(shù)f(x)圖象的大

致

形

狀

。解

：大體

圖

象

為練

一

練已

知

導(dǎo)

函

數(shù)

的

下

列

信

息

：試

畫

出

函

數(shù)f(x)

圖

象

的

大

致

形

狀

。探究問題二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例

2

.

判

斷

下

列

函

數(shù)

的

單

調(diào)

性

，

并

求

出

單

調(diào)

區(qū)

間

.(1)f(x)=x3+3x

(2)f(x)=x2-2x-3(3)f(x)=sinx-xx

∈(0,π)(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1解：(1)∵f(x)=x3+3x∴f'(x)=3x2+3=3(x2+1)>0因此，f(x)=x3+3x在R上單調(diào)遞增.如圖1所示.解：(2)∵f(x)=x2-2x-3∴f'(x)=2x-2=2(x-1)當(dāng)f'(x)>0,即x>1時(shí)，函數(shù)f(x)=x2-2x-3

單調(diào)遞增當(dāng)f'(x)<0,

即x<1時(shí)，函數(shù)f(x)=x2-2x

-3

單調(diào)遞減

函數(shù)f(x)=x2-2x-3

的圖象如圖所示解：(3)f(x)=sinx-xx

∈(0,π)∴f'(x)=cosx-1<0因此，函數(shù)f(x)=sinx-x在(0,π)單調(diào)遞減，如

圖當(dāng)f'(x)>0,即

時(shí)，函數(shù)f(x)=2x3+3x2-24x+1

當(dāng)f'(x)<0,即

時(shí)，函數(shù)f(x)=2x3+3x2-24x+1

函數(shù)f(x)=2x3+3x2-24x+1的圖象如圖所示X解：(4)∵f(x)=2x3+3x2-24x+1∴小

結(jié)根

據(jù)

導(dǎo)

數(shù)

確

定

函

數(shù)

的

單

調(diào)

性

步

驟

：1.

確

定

函

數(shù)f(x)

的定義域.2.

求

出函

數(shù)

的

導(dǎo)

數(shù)f'(x)3.解不等式f′(x)>0

,得函數(shù)單增區(qū)間；解不等式f′(x)<0,得函數(shù)單減區(qū)間.規(guī)

律利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及求單調(diào)區(qū)間應(yīng)注意的問題：(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域，

解決問題的過

程中，只能在定

義

域內(nèi)，通過

討

論

導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí)，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)外，還有注意在定義域內(nèi)不連續(xù)點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn).(3)如果一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些單調(diào)

區(qū)

間

中

間不

能

用“U”

連接，而只能用“逗號(hào)”或“和”字隔開.練

一

練角軍

解得-1<x<0

或O<x<1的單調(diào)

區(qū)

間

是

(

-

1

,O)和(O,1)..解得x>1

或x<-1的

單

調(diào)

區(qū)

間

是(

-o,-1)

和(1,+o)探究問題三從導(dǎo)數(shù)的角度解釋增減及增減快慢的情況

例3

如圖，水以常速(即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中，

請分別找出與各容器對應(yīng)的水的解：(1)→

(B),(2)

→

(A),(3)→

(D),(4)→

(C)(A)高度h與時(shí)間t

的函數(shù)關(guān)系圖象.(C)(B)(D)一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值

較

大，

那

么

函

數(shù)

在

這

個(gè)

范圍內(nèi)

變

化

得

快

，

這

時(shí)

，

函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);反之，

函

數(shù)的

圖

象

就

“

平

緩

”

一

些

.如

圖

，

函

數(shù)在

(O,

或

(a,O)

內(nèi)

的

圖象

“

陡

峭

”

,

在

(b,lco)或

o)

內(nèi)的圖象平

緩探究

問題

四

有

關(guān)

含

參

數(shù)

的

函

數(shù)

單

調(diào)

性

問

題例4

.

已知函數(shù)f(x)=x3-ax

-1,

討

論f(x)

的

單

調(diào)

性

.解：f'(x)=3x2-a(1)當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)≥0,所

以f(x)

在(

-o,+o)上為增函數(shù)(2)當(dāng)a>0時(shí)，令3x2-a=0時(shí).,時(shí)

，f'(y)<0;因

此

/(x)

)上位增函數(shù)在：

上為減函數(shù)綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)

，f'(x)≥0,f(x)在

(-o,+o)上

為

增

函

數(shù)當(dāng)a>0

時(shí)，f(x)

在(

-

,

.(3a,+x)

上為

增

函

數(shù)

，在

,

上為減函數(shù).

練

一

練1.f(x)

不變，若f(x)

為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a

的取值范圍(一o,0)2.f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(1,+o)

上為增函數(shù)，

求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(一o,3)3.f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.[3,+]4.f(x)

不變，若f(x)

在減區(qū)間為(-1,1),求實(shí)數(shù)a的值a

=35.f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a

的取值范圍.

(0,3)小

結(jié)m≥f(x)

恒成立

→m≥f(x)mxm≤f(x)恒

成

立

→m≤f(x)min課

堂

總

結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)：(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；如何從導(dǎo)數(shù)的角度解釋增減及增減快慢的情況；(2)求解函數(shù)y=f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟：①確定函數(shù)y=f(x)的定義域(養(yǎng)成研究函數(shù)的性質(zhì)從定義域

出發(fā)

的

習(xí)

慣

)

;②求導(dǎo)數(shù)f(x);③得結(jié)論：

f’(x)>

且在定義域內(nèi)的為增區(qū)間；

f'(x)<0

且在定義

域內(nèi)的為減區(qū)間.(3

)由函

數(shù)

在(a,b)上的單

調(diào)

性，

求

參

數(shù)的

取

值范圍

：若

f(x)

在

區(qū)

間(a,b)

上是增函

數(shù)

，則轉(zhuǎn)化為f'(x)≥0

在

(a,b)上恒成立；若f(x)在區(qū)間(a,b)

上是減函數(shù)，則轉(zhuǎn)化為f'(x)≤0

在

(a,b)上恒成立.然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f’(x)

恒等于0.數(shù)學(xué)思想：

數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想.必

做

題1.求

下

列

函

數(shù)

的

單

調(diào)

區(qū)

間

：(1)y=x2-2x+4

(2)y=e*-x(3)y=3x-x3

(4)y=x3-x2-x解：(1)y=x2-2

x+4

的增區(qū)間是(1,+