時(shí)用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程

用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程駛向勝利的彼岸二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一元二次方程ax2+bx+c=0問(wèn)題以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí),球的飛行路線將是一條拋物線.如果不考慮空氣阻力,球的飛行高度h(單位:m)與飛行時(shí)間t(單位:s)之間具有關(guān)系.考慮以下問(wèn)題:(1)球的飛行高度能否達(dá)到15m?如能,

需要多少飛行時(shí)間?(2)球的飛行高度能否達(dá)到20m?如能,

需要多少飛行時(shí)間?(3)

球的飛行高度能否達(dá)到20.5m?為什么?(4)球從飛出到落地要用多少時(shí)間?(1)球的飛行高度能否達(dá)到15m?如能,

需要多少飛行時(shí)間?解:(1)解方程當(dāng)球飛行1s和3s時(shí),它的高度為15m.為什么在兩個(gè)時(shí)間球的高度為15m呢?(2)球的飛行高度能否達(dá)到20m?如能,

需要多少飛行時(shí)間?解:(2)解方程當(dāng)球飛行2s時(shí),它的高度為20m.為什么只在一個(gè)時(shí)間內(nèi)球的高度為20m呢?(3)

球的飛行高度能否達(dá)到20.5m?為什么?解:(3)解方程解:(4)解方程(4)球從飛出到落地要用多少時(shí)間?當(dāng)球飛行0s和4s時(shí),它的高度為0m,即0s時(shí)球從地面飛出,4s時(shí)球落回地面.為什么在兩個(gè)時(shí)間球的高度為0m呢?關(guān)系一：:1、下列二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)嗎？2、如果有,公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少?3、當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí),二次函數(shù)的值是多少?4、由此,你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎?（1）y＝x2+x-2；（2）y＝x2-6x+9；（3）y＝x2－x＋1．

[觀察]

y=(x+0.5)2-2.25y=(x-3)2y=(x-0.5)2+0.75y=x2+x-2y=x2-6x+9y=x2-x+11、下列二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)嗎？2、如果有,公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少?3、當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí),二次函數(shù)的值是多少?4、由此,你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎?二次函數(shù)與一元二次方程有密切關(guān)系：反過(guò)來(lái),由一元二次方程ax2＋bx+c=0的根的情況,也可以確定相應(yīng)的二次函數(shù)y＝ax2＋bx+c的圖象與x軸的位置關(guān)系.一般地,我們可以利用二次函數(shù)y＝ax2＋bx+c深入討論一元二次方程ax2＋bx+c=0.△=b2-4ac△>0△=0△<0ax2+bx+c=0(a>0)y=ax2+bx+c(a>0)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根y=ax2+bx+c與ax2+bx+c=0的關(guān)系(a>0)頂點(diǎn)在x軸上頂點(diǎn)在x軸下方頂點(diǎn)在x軸上方與x軸有一個(gè)交點(diǎn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)與X軸無(wú)交點(diǎn)解:作二次函數(shù)y＝x2-2x-2的圖象,y＝x2-2x-2=(x-1)2-3.如圖,它與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)大約是-0.7與2.7.所以,方程x2-2x-2=0的實(shí)數(shù)根為:x1≈-0.7,x2≈2.7例利用二次函數(shù)的圖象求方程x2-2x-2=0的實(shí)數(shù)根(精確到0.1).函數(shù)y=(x-1)2-3的圖象當(dāng)y=0時(shí),X1≈-0.7,X2≈2.7y=x2-2x-2練習(xí)CA1、判斷下列各拋物線是否與x軸相交，如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)。(1)y=6x2-2x+1(2)y=-3x2+4x-1(3)y=x2-4x+42.已知拋物線y=-2(x+1)2+8,①求拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo);②求拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離.練習(xí)3、已知拋物線y=x2-6x+a的頂點(diǎn)在x軸上，則a=

；若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的范圍是

；5、已知拋物線y=x2+px+q與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（-2，0），（3，0），則p=

，q=

。4、已知拋物線y=x2-3x+a+1與x軸最多只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的范圍是

。9a<9-1-6a≥5/4練習(xí)解:(1)如圖所示圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3)利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的根;利用一元二次方程求二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo).明確二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，令y＝0，即得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0；可以利用圖象解一元二次方程。10.畫(huà)出函數(shù)y=x2-x-的圖象，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題．1)圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？2)當(dāng)x取何值時(shí)，y＝0？這里x的取值與方程有什么關(guān)系?3)你能從中得到什么啟發(fā)?(2)二次函數(shù)y=x2-x-.令y=0，即得方程x2-x-=0，解得x1=-,x2=.而它的根是函數(shù)y=x2-x-的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。解：二次函數(shù)關(guān)系式為y=x2-x-3/4

，明確二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，令y＞0（或y＜0），即得一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（或ax2＋bx＋c＜0）；利用二次函數(shù)可解一元二次不等式。

(1)觀察圖象得-0.5＜x＜1.5時(shí)，圖象位于x軸下方，所以y＜0

(2)當(dāng)x＜-0.5或x＞1.5時(shí),圖象位于x軸上方，所以y＞0；(3)可以，解一元二次不等式x2-x-3/4＜0和x2-x-3/4＞0。根據(jù)題10的圖象回答下列問(wèn)題．1)當(dāng)x取何值時(shí)，y＜0？2)當(dāng)x取何值時(shí)，y＞0？3)能否用含有x的不等式來(lái)描述(1)（2）中的問(wèn)題？[延伸拓展]

1.已知拋物線y=x2-90x+2006與x軸交點(diǎn)是(m,0),(n,0),則(m2-91m+2006)·(n2-91n+2006)