例談數(shù)學(xué)方程思想的培養(yǎng)論文

例談數(shù)學(xué)方程思想的培養(yǎng)程思想，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)．關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)、方程思想、橢圓方程如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是核心素養(yǎng)下課堂教學(xué)研究的一個(gè)重要課的培養(yǎng)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)．一、利用方程求弦長(zhǎng)課后練習(xí)（人教A版選擇性必修第一冊(cè)第三章3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何x2y21的左焦點(diǎn)F作傾斜角為l2 1，直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．系并能夠用方程加以判斷，進(jìn)而能用方程求弦的長(zhǎng)度．師：求弦長(zhǎng)的方法有哪些？生：（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式；（2）利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)定理．師：請(qǐng)同學(xué)們單獨(dú)完成本題解答．學(xué)生A解答：3解：由橢圓方程知，又直線的斜率ktan60 ，3所以直線l的方程為：y

3(x，設(shè)A(x1,)、B(x2,y2)聯(lián)立

x2y212

，消去y得7x212x40，

3(x由韋達(dá)定理知xx

12，x

4，1 2再由弦長(zhǎng)公式

7 1 2 7|AB|

1k2(x

x)24xx

13

(12)244 8

2．1 2 122故線段|AB|8 ．27

7 7 7以及運(yùn)算能力．么，如果給出橢圓方程和弦長(zhǎng)我們能求出對(duì)應(yīng)的直線方程嗎？生：能．師：請(qǐng)看下面這個(gè)題目．二、利用方程求直線x2變式練習(xí)1．經(jīng)過(guò)橢圓 y21的左焦點(diǎn)F作直線l，直線l與橢圓相交于2A、B兩點(diǎn)，且線段|AB|87

12，求直線l的斜率．2量中已經(jīng)兩個(gè)量可求另一個(gè)量的方程思想．師：求直線斜率的方法有哪些？生：（1）已知直線的傾斜角可求其斜率（2）已知直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)可求其斜率（3）待定系數(shù)法可求直線的斜率師：本題能用哪些方法求解呢？請(qǐng)大家試試看．生B解答：解：由橢圓方程易知顯然直線llyk(xA(x1,)、B(x2,y2)x22聯(lián)立2y2

1，消去y得(k21)x22k2xk210，

k(x2由韋達(dá)定理知xx

2k2 ，x

k21 ，1 2 1k22

1 2 1k22再由弦長(zhǎng)公式|AB|

1k2(x

x)24xx

1k2

2k2 k21( )241 2 12

1k2 1k28 272 28 271k2

1k2化簡(jiǎn)得|AB|

2 ，即1k22

2 1k22

，解得k3，故直線l的斜率k3．想．x21l與橢圓 y21相交2于A、B兩點(diǎn)，且線段|AB|87生：會(huì)（學(xué)生齊聲回答）

2，求直線l2橢圓方程中，大家試試看能否求解．三、應(yīng)用方程求橢圓方程變式練習(xí)2．已知直線l:y

3x

x23與橢圓 y21（a0）相交于a2A、B兩點(diǎn)，且線段|AB|87

2，求橢圓的方程．2方程思想，并加大計(jì)算量來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算能力．生C解答：解：設(shè)A(x1,)、B(x2,y2)2x22聯(lián)立

2y

1，得(13a2)x26a2x2a20，a

3x3由韋達(dá)定理得

x2

6a213a2

，

2a213a22 2再由弦長(zhǎng)公式|AB|

1k2(x

x)24xx

2

6a 2a ( 2)( 21 2 12

13a2

13a2化簡(jiǎn)得|AB|4a 13a2

3a22，即4a 13a2

3a2282，解得a22，7x2故橢圓的方程為 y212師：如果將變式練習(xí)2改為“已知直線l:y

3x

3與橢圓xy22a2 b222

1（ab0）相交于A、B兩點(diǎn)，且線段|AB|87

22解嗎？生：能（只有部分學(xué)生回答，另一部分在觀望、思考）1、變式練習(xí)2中都是只含有一個(gè)參數(shù)，而這題中含有兩個(gè)參生D解答解：設(shè)A(x1,)、B(x2,y2)聯(lián)立

x2 y2221

，得(b23a2)x26a2x3a2a2b20，a b

3x3由韋達(dá)定理得

x2

6a2b23a2

，

3a2a2b2b23a2再由弦長(zhǎng)公式2 2 22|AB|

1k2(x

x)24xx

2

6a aab ( 2)4( 21 2 12

b23a2

b23a2化簡(jiǎn)得|AB|4ab b23a2

b23a23，即4ab b23a2

b23a238272（多數(shù)同學(xué)到此就不再求解了，還有部分同學(xué)繼續(xù)往下求解）生：一個(gè)方程，兩個(gè)未知數(shù)，顯然此方程解不唯一，故無(wú)法確定橢圓方程．率能求嗎？師：求橢圓離心率常用方法是什么？生：（1）求出a和c的值（2）求出c、b、c中的任一個(gè)值2a a b2師：根據(jù)大家化簡(jiǎn)的結(jié)果“4ab b23a2

b23a2387

”能求橢圓的離心率嗎？生：好像不能．師：為什么？生：上式不是關(guān)于a、b齊次方程．師：怎樣改動(dòng)使其有解呢？b2b26a26將“|AB|87

”改為“|AB|4272

”即可．因?yàn)閨AB|4ab b23a2，

b23a234ab b23a2

b23a234bb26a26化簡(jiǎn)得 ab 2，整理的3

2a27ab

2b20ab）b23a2 7解得a2b（舍去）或a6

2b，所以離心率e

b21 a2

2．1112怎樣的條件．從而培養(yǎng)學(xué)生用方程的意識(shí)以及方程思想．從教材中挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想．方程思想是通往數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的橋梁，想來(lái)落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)是一個(gè)非常有效的途徑．